不同外加磁场中Kaplan-Shekhtman-Entin-Wohlman-Aharony 相互作用对量子失协非马尔科夫演化的影响*

张金峰 阿拉帕提·阿不力米提 杨帆 艾克拜尔·阿木提江 唐诗生 艾合买提·阿不力孜

(新疆师范大学物理与电子工程学院，乌鲁木齐 830054)

自从Moriya 和Kaplan 在自旋轨道耦合的单带哈伯德模型中发现了对称的螺旋交换作用,Shekhtman,Entin 和Aharony 等用这种不可忽略的对称螺旋交换作用成功地解释了 La2CuO4 的弱铁磁性.本文应用非马尔科夫量子态扩散方法研究了具有Kaplan-Shekhtman-Entin-Wohlman-Aharony 相互作用和Dzyaloshinskii-Moriya 相互作用的自旋链系统中量子失协的非马尔科夫动力学演化问题,分析了Kaplan-Shekhtman-Entin-Wohlman-Aharony 相互作用在零温和有限温度下不同外加磁场时对量子失协的影响.结果表明,在没有磁场或仅有均匀磁场的情况下,系统中的量子失协可以通过增加Kaplan-Shekhtman-Entin-Wohlman-Aharony相互作用而增加,而在非均匀磁场中则相反.更重要的是,通过调节均匀磁场和Kaplan-Shekhtman-Entin-Wohlman-Aharony 相互作用可以得到理想的失协状态.此外,还分别讨论了Kaplan-Shekhtman-Entin-Wohlman-Aharony相互作用在马尔科夫环境和有限温度下对量子失协的影响.

1 引言

量子关联是量子系统中的一种非经典关联,它是量子计算和量子通信中的一种重要资源[1−4].量子关联的表征和控制对于量子信息的应用至关重要,量子关联最典型的度量方法是量子纠缠[5,6].但是,量子纠缠并不足以描述系统中所有的量子关联[7,8],例如当系统中没有量子纠缠时还可以存在量子关联.因此,Harold 和Zurek[9]引入了另一种关联的度量方法,即量子失协,量子失协被定义为量子信息与经典信息之差,并且被证明是量子关联的一种好的度量方法[10].Fanchini 等[11]研究了两个量子比特耦合到独立和共同的非马尔科夫环境中量子失协的动力学演化过程,结果表明即使没有纠缠,由环境引入的关联也会转移到两个量子比特上,产生有限的量子失协.Dakić等[12]通过研究发现,量子失协是量子远程态制备的必要资源.

量子信息的存储和处理需要一个具有强量子关联性的量子系统,许多研究工作表明,固态系统由于具有良好的稳定性、可扩展性和易实现等特性,是合适的候选方案[13].量子自旋系统作为一种固态系统,由于其体积小、易于集成,在量子态制备和存储方面具有潜在的应用价值.作为自旋系统中最简单的模型,海森伯自旋链模型被广泛应用于电子自旋[14]、量子点[15]、原子核自旋[16]和模拟量子计算机的研究.其中对Dzyaloshinskii 和Moriya发现的具有Dzyaloshinskii-Moriya(DM)相互作用的自旋系统的研究已经受到了研究人员的广泛关注,这是因为DM 相互作用被认为是量子失协的有效调控参数之一.Mohammad[17]研究了海森伯XY 自旋链模型中DM 相互作用对量子失协和量子纠缠的影响,结果表明在DM 相互作用下量子失协比量子纠缠更稳定;Sun 等[18]发现,通过增加DM 相互作用可以提高两比特海森伯XYZ 自旋链模型的量子失协大小.

在Moriya[19]发现反对称的DM 相互作用时,还发现系统中存在一个对称的螺旋各向异性相互作用.在很长一段时间内,与反对称的DM 相互作用相比,这种对称螺旋相互作用被认为是可以忽略的.然而,Kaplan[20]随后在自旋轨道耦合的单带哈伯德模型中发现了这种对称的螺旋作用,然后Shekhtman 等[21,22]论证了它的重要性,因为它可以恢复被DM 相互作用打破的各向同性海森伯体系的 O(3) 对称性.Shekhtman 等[22]用这种不可忽略的对称螺旋交换作用成功地解释了 La2CuO4的弱铁磁性.由于他们的这些发现,对称螺旋交换相互作用被简称为KSEA 相互作用[23−25].最近,Yurischev[26]发现无外磁场时KSEA 相互作用可以抑制热平衡态下量子失协的局域最小值.KSEA相互作用被证明非常有助于增加热平衡态下的量子费舍尔信息和减缓系统的退相干[27].由于DM和KSEA 相互作用很重要,研究人员已经提出合成和控制DM 和KSEA 相互作用的方法.Liu 等[28]研究局域自旋,通过具有自旋轨道耦合的传导电子系统所产生的间接磁交换相互作用发现,当系统中只有电流没有自旋流(即仅有偏置电压)时,可以合成和控制各项异性的海森伯相互作用和DM 相互作用;当系统中没有电流但有自旋流(即仅有自旋偏置电压)时,不仅可以合成和控制各项异性的海森伯相互作用,还可以合成和控制DM 和KSEA相互作用.因此在该系统中可以通过调节自旋偏置电压和偏置电压来合成和控制海森伯相互作用、DM 相互作用和KSEA 相互作用.此外还可以尝试通过人工合成具有螺旋交换相互作用的材料,通过改变材料成分、变换堆叠顺序和混合杂质来控制DM 和KSEA 相互作用的强度大小和方向[28].

