“纸带类”问题中奇数组数据求加速度的教学探讨

摘 要：以2021年高考甲卷第22题为例，用逐差法、平均速度法、Excel和Origin处理图像法等多种方法探究“纸带类”问题中奇数组数据的处理方法，探讨新课程背景下基于物理核心素养发展的深度课堂教学.

关键词：“纸带类”问题;打点计时;数据处理;科学探究;解题方法

中图分类号：G633.7     文献标识码：B     文章编号：1008-4134（2021）21-0060-03

作者简介：熊忠（1971-），男，云南南涧人，硕士，中学高级教师，研究方向：高中物理教学.

1 问题的提出

“纸带类”问题的测量一般都用“打点计时”装置，“打点”可以确定物体的位置，进而测量物体的位移，“计时”可以测量物体运动的时间，有了物体的位移和时间，就可以测量物体的速度和加速度，进而可以确定物体运动的相关物理量，用“打点计时”装置测量速度和加速度是高中物理教学中基础的、重要的探究内容之一，在近年来高考试题中反复出现.

“打点计时”无论是用打点计时器或者是频闪照片、滴水法，还是用视频解析，其共同特点都是各数据点时间间隔具有等时性.这类问题求加速度的方法都是相同的：对偶数组数据，一般采用逐差法，但是对奇数组数据，往往涉及数据的舍弃问题，鉴于高中物理对误差理论要求不高，这给不少学生解决这类问题带来了不少困惑，如何舍弃数据，有没有更好的方法处理奇数组数据？本文以2021年全国甲卷22题为例，探讨该类问题的解题方法.

2 例说“纸带类”问题中奇数组数据求加速度的方法

例题 （2021年高考甲卷 22题）为测量小铜块与瓷砖表面间的动摩擦因数，一同学将贴有标尺的瓷砖的一端放在水平桌面上，形成一倾角为α的斜面（已知sinα=0.34，cosα=0.94），小铜块可在斜面上加速下滑，如图1所示.该同学用手机拍摄小铜块的下滑过程，然后解析视频记录的图像，获得5个连续相等时间间隔（每个时间间隔ΔT=0.20s）内小铜块沿斜面下滑的距离si（i=1，2，3，4，5），见表1.

由表中数据可得，小铜块沿斜面下滑的加速度大小为m/s2，小铜块与瓷砖表面间的动摩擦因数为（结果均保留2位有效数字，重力加速度大小取9.80m/s2）.

2.1 解法一：逐差法

（1）方法一：间隔逐差法.由于该组数据为奇数，舍弃中间数值s3.

①a=s5+s4-s2+s16ΔT2=

（12.74+11.02）×10-2-（7.58+5.87）×10-26×0.202m/s2≈0.43m/s2

②对小铜块受力分析，根据牛顿第二定律有

mgsinα-μmgcosα=ma

代入数据解得

μ≈0.32

（说明：以下解法略去②问中求动摩擦因数的步骤）

（2）方法二：相邻逐差法

由匀变速运动规律有

a1=s2-s1ΔT2，a2=s3-s2ΔT2，a3=s4-s3ΔT2，a4=s5-s4ΔT2

而a=a1+a2+a3+a44=s5-s14（ΔT）2=

（12.74-5.87）×10-24×（0.20）2m/s2=

0.42375m/s2≈0.43m/s2

（3）方法三：对半逐差法

舍弃第一个数据s1，把数据分为两组：

a′2=s5-s32（ΔT）2

a′3=s4-s22（ΔT）2

a=a′2+a′32=（s4+s5）-（s3+s2）4（ΔT）2=

（12.74-5.87）×10-24×（0.20）2m/s2=

0.42375m/s2≈0.43m/s2

或者舍弃最后一个数据s5：

a′1=s3-s12（ΔT）2

a′3=s4-s22（ΔT）2

a=a′1+a′32=（s4+s3）-（s2+s1）4（ΔT）2=（20.33-13.45）×10-24×（0.20）2m/s2=

0.43m/s2

理论上说，上述三种逐差法计算结果误差是不一样的，根据误差分析[1]，使用逐差法时要注意两点：一要充分利用实验数据;二要求差时差值尽量大，故采用方法一较为合理，即舍弃中间数值误差较小.

