两狭长平行板间液桥两端体积的计算

阳 丽，程震宇，萧华鹏

（广西师范大学 物理与科学技术学院，广西 桂林 541004）

当两固体之间的接触部分或者间隙部分存在微量液体时，在两物体表面间会出现液桥现象［1］.对液桥的研究可为颗粒/粉体团聚、毛细黏附力、微/纳系统、多孔材料的某些特性研究提供帮助［2］.研究液桥的体积也是微重力流体力学、毛细力学中的一个课题［3］.

大部分文献关注两球形体之间的液桥，对于平板间液桥体积的计算相关文献较少［4-7］，例如，Broesch［4］利用 Surface Solver软件模拟狭长裂缝几何形状中非轴对称毛细管桥的形态演变.庄大伟［5，6］等人考虑液桥重力和表面张力作用下液桥的接触角随着方位角的变化，对液桥三相接触线采用椭圆方程描述，计算了两竖直翅片间液桥体积.朱朝飞［7］通过张力等效方法建立液桥的三维受力模型，采用不考虑重力的球形近似求解液桥形态微分方程，得到狭长平行板间液桥的形态特征参数与液桥受力之间的关系.实际上，两平板间液桥并不为规则的柱体［8，9］，而是两端呈现类似马鞍形状.在以往的文献中都采用软件模拟或者近似为柱体的方法对液桥的体积进行计算，未有过在理论上对狭长平板间的液桥体积进行精确计算.

本文考虑液桥两端的实际形状，以狭长的两平行板间的液桥作为研究对象，建立忽略重力的三维液桥模型，计算液桥的两端（类马鞍形）的体积.在计算过程中将多个液桥的形态特征参数用扎钉角表示出来，得到体积与高度和扎钉角的关系，从而得到体积的清晰数学表达式.

1 液桥的模型

图1中两平行板之间的阴影部分表示液桥，侧面和端面为液体和气体的交界面，根据毛细力学的相关知识，随着固液界面的收缩，在表面张力的作用下，忽略重力影响，稳定后的气液径向界面的形状将会趋近于圆弧形［10］.液桥为两端近似马鞍形、中间凹陷的长条状的全对称形状.图中液桥的相关形态表征参数有多个.θ表示接触角，α表示扎钉角，H表示两板之间的高度，W表示板子之间的宽度.Rn表示液桥两端马鞍形液体中间最细处的半宽度，rc为两侧的气-液交界面曲率半径，rd为两端的气-液交界面曲率半径.

2 液桥两端的体积计算

由于液桥两端的马鞍形状［图1（e）］具有对称性，因此把左右两端合并计算.采用高等数学中计算旋转体体积的柱体方法［11］.我们沿着 xy平面将高度区间（z方向）内分割成无数个高度为 dz的 “薄片”，近似地把这些“薄片”看作一个个底面为椭圆的柱体.每个柱体的体积为 πxmymdz.其中 xm和 ym，分别对应椭圆的长半轴、短半轴的长.液桥两端角度的积分微元为 β1，两侧角度的积分微元为 β2，范围分别为，β1为 0～（π-2θ），β2为 0～（π-2α）.由图 1得出

图1 两平行板间的液桥模型

无论两侧面还是两端面z方向高度应相同，得到 β1和 β2的关系为

液桥两端马鞍形的总体积为

由于公式较长，为了方便计算，将与积分微元无关的项用A、B表示:

于是

可计算得到

其中 F表示第一类椭圆积分［12］:

第一类椭圆积分级数表达为

所以液桥两端马鞍形总的体积有

其中，根据图1中的几何关系可以得到

根据流体静力学的Pascal定律，液桥两端和两侧的内外压强差相同，根据Young-Laplace方程，可得

于是，体积函数可以简写为 V＝V（H，W，θ，α，rd，rc，Rn），当体积 V、W、θ、H 为可测量的已知量的时候，通过式（10）、（11）可以得到 V 与 H、α 的关系式，进而得到扎钉角 α随着H变化的数值结果.总之可以根据测量得到的液桥两端体积 V，根据式（1）—式（11）得到α和Rn随着 H变化关系的结果（图2所示）.从而可以得到液桥的各个形态特征参数，分析液桥的侧面轮廓的形貌.

图2 α和Rn随着H变化的关系

从图2中可以看出，V、W、θ对液桥的形貌起决定作用.板子宽度越宽，α角越大，液桥体积越大，液桥越长，α角反而越小，而液桥两端的马鞍形的突起部分Rn的数值是先减小后增大.随着两个平板之间距离的增大，扎钉角变化的规律与直觉是相反的，人们普遍认为两板子越拉越开，液桥两侧和两端都会变细.实际的计算结果表明，液桥两侧变胖，两端回缩.在低高度处，钉扎角度通常小于90°，并且随着高度的增加，钉扎角度可能会高达140°，即两侧面处的α角缓慢增大，如图3所示.这与实验观察到液桥慢慢回缩“变胖”，变圆变短的情况是一致的，如图4所示.这种变化意味着当两表面距离增大时，液桥侧面轮廓的曲率会从凹变为凸，马鞍形状的突起程度也相应变化.这是因为液桥的稳定形貌是由最小表面能决定的.由于表面张力的作用，使液体三相接触线具有收缩趋势，使液体表面积趋于最小，液面的稳定状态遵循最小能量原理.关于液桥能量的详细计算还有待深入的分析.

图3 液桥的侧面和端面的轮廓线变化示意图

图4 液桥随着距离增大的图像（液桥体积 1.0微升）

对两板间的液桥进行物理模型的构建是一个复杂的思维过程，对于学生的学习来说，具有一定的科学性，分别为模型建立、模型计算分析和模型的实验验证3个步骤，通过3个阶段的探索，教师开展科学建模教学，帮助学生掌握基础知识和概念.

3 结论

本文考虑狭长的两平行板间液桥两端的真实形状，建立三维液桥模型，推导出液桥的两端（类马鞍形）的体积，可计算得到液桥侧面曲率半径和扎钉角随着体积和高度的变化关系.该计算方法基于旋转体体积计算方法，液桥的形态特征参数用扎钉角、板间高度、宽度等重要参数表示出来，即可以加深学生对高等数学中的积分知识的理解，还可以培养学生建立物理模型的能力.