趣味数学

马世胜　王德贵

伯努利-欧拉装错信封问题，是数学史上著名的数论问题，其实是排列组合问题，今天我们用Python来进行分析和求解。

1.伯努利-欧拉装错信封问题

某人想邀请朋友来家中聚会，写好了5封请柬，需要装入5个信封，结果因为粗心把请柬全部装错了信封。请问：装错的可能会有多少种呢（图1）？

这个问题是由当时有名的数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748年）的儿子丹尼尔·伯努利（Danid Bernoulli，1700-1782年）提出来的，瑞士著名数学家欧拉（Leonhard Euler，1707-1783年）按一般情况给出解答。

这个问题可以描述为一个排列组合问题：n个元素的序列，要求在排列中没有一个元素处于它原有的位置。

2.算法分析

用编程解决排列组合问题，我们常常利用枚举法，对于这道不确定的排列组合问题，枚举法很可能不是最佳方法，不过在我们知道具体分析思路之前，可以先试试看。

3.枚举法程序实现

先假设只有3封信的情况（图2）。

運行结果如下，有2种方法（图3）。

那么4个、5个信封应该是类似的，下面是5封信的程序，只是增加了2重循环，其他完全一样（图4）。

运行结果是44种。如果是更多的信封，这样做就很麻烦了。那么有没有规律呢（图5）？

4.递推公式法程序实现

瑞士著名数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式，分析如下：

用A、B、C……表示写着n位友人名字的信封，a、b、c……表示n份相应的写好的信纸。把错装的总数记作D（n）。假设把a错装进B里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：

（1）b装入A里，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关，应有D（n-2）种错装法。

（2）b装入A、B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a之外的）n-1份信纸b、c……装入（除B以外的）n-1个信封A、C……显然这时装错的方法有D（n-1）种。

总之在a装入B的错误之下，共有错装法D（n-2）+D（n-1）种。

a装入C、装入D……的n-2种错误之下，同样都有D（n-1）+D（n-2）种错装法，因此D（n）=（n-1）[D（n-1）+D（n-2）]

这是递推公式。令n=1、2、3、4、5逐个推算就能求出多个装错信封的解。

D（1）=0，D（2）=1，D（3）=2，D（4）=9，D（5）=44

程序如下，这样我们就有了一个通用程序，可以求出任意一项的值（图6）。

利用递推公式，也可以求出前n项的值（图7）。

5.递归公式法程序实现

这个问题也可以用递归公式求出任意一项的值（图8）。

输入任意信封个数后可以获得满意的结果（图9）。

稍微修改一下，也可以求出前n项的值（图10）。

6.结论

伯努利-欧拉装错信封问题，涉及到的是高中数学的排列组合问题，这是难点也是重点，也称为条件限制类排列问题。

用Python求解，枚举法很难实现，即使实现效率也很低，而递推和递归的方法更为有效。当然在各种算法中，枚举法虽然效率有时低一点，但对某些问题还很奏效。

递推和递归是等级考试4级内容，希望大家在学习Python的过程中，循序渐进，做好基础知识的理解和掌握。