使用逐差法总是要舍弃数据，没有充分应用数据减小偶然误差.还有没有更好的方法？

2.2 解法二：平均速度法

根据题目条件，铜块下滑时做匀变速直线运动.由匀变速直线运动的规律可知，中间时刻的瞬时速度等于该段位移内的平均速度，于是有

v13中=s1+s2+s33（ΔT）

v45中=s5+s42（ΔT）

a=v45中-v13中2.5（ΔT）=3（s5+s4）-2（s3+s2+s1）15（ΔT）2=0.4293m/s2≈0.43m/s2

“逐差法”在處理奇数组数据时，总是要舍弃一组数据，而利用“平均速度”法则可以不舍弃任何原始数据，数据均得到充分利用，最大限度地减少了随机误差，有利于培养学生科学、严谨的态度和尊重事实的证据意识.该方法从学生的基础知识出发，紧紧围绕加速度的定义，学生容易理解，也更有利于学生大概念的生成，有很好的教育和实践意义.

2.3 解法三：图像法

2.3.1 方法一：v-t图像法

以起始位置为0时刻，由解法二可求出s1、s2、s3、s4、s5各段中间时刻的瞬时速度见表2.

利用Excel的数据处理功能，可以很方便地作出上述运动的v-t图像，如图2.从拟合出的直线图可以看出，速度和时间的相关系数r2=1，说明二者间有很好的线性关系，拟合的公式为

y=0.4295x+0.2505

结合匀变速运动速度公式v=v0+at可知，该运动的加速度為0.4295m/s2，即约为0.43m/s2，初速度为0.2505m/s.

2.3.2 方法二：s-nT2图像法

由运动学公式，有

s2=s1+aT2

s3=s1+a2T2

s4=s1+a3T2

s5=s1+a4T2

……

sn+1=s1+anT2

设起始时刻为0时刻，把题中条件转化为表3数据.

用Origin8.0分析以上数据，求出sn+1和nT2间的关系.Origin软件是数据分析和绘图软件，具有数据的排序、计算、统计、曲线拟合等各种完善的数学分析功能，在教学科研和工程技术中有非常广泛的应用.该软件在拟合直线时，采用最小二乘法作为计算内核，得到的结果相对比较精确.

图3为由Origin8.0软件拟合出的sn+1和nT2间的直线关系图.由图4中Results Log可见，二者间的直线回归方程为y=a+bx，其中截距a=0.05868，斜率b=0.4295，结合sn+1=s1+anT2，可知物体的加速度为a=0.4295m/s2，即约为0.43m/s2.相关系数r=1，说明sn+1和nT2间有很好的线性关系.

用Excel和Origin8.0软件处理实验数据，与逐差法和平均速度法处理实验数据进行相比，用计算机软件处理的数据相对误差要小很多，而且数据间的函数关系形象直观，简化了数据处理过程，提高了实验结果的准确度，也避免了人为因素操作不规范等造成的误差，充分体现了用计算机软件处理实验数据的过程中有显著的应用价值.

3 结束语

科学探究是物理学科核心素养的重要内容，新课标对科学探究提出了“问题、证据、解释、交流”四个关键因素[2].科学探究在获取证据后，如何基于证据得到结论，并且对问题作出解释，最后对过程和结果交流、反思等，其核心是对获得的实验数据进行分析和解读，进一步开展交流讨论.在教学过程中，教师要基于核心素养的发展意识，创设合适的问题情境，通过对问题的加工和处理，引导学生运用所学知识科学地分析问题，尝试提出相关的改进方案，根据方案进行探究，最终完成核心素养的自我建构.教师在教学过程中，要充分利用信息化技术更新教学手段，实现教学手段的多样化，满足学生发展的多样性需求，提升学生的信息素养，开展真正有深度的课堂教学，让基于核心素养发展的教学真正落地.

参考文献：

[1]杨俊等. 逐差法求匀变速直线运动加速度的探讨[J]. 湖南中学物理，2020（03）：36-37.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中物理课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.

（收稿日期：2021-08-14）