BOTDR布里渊谱拟合方法改进研究

曹孟辉，陈点，夏辉

（武汉钧恒科技有限公司，湖北 武汉 430000）

0 引言

由于光纤对于外界环境如应力/温度的变化十分敏感，光纤中入射光的相位、频率、幅度等物理量会随着环境的变化发生相应改变[1]。可以理解为光纤传感系统能够将环境信息调制到入射光中再经过光纤传输，因此在接收端进行解调即可获得环境信息[2]。分布式光纤传感技术相较传统电传感器有以下优点：抗电磁干扰能力强；能同时发挥传感器和信道的双重作用；可以获得沿光纤分布的待测量的连续一维分布；具有较高的空间分辨率和测量精度[3]。其中，布里渊分布式传感技术基于光纤中后向布里渊散射信号实现，可同时感知温度与应变信息。布里渊光时域反射仪（BOTDR）结合光时域反射技术和光纤自发布里渊散射。由于布里渊光信号受到光纤色散和衰减的影响较小，因此在长距离分布式传感领域应用前景广阔。近年来，基于BOTDR的传感技术取得巨大发展。在空间分辨率与动态范围方面，2008年华北电力大学的李永倩等人在BOTDR中引入了格雷互补序列，使系统的空间分辨率提高到1m，也一定程度上提高了其他性能指标[4]；2011年南京大学梁浩等人将哈达玛编码应用于BOTDR系统，在31km的光纤上获得了50m的空间分辨率，最大动态范围达53.5km[5]。

在布里渊谱信号处理方面，2009年，梁浩等人对于布里渊散射谱线多峰情况采取分区间最小二乘非线性拟合[6]；2012年余伟等人证明，利用布里渊增益谱提取布里渊频移时，使用L-M算法比小加权平方算法的收敛速度快，收敛性也更好，并且最终提取精度更高[7]。2013年，加拿大新布伦瑞克大学的Mohsen Amiri Farahani等人提出一种互相关卷积的算法，该算法可以从布里渊增益谱提取有用信息。在信号噪声较大的情况下，该算法仍具有非常优异的实际应用效果[8]。以上研究只考虑了理想布里渊谱曲线在高斯噪声影响下的信号处理，忽视了BOTDR系统中相干瑞利噪声的干扰。本文提出一种改进的拟合方法，能够规避布里渊谱中低频瑞利噪声的影响，大大提高曲线拟合精度。

1 布里渊谱

理论上，布里渊散射光谱为洛伦兹线型，符合如下数学表达式[9]。

其中，G为散射峰值增益系数，是布里渊频移，是布里渊散射谱的半高全宽（full width at half maximum,FWHM）。

2 基于高斯牛顿算法布里渊谱拟合

高斯牛顿迭代算法的基本思想是使用泰勒级数展开近似替代非线性回归模型，然后经过一定次数的迭代，根据误差不断校正回归系数，使得回归系数不断逼近非线性回归模型的最优回归系数，最后使得模型的残差平方和达到小于一定数值。

设已知一系列离散数据记为D={(x1,y1)，(x2,y2)，……(xm,ym)}一共m个点。设标准函数为f(x1,β1)，β=（β1,β2,β3,…,βn）。在迭代过程中，实测信号与理想函数曲线之间的平方误差表示为下式。

目标是求解S的最小值对应的β，则S取最小值时β应该满足S对β的偏微分为0。

该问题是一个非线性最小二乘问题，因此没有显式解，一般情况下用迭代的方法将拟合函数的参数β逐渐向最优解逼近，如下所示。

其中K为迭代次数，△β是迭代矢量。对于每次迭代f(x,β)，是近似线性的，因此可以在βk处对f(xi,β)用泰勒级数展开。

其中J是雅可比(Jacobian)矩阵，满足。

此时残差表示为。

继而可以得到。

展开得。

经过推导，得到高斯牛顿迭代的最终公式为。

其中雅可比矩阵J的计算式为。

3 算法优化

由于高斯牛顿算法对初值的选取非常敏感，因此必须要根据实际信号的特点合理选择初值。在实际BOTDR信号中，受到相干瑞利噪声的影响，布里渊谱低频段经常出现较大的噪声，因而导致拟合误差，甚至无法收敛，拟合失败。

将公式（1）进行变形，简化洛伦兹线型表达式为。

其系数为（Y,x,h,w）。对于一般的初值确定，Y取某组数据的最小值，X取原始数据最高点对应的x值，h取y坐标的最大值减去y的最小值。从离散点左右两边找出最接近Y+h/2的点。然后两个点的横坐标差值的一半即为w。由于受到原始信号相干瑞利噪声影响，会出现初值有误导致拟合失败的情况，如下图1所示。

图1 相干瑞利噪声导致的初值问题

本文修改了确定W的方法，修改的确定方法如图2所示。

图2 改进拟合方法

首先得到3dB带宽内最大信号对应的横坐标Xm，然后取输入点的个数N的一半作为窗的大小W。以该横坐标为窗的中心，取W个点，如果左右两边的点数量都足够则两边各取W/2个点。如果左边的点不够则右边多取，反之同理。窗的大小根据实际情况也可以设置为固定值。对于实测信号，峰值点附近的数据更加稳定，噪声干扰相对较少。因此理论上可以认为，使用这部分数据进行迭代，更能提高拟合的准确率。并且高斯牛顿迭代中有大量的矩阵运算，算法复杂度为o(N2)，N为参与拟合的点的总数。只选取部分点参与迭代运算，可以大大提高计算的速度。

4 仿真结果与讨论

使用Matlab产生已知系数的洛伦兹曲线，系数在一定范围内随机产生，保证测试结果的普适性。然后分别测试SNR=5，10，20，30dB的情况，每个信噪比测试10000次，均方误差只计算拟合成功的数据组，图3为仿真测试的结果。

图3 仿真结果

从图3（a）可以看出，采用固定窗口大小，拟合效率显著提高，拟合算法收敛更快。图3（b）说明对于不同的SNR，拟合效果也具有比较好的一致性。同时，从图3（c）可以看出，由于改进了初值设置方法，曲线拟合的精度也大幅提升，尤其在SNR较小时，总的均方误差远小于未作改进的算法。

为了进一步验证改进算法的有效性，采集大量真实测量数据进行处理分析。

从表1可知，改进后的算法大大提升了拟合成功率，而且降低了拟合所用时间，提高了测量效率。因此，本文提出的拟合方法能够有效应对BOTDR系统中相干瑞利噪声的干扰。

表1 实验结果统计

5 结语

通过优化布里渊散射谱非线性拟合数据初值选取方法，结合高斯牛顿拟合算法，显著提升了BOTDR系统对相干瑞利噪声的容忍度。新算法能够提高拟合成功率并降低拟合时间，具有很高的实用价值。