深度学习：把数学概念的学习引向深入

苏明强

深度学习是近年来的一个热点研究问题，众多学者和一线教师都积极参与讨论和研究，大家都从不同的角度，提出了有关深度学习的不同见解，这样的研究和讨论过程，对于教师深入研究数学学习乃至数学教学等问题都有很大的帮助。笔者认为：数学本质、数学思想和数学思考是深度学习的三个重要价值取向，教学时，教师要通过把握数学本质，融入数学思想，突出数学思考，让课堂不仅有“高度”，而且有“深度”，还有“广度”，从而让数学学习呈现出三维立体的结构，促进学生更好地学知识、长见识、悟道理。

特级教师夏永立2019年9月在广西南宁现场执教了“公顷的再认识”一课，下面，就以夏老师执教的这节课为例，解读这节课的三个主要特点，兼谈深度学习视角下概念教学问题的三点认识，供大家讨论。

一、追本溯源，把握数学本质

数学本质决定着深度学习的“高度”，把握数学本质是深度学习的重要基础。数学本质彰显出数学的“美”，它让抽象、冰冷的数学富有独特的魅力。教学时，为了让概念教学更加富有思考性，更好地把数学学习引向深入，需要我们追本溯源，通过层层追问，充分理解教学内容的深层含义，认真把握教学内容的数学本质。

如，“公顷的再认识”一课，我们可以这样追问：“公顷”是什么？“公顷”从哪来？“公顷”到哪去？这就是笔者倡导的数学本质三连环追问的问题，对以上三个问题的思考，有助于我们深刻理解公顷的深层含义，有助于我们准确把握公顷的数学本质。我们知道“长度”是一个一维几何量，它是一维量化的结果，“长度单位”是一维几何量的度量需要，主要有毫米、厘米、分米、米、十米、百米、千米，相邻两个长度单位的进率都是10，然而，在现实生活中，十米和百米不常使用，通常被10米和100米所取代。“面积”是一个二维几何量，它是二维量化的结果，“面积单位”是二维几何量的度量需要，主要有平方毫米、平方厘米、平方分米、平方米、平方十米、平方百米、平方千米，相邻两个面积单位的进率都是100，在现实生活中，平方毫米、平方十米、平方百米不常使用，平方十米被100平方米所取代，平方百米被公顷所取代。

夏老师通过追本溯源，准确把握了教学内容的数学本质，在教学中，充分体现了这一点，他通过“再现长度单位”（毫米、厘米、分米、米、十米、百米和千米），“由长度单位建构面积单位”（平方毫米、平方厘米、平方分米、平方米），并“生长出”新的面积单位（平方十米、平方百米和平方千米）。夏老师轻轻地用一句话“其实公顷就是平方百米的小名”，生动形象地将“公顷”与“平方百米”建立起了联系，从根本上促进学生把数学概念的理解引向深入。

二、精设活动，感悟数学思想

数学思想决定了深度学习的“深度”，感悟数学思想是深度学习的重要保证。数学思想彰显出数学的“神”，它是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，是数学的灵魂，是数学富有魅力的关键所在，数学思想蕴含在数学知识的形成、发展和应用过程中，数学中的基本思想主要有抽象思想、推理思想和建模思想，在数学知识形成过程中常常蕴涵抽象思想，在数学知识发展过程中常常蕴涵推理思想，在数学知识应用过程中常常蕴涵建模思想。

如，“公顷的再认识”一课，从数学概念的角度分析，它属于数学知识的形成过程，蕴含的基本思想是抽象思想，主要包括分类思想、集合思想、变中不变思想和对应思想、数形结合思想。夏老师精心设计了一系列的数学活动，首先让学生再现长度单位，再由长度单位建构起面积单位，在这里让学生感悟了分类思想和集合思想。接着引导学生观察思考长度单位之间的关系，发现长度单位名称“变”了，相邻两个长度单位之间的进率“不变”（都是10），在观察思考面积单位之间的关系中，发现面积单位名称“变”了，相邻两个面积单位之间的进率“不变”（都是100），在这里让学生感悟了变中不变的思想。在记忆面积单位的环节中，夏老师把“平方毫米、平方厘米、平方分米、平方米、平方百米”这5个面积单位与一只手的5个手指（从小拇指到大拇指）一一對应起来，通过一只手的形状直观形象地理解了5个面积单位之间的进率，“数”与“形”的巧妙结合，不仅加深学生对面积单位之间关系的理解，而且让学生感悟了对应思想和数形结合思想。这样，就让学生在学习知识的过程中，增长了见识，还感悟了思想，让学生对数学概念的理解更加深刻、掌握更加牢固。

三、巧设问题，驱动数学思考

数学思考决定着深度学习的“广度”，驱动数学思考是深度学习的关键所在。数学思考是运用数学的思维方式思考问题，推理是数学思考的重要方式，它是一个命题到另一个命题的推断过程，主要有合情推理和演绎推理，合情推理是凭借经验和直觉通过归纳或类比推断结果的一种思维方式，包括归纳推理和类比推理，演绎推理是按照逻辑推理的法则推断结果的一种思维方式。因此，教学时，教师要巧设问题，通过问题驱动学生进行深入的数学思考，促进学生更为积极地思考，并且学会想得更全面、更清晰、更深刻，不断积累数学思维活动经验，从而达到学知识、长见识的目的。

如，“公顷的再认识”一课，虽然是一节数学概念课，但是仍然蕴藏着培养学生合情推理的合适时机。在“再现长度单位”的环节，夏老师用“我们学习了哪些常见的长度单位？”这个问题，驱动了学生的数学思考，回顾常见的长度单位有毫米、厘米、分米、米、千米，接着用“毫米和厘米之间是什么关系？”这个问题，进一步促进学生思考相邻两个长度单位之间的进率，在这个问题的思考中，学生必须通过观察、比较，归纳得出基本结论：相邻两个长度单位之间的进率都是10，在这里以问题为载体，通过数学思考，有效培养了学生的归纳推理。然后，夏老师又用“如果按照这样的关系，猜一猜米的下一个长度单位是哪一个？”这个问题，把数学思考引向深入，学生凭借已经获得的经验和直觉，通过类比推理对“未知的领域”做出了大胆的判断和推测，米的下一个长度单位是“十米”，“十米”后面是“百米”，“百米”的后面就接上了早已熟悉的“千米”，在整个数学思考的过程中，不仅让学生感受到数学的奇妙，而且有效培养了学生的类比推理。夏老师在“构建面积单位”的环节中，采用相似的教学策略，让学生经历两个相邻面积单位之间进率的归纳过程以及平方十米和平方百米的创造过程，这样，不仅帮助学生建立了知识之间的联结，加深对知识的理解，而且让学生再次经历了归纳推理和类比推理的思维过程，体会数学学习中推理和创造的乐趣。

总之，在数学概念的深度学习中，教师应该根据教学内容，通过追本溯源，认真把握好它的数学本质，不仅知其然，而且知其所以然。教学时，不要让学生仅仅停留在数学概念的简单记忆和模仿上，而应该让学生在数学概念的学习中，学知识、长见识、悟道理，真正把概念学习引向深入，驱动数学思考，感悟数学思想，把握数学本质，让数学学习不仅有“广度”，还有“深度”，更有“高度”，这才是真正意义上的深度学习！