分式方程的四种特殊解法
2021-12-12王红梅
王红梅
一、拆项法
例1 解方程[1x+2+4xx2-4+22-x=1].
解析:将原方程变形为[1x+2+2·(x+2)+(x-2)(x+2)(x-2)+22-x=1],应用关系式[x+yxy=1x+1y],
则[1x+2+2x+2+2x-2-2x-2=1],即[3x+2=1],∴x = 1. 經检验x = 1是原分式方程的根.
二、添项法
例2 解方程[x-1x+1+x-4x+4=x-2x+2+x-3x+3].
解析:分式方程两边项数相同,各项都同时添项加1.
原分式方程化为[1+x-1x+1+1+x-4x+4=1+x-2x+2+1+x-3x+3],
即[2xx+1+2xx+4=2xx+2+2xx+3],显然,x = 0为原分式方程的根.
当x≠0时,上述方程可变形为[1x+1-1x+2=1x+3-1x+4],得[1(x+1)(x+2)=1(x+3)(x+4)],
∴(x + 1)(x + 2) = (x + 3)(x + 4),解得[x=-52]. 经检验,x = 0,[x=-52]都是原分式方程的根.
三、两个分式相等,若分子相同,则分子为零或两个分母相等
例3 解方程[3x-2-4x-1=1x-4-2x-3].
解析:将分式方程两边分别通分,得[5-xx2-3x+2=5-xx2-7x+12],由5 - x = 0,得x = 5.
又由[x2-3x+2=x2-7x+12],得[x=52]. 经检验,[x=5], [x=52]都是原分式方程的根.
四、两个分式相等,若分子相同,并且分母的项数、次数相同,只有常数项不同,则化分子为1
例4 解方程[x-8x-9+x-4x-5=x-5x-6+x-7x-8].
解析:将原分式方程每个分式拆项,得[1+1x-9+1+1x-5=1+1x-6+1+1x-8],
∴[1x-9+1x-5=1x-6+1x-8]. 两边分别通分得[2x-14x2-14x+45=2x-14x2-14x+48]
∴令2x - 14 = 0,得x = 7. 经检验,x = 7是原分式方程的根.