居家自主设计探究性实验——基于Tracker、Python软件的落体球碰撞能量损失率实验优化

周 坤 李航远 孙宝印 徐亚东 吕冬丽

（苏州大学物理科学与技术学院，江苏 苏州 215006）

作为物理实验课程线上教学形式之一的虚拟仿真实验教学早已用于物理实验课程的居家学习，其具备物理图像清晰、操作逼真、设计性强等优点，［1-2］但仍缺乏实验操作的代入感，而且物理实验课程本身更注重动手操作能力的培养，只有虚拟操作是难以达到教学效果的.为了更好地完成居家教学任务，笔者拟尝试居家自主设计实验作为虚拟仿真实验的补充，主要通过选择贴近生活的实验器材（如智能手机、计时器、乒乓球等）完成实验.

智能手机携带的高精度传感器使居家实验的精确性得到保证.这些传感器结合相应的APP可以催生一系列基于智能手机的居家实验.［3-5］其中，基于落体球的相关动力学实验时有报道，如喻漫雪等利用Phyphox软件开展的落体球实验、［6］曾蓓等利用Tracker软件研究落体球运动过程.［7］上述两篇文章分别利用Phyphox和Tracker软件给出了一些落体球基本运动规律和结论.然而细究其过程，由于Phyphox软件在获取相关参数时，只能将落体球运动过程看作理想状态，从而忽略了空气阻力对运动过程造成的影响，而这对于密度较小的落体球来说影响较大；而曾等利用Tracker软件虽对不同小球受空气阻力影响作定性分析，但仍缺乏空气阻力的定量计算.基于以上情况，本文将计及空气阻力的影响，利用Tracker和Python软件（下文称Tracker拟合法）探究落体球（无初速释放）碰撞能量损失率，以期得到更准确的碰撞能量损失率.

1 利用Tracker拟合法探究落体球碰撞能量损失率实验思路

1.1 实验原理

如图1所示为落体球由某一释放高度H0处无初速释放后，与地面的碰撞情况示意图.由Phyphox测量原理可知，［6］只要通过测出相邻碰撞间隔时间t，即可通过换算成高度Hn（Hn为第n次碰撞后反弹的高度），进而计算出落体球每次碰撞能量损失率xn，即

图1 碰撞示意图

然而上式计算结果由于计入空气阻力造成的能量损失，从而使得xn比真实值偏大.落体球在运动过程受力如图2所示，其上升和下降过程阻力方向相反，当计及空气阻力时，上式计算显然是不合理的，其碰撞能量损失率xn的计算应通过第n次碰撞前后的速度来计算.其推导过程如下.

图2 落体球（乒乓球）受力分析

对下落过程中的乒乓球进行受力分析（如图2）.由牛顿第二定律知

式中k为空气阻尼系数，分离变量得

由于t=0时，v=0，物体下落时间为t时速度为v.对（3）式积分处理得下落过程中速度表达式

同理可推出上升过程速度和位移表达式分别为

上升位移为

碰撞前后能量损失率为

综上分析只需知道k，t即可计算出第n次能量损失率xn.

1.2 实验设计思路

实验中空气阻尼系数k为未知量，本实验中拟通过Python结合Tracker软件获取的实验数据进行拟合得到k.详细实验路径如图3所示，将不同高度无初速释放的落体球碰撞过程视频导入Tracker软件，读取若干组上升和下降过程的释放高度H、每次上升/下降过程的时间t，通过Python编写程序拟合阻尼系数k，利用k、t结合公式（4）（6）（8）即可计算出第n次能量损失率xn.

图3 利用Tracker软件改进实验的流程图

2 实验仪器及步骤说明

2.1 实验仪器

智能手机（Tracker软件、Python软件、Phyphox软件、摄影功能），乒乓球（质量为0.0027kg，直径40mm），直尺，卷尺，撞击地面材质为大理石，实验中g=9.8m/s2.

