广义离散时间系统的P-D 反馈控制器设计

2021-12-15任祯琴李静李德光

应用科技 2021年6期

任祯琴，李静，李德光

洛阳师范学院信息技术学院，河南洛阳 471934

广义系统是比正常系统更一般的动力系统，有着广泛的应用背景。广义系统大量出现在电力系统、能源系统、经济系统、宇航系统和化学过程等描述中[1-4]，这是因为实际应用中，广义系统较一般系统可以用来描述系统更多的性能特征。随着科学研究的深入，广义系统被学术界广泛关注，广义离散时间系统理论已有了丰富的研究成果[5-7].

对于正常系统，反馈控制的研究已经趋于完善。但对于广义系统来说，脉冲的存在可能引起系统不能正常运行甚至导致系统的损坏，这就需要所设计的控制器不仅要保证闭环系统是稳定的，而且是要正则化和因果的(连续系统无脉冲)，即容许性。而P-D 反馈控制在这方面发挥了很大的作用，它是消除脉冲的一个很有效途径，相关研究已取得了一些成果[8-14]。但由于P-D 反馈控制器在实际处理时的负面影响，很难使闭环系统达到稳定。然而随着先进的生产设备和计算机的迅速发展，大大降低了这种负面影响，使得P-D 反馈具有很高的理论意义和工程实际应用价值。

本文针对广义离散系统设计出一种简单的PD 反馈控制器，突破了文献[13]中输出反馈控制器的局限性，使闭环系统更容易达到稳定，并消除了脉冲。

1 预备知识及问题描述

考虑如下的广义离散时间系统：

式中：x(k)∈Rn为状态向量；u(k)∈Rr为输入向量；E、A、B为具有适当维数的常数矩阵；E为奇异矩阵，满足rank(E)＜n。

定义1[15]若存在复数s0，使得det(s0E-A)≠0，那么称式(1) 广义离散时间系统是正则的。

本文假定广义离散时间系统是正则且能稳定的。

定义2[15]若对任意复数z满足degdet(zE-A)=rank(E)，则称广义离散系统是因果的。

定义3[15]如果式(1)正则广义离散时间系统是因果且稳定的，则称系统是容许的。

定义4[15]如果存在P-D 反馈，使闭环系统成为正常系统，则称广义离散系统是能正常化的。

下面给出本文需要用到的相关引理。

引理1[15]式(1)广义离散系统是容许的充要条件为：存在对称矩阵X∈Rn×n满足如下广义Lyapunov 不等式：

引理2[16]对于正常系统x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)，设性能指标函数为

式中：Q为对称半正定矩阵，R为对称正定矩阵。系统满足能稳定，能检测，则最优状态反馈控制器为

其中P为黎卡提方程

的对称半正定解.

引理3[15]式(1)广义离散系统是因果的充要条件为

引理4[15]式(1)广义离散系统是稳定的充要条件为：它的有限极点集合σ(E,A)是在复平面的单位圆内（用Ω(0,1)表示）。

引理5[15]式(1)广义离散系统能稳定的充要条件为

引理6[15]P-D 反馈保持了广义系统的能稳定性。

为了研究的需要，我们要对系统进行正常化的分解。所谓正常化分解，就是通过线性变换将原系统分解为2 个子系统，其中1 个子系统是能正常化的，即转化为正常系统，具体过程如下。

考虑式（1）广义离散系统：

1）若系统是正则的，则一定存在非奇异矩阵Q1、P1，使得

式中：N为幂零矩阵，那么，式(1)广义离散系统将改写为

则式（2）改写为

式(2)可改写为

即

正文中已经得到x2(k)=0，则式(4)可改写为

下面证明若原式(1)广义离散系统是能稳定的，则式(5)是能稳定的。由引理5，我们只需证明∀s∈C，|s|≥1，行满秩，其中

首先N11是幂零矩阵，则是行满秩的；原系统是能稳定的，则

将式(1)广义离散系统进行正常化分解得

由式(6)中E22x2(k+1)=x2(k)得：

将式（7）左右分别相加并相消得：

所以式(6)可改写为

由于式(8)是能正常化的，则一定存在P-D反馈：

使得闭环系统

成为正常系统。

我们选择一个合适的K2使得

2 P-D 反馈控制器的设计

本文的主要研究工作是设计一个P-D 反馈控制器，使得闭环系统是容许的。首先对原系统进行正常化分解，得到的子系统是能正常化的。在此基础上，设计了一个P-D 反馈控制器。为了获得控制器存在的充分条件，有如下定理。

定理1对于式(8)，若存在P-D 反馈控制器式(9)，使得闭环系统式(10)是容许的，条件是存在一个对称正定矩阵Y，合适维数的矩阵Z满足线性矩阵不等式（11）：

式中：

证明: 由于det(E11+B1K2)≠0，则E11+B1K2可逆，显然满足引理1 中的ETXE≥0，即(E11+B1K2)TY(E11+B1K2)≥0，又有

令

式(12)将改写为

利用schur 补引理[16]，我们可以将式(14)转化为线性矩阵不等式（11），其中：证毕。

通过Matlab 求解式(11)，可以求得Y、Z的值[17]。

接下来利用式(13)和Y、Z的值来求得K1的值，这就需要利用广义逆的理论[18]。

由式(13)可得

下面我们利用广义逆的知识来求得K1的值，先将B1进行满秩分解，记为B1=MN，其中M列满秩，N行满秩。若式(15)有解，则K1=NT(NNT)-1(MTM)-1MTY-1Z是式(14)的极小范数解；若式(15)无解，则K1=NT(NNT)-1(MTM)-1MTY-1Z是式(11)的极小范数最小二乘解，也称最佳逼近解，需要进一步验证式(11)。

对于式(10)，我们可以将其变形为正常系统：

对于式(16)，定义性能指标函数为

式中：F为对称半正定矩阵；G为对称正定矩阵，且满足能检测。

再由正常化分解的方法以及引理5 和引理6，可以得到式(16)是稳定的。运用引理2，就可以得到式(16)的状态反馈控制器为

并使得闭环系统是稳定的。其中P1是代数黎卡提方程的对称半正定解：

由此，将式(18)代入P-D 反馈控制器式(9)，得到原系统式(1)的P-D 反馈控制器为

将式(20)代入式(1)可得闭环系统为

本定理得到的是P-D 反馈控制器存在的充分条件，而引理1 给的是广义离散系统容许的充要条件，这是因为本定理中为了利用Matlab 中的LMI 工具箱，规定Y是对称正定矩阵，而引理1 中的X是对称矩阵，这是在以后的研究中需要改进的地方。在定理1 的基础上，给出式（1）广义离散系统的P-D 反馈控制器设计的定理。

定理2对于式(1)，存在一个对称正定矩阵X和合适维数的矩阵Z满足下面线性矩阵不等式：