方差的计算与应用

陈洪兵

方差是指一组数据中各个数据与平均数的差的平方的平均数，方差的计算公式是s2 = [1n][（x1 - [x]）2 + （x2 - [x]）2 + … + （xn - [x]）2]. 方差是反映一组数据波动大小的统计量，其应用极其广泛. 现以2021年中考题为例来说明.

例1（2021·北京）甲、乙两组数据如表1所示，它们的方差分别为[s2甲]，[s2乙]，则[s2甲] （填“>”“<”或“=”）[s2乙].

解析：∵x甲 = [15] × （11 + 12 + 13 + 14 + 15） = 13，x乙 = [15] × （12 + 12 + 13 + 14 + 14） = 13，

[s2甲] = [15] × [（11 - 13）2 + （12 - 13）2 + （13 - 13）2 + （14 - 13）2 + （15 - 13）2] = 2，

[s2乙] = [15] × [（12 - 13）2 + （12 - 13）2 + （13 - 13）2 + （14 - 13）2 + （14 - 13）2] = 0.8，

∴[s2甲] > [s2乙]. 故应填>.

反思：甲组数据是五个连续整数，五个连续整数的方差一定是2. 将各数据减去10，分别得到1，2，3，4，5和2，2，3，4，4，计算这两组数据的方差更简便些.若有两组数据，可设其平均数分别为[x1]，[x2]，方差分别为[s21]，[s22]，当第二组每个数据是第一组每个数据的n倍再增加m时，则有[x2] = n[x1] + m，[s22] = n2[s21]. 利用这个结论可简化平均数和方差的计算.

例2（2021·山东·菏泽）在2021年初中毕业体育测试中，某校随机抽取10名男生引体向上的成绩，整理制成表2，关于这组数据的结论不正确的是（ ）.

A.中位数是10.5 B.平均数是10.3 C.众数是10 D.方差是0.81

解析：这里的数据是用表格以频数的形式呈现的，弄清表格中的信息，由其转化出10名男生引体向上的成绩分别是12，11，11，11，10，10，10，10，9，9.

这组数据的中位数是10，平均数是10.3 ，众数是10，方差是0.81. 故选A.

反思：当数据用表格以频数的形式呈现时，可以将其转化为原数据，也可直接由表格求平均数、众数、中位数和方差.

例3（2021·四川·乐山）图1是根据甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图，你认为谁的成绩较为稳定？ （填“甲”或“乙”）

解析：先分别求出甲、乙的平均数，再求出甲、乙的方差，由方差越小的成绩越稳定作出判断即可.

[x甲] = [15] × （7 + 6 + 9 + 6 + 7） = 7（环），

[x乙] = [15] × （5 + 9 + 6 + 7 + 8） = 7（环），

[s2甲] = [15] × [（7 - 7）2 + （6 - 7）2 + （9 - 7）2 + （6 - 7）2 + （7 - 7）2] = 1.2，

[s2乙] = [15] × [（5 - 7）2 + （9 - 7）2 + （6 - 7）2 + （7 - 7）2 + （8 - 7）2] = 2.

∵1.2 < 2，∴甲的成绩较为稳定. 故应填甲.

反思：这里的数据是以折线统计图的形式呈现的，可以从折线统计图中转化出两组数据，再计算方差，然后根据方差越小的数据越稳定作出判断;也可以直接从折线统计图中各数据的离散程度对其稳定性直接作出判断，由图1可一目了然地看到甲的成绩较为稳定. 显然，利用数形结合，借助图形直观，可轻松解决某些生活中的数学问题.

例4（2021·江苏·泰州）近五年，我省家电业的发展发生了新变化. 以甲、乙、丙三种家电为例，将这三种家电2016～2020年的产量（单位：万台）绘制成如图2所示的折线统计图，图中只标注了甲种家电产量的数据. 观察统计图回答下列问题：（1）这五年甲种家电产量的中位数为 万台;（2）若将这五年家电产量按年份绘制成五个扇形统计图，每个统计图只反映该年这三种家电产量占比，其中有一个扇形统计图的某种家电产量占比对应的圆心角大于180°，这个扇形统计图对应的年份是 年;（3）小明认为：某种家电产量的方差越小，说明该家电发展趋势越好. 你同意他的观点吗？请结合图中乙、丙两种家电产量变化情况说明理由.

解析：（1）甲种家电产量数据从小到大排列为466，921，935，1035，1046，中间的数据935即为中位数. （2）根據扇形统计图的圆心角公式确定对应年份，观察统计图可知2020年甲种家电产量和丙种家电产量之和小于乙种家电产量，所以根据扇形统计图的圆心角公式可知，2020年乙种家电产量占比对应的圆心角大于180°. （3）不同意.理由如下：丙种家电产量数据方差较小，产量从2018年起在逐年降低;乙种家电产量数据方差较大，产量在逐年提高. 因此不能说家电产量数据的方差越小，该家电发展趋势越好.

反思：第3问是判断说理题.先作判断，再说明做出这种判断的理由.在运用方差说理时，必须注意：（1）方差是用来比较数据波动大小的，只有在数据平均数相等或较接近时才能用，否则一般不用方差来比较数据的波动大小;（2）一般而言，一组数据的方差越小，这组数据就越稳定，因此有同学就认为在实际生活中方差越小越好，这种观点是错误的.本题中乙种家电产量数据方差较大，但产量在逐年提高，说明乙种家电发展趋势好.

（作者单位：江苏省泰州市姜堰区实验初级中学）