2.2 视频拍摄

在一处空白墙面上，以10cm为间隔精确标定20cm至70cm高度，用支架将手机竖直放置并固定，启用慢动作视频拍摄功能，开始拍摄，将乒乓球在释放高度H（20/30/40/50/60/70cm）处静止释放，待球与地面碰撞次数达到4次后，结束拍摄.注意在拍摄界面中放置一个正在计时的秒表，且确保乒乓球始终完整地出现在视频中.

2.3 Tracker软件追踪乒乓球下落轨迹

（1）将视频导入手机Tracker软件.

（2）利用软件的功能，以视频中秒表显示的时间为依据，以释放小球的质心为坐标原点，确定乒乓球在各个时刻的高度.从而找到乒乓球在碰撞后到达最高点时所处的高度H，碰撞后乒乓球到达最高点所需时间（或从最高点下降到下一次碰撞前的时间）t，详见图4所示.

图4

2.4 Phyphox软件测量乒乓球某高度自由释放后第n次碰撞能量损失率xn

为了便于比较实验结果的准确性，本实验同时采集了Phyphox软件测量的第n次碰撞能量损失率.将乒乓球在释放高度H（20/30/40/50/60/70cm）处静止释放，利用Phyphox软件分别测量其第n次碰撞能量损失率xn，实验方法及数据处理详见文献［6］，称其为Phyphox法.

3 实验数据分析

3.1 Python拟合阻尼系数k

依照实验原理中公式（5）和（7），计及空气阻力情况下，利用Python分别编写小球下降和上升过程碰撞地面时的速度数值的程序；将Tracker追踪得到的53组H、t数据导入程序，通过拟合得到下降和上升过程空气阻尼系数k值，取其平均k=3.00×10-3kg/s，该值与代超超等［8］报道的数值相近，详见图5.

图5 Python拟合空气阻尼系数k值（k=3.00×10-3kg/s）

3.2 利用阻尼系数k计算兵乒球某次无初速释放后第n次碰撞前后速度v

将乒乓球在高度H处无初速释放，基于Tracker追踪得到第n次下落（或上升）时间t和阻尼系数k，利用公式（4）、（6）计算其第n次碰撞前后速度v，详见表1.表中v上、v下分别代表上升和下降过程的最大速度.

表1 不同释放高度下第n次碰撞前后的最大速度

3.3 乒乓球自高度H无初速释放后第n次碰撞能量损失率对比

图6所示为Tracker拟合法和Phyphox法得到的乒乓球由高度H无初速下落后第n次碰撞的能量损失率.通过对比，可得出如下结论：（1）两种方法均能反映出初始释放高度与碰撞的能量损失率基本成正相关的关系，释放高度越高，能量损失率越大；（2）由于计及空气阻力的影响，Tracker拟合法测得的碰撞中能量损失率更小更接近真实值；（3）空气阻力对能量损失的影响随着高度增加而增大，事实上，对于乒乓球而言，当释放高度为70cm时，两种方法得到其前3次碰撞能量损失率差值分别为3.8%、6.2%、5.4%，因此，当采用轻质球开展本实验时，不可随意忽略空气阻力.虽然Tracker拟合法计及空气阻力的影响，可以较为精确的计算出能量损失率，但其在空气阻尼系数k、高度H、时间t的获得仍有一定误差，且此方法需要掌握一定的软件使用技能和编程基础，对初学者仍有一定难度.

图6 Phyphox法与Tracker拟合法得到的第n次碰撞能量损失率对比

4 结论

本文利用Tracker拟合法获取落体球运动过程相关参数，进而通过拟合空气阻尼系数k探究落体球碰撞能量损失率（计及空气阻力）.结果表明Tracker拟合法可在一定程度上获得更准确的落体球碰撞能量损失率，且该方法取材于生活常见物品，易于居家实现；其次，该方法有利于加深学生对真实落体过程有更清晰的认识；最后，文中通过Python编程的数值计算结合理论推导和实验研究也为学生探究物理问题提供了一种借鉴，令其对科学研究思路有一定了解，并产生一定兴趣，对其今后发展大有益处.