一个真实的物理系统不可能单独存在,它总是会与外部环境相互作用,所以真实的量子系统是开放的,开放的量子系统动力学演化分为马尔科夫过程和非马尔科夫过程.马尔科夫过程是一个没有环境记忆效应的过程,系统的能量和信息流入环境后不再流回系统;而非马尔科夫过程是一个具有环境记忆效应的过程,系统的能量和信息在流入环境一段时间后会流回系统,恢复其历史状态,所以研究具有环境记忆效应的非马尔科夫动力学的演化特性是很有意义的.非马尔科夫量子态扩散(non-Markovian quantum state diffusion,NMQSD)方法是由Diósi 等[29]在1998 年提出的,用于研究开放量子系统的非马尔科夫动力学演化过程.该方法在处理开放量子体系的动力学演化过程中不受耦合强度、关联时间及库的谱密度影响[29],其提供的数学工具使我们能够精确地研究非马尔科夫过程带来的奇异性质,在数值上处理一个随机的纯态,能够极大地提高计算效率,适合处理较复杂的模型.虽然固态体系有易嵌入和可扩展等优点,但与其他体系相比,其环境自由度过大,与环境存在强耦合等原因使其相干性难以长时间保持,体系明显具有非马尔科夫特性.例如,自旋与自旋库相互作用体系[30]和自旋玻色体系[31]的非马尔科夫效应非常明显.此类系统的动力学演化不能用Lindblad主方程(马尔科夫近似得到)准确描述,只有考虑体系的非马尔科夫特性才能解决.本文利用NMQSD方法研究在非马尔科夫环境下带有DM 相互作用的海森伯XYZ 自旋链系统在外加磁场时,沿z 方向的KSEA 相互作用对量子失协动力学演化的影响.

本文主要内容如下:第二节介绍系统模型,应用非马尔科夫量子态扩散方法推导非马尔科夫主方程;第三节介绍量子失协理论,研究在海森伯自旋链模型中存在DM 相互作用时不同外加磁场、不同的环境记忆效应系数以及有限温度下KSEA相互作用对量子失协的影响.通过数据模拟分析及参数的调控得出有利于提高系统量子失协的条件;第四节根据数值模拟结果得出结论,为扩展量子失协在量子信息领域中的应用提供理论依据.

2 模型与方法

海森伯XYZ 自旋链模型线性耦合于一组谐振子组成的玻色库时,该模型中系统的总哈密顿量可以表示为(ℏ=1)

玻色库环境的哈密顿量可以表示为

系统和玻色库环境之间的相互作用哈密顿量可以表示为

(2)式中的 bk和分别为湮灭算符和产生算符,ωk为玻色库中玻色子的跃迁频率;(3)式中L=是玻色环境和系统耦合的Lindblad算符,其中 kA和 kB表示的是两个常量,描述的是两个自旋链与各自环境的不同耦合强度,本文令kA=kB=1,gk表示系统与环境之间的耦合系数.

(1)式中 Hs表示为含z 方向的DM 相互作用、z 方向KSEA 相互作用和z 方向外加磁场的海森伯自旋链哈密顿量,可以写为

其中 Jx,Jy,Jz分别为x,y,z 三个方向的耦合常数,本文令 JxJyJz,此时海森伯自旋链模型变为海森伯XYZ 模型,σ=(σx,σy,σz) 表示泡利算符,Bz表示z 方向的均匀外加磁场,bz表示z 方向的磁场非均匀度,Dz表示为z 方向的DM 相互作用,Γz表示为z 方向的KSEA 相互作用.

2.1 零温下非马尔科夫量子态扩散方法

为了求解零温下该模型的量子失协动力学演化问题,需要借助NMQSD 方法来对其进行处理.假设 ψz∗(t) 为系统波函数,根据NMQSD 理论可以得到关于 ψz∗(t) 的动力学微分方程[32]

可以得到O 算符所满足的微分方程[32]

利用非马尔科夫随机扩散主方程可以推导出精确的非马尔科夫近似主方程来求解系统约化密度矩阵:

在Novikov-type 定理帮助下,(8)式可以改写为[32]

2.2 有限温度下非马尔科夫量子态扩散方法

考虑到有限温度下的热平衡态系统密度矩阵为[33]

其中 Hs和零温环境中相同,通过波戈留玻夫变换最终可得到系统的总哈密顿量为

其中两个环境关联函数可以分别写为

另外两个相互独立的高斯噪声可以表示为下面两式:

最后代入非马尔科夫量子态扩散方程中可得到

给出初始值为

则O 算符微分方程可以写为

通过非马尔科夫量子态扩散方程(NMQSD)得到的非马尔科夫主方程可表示为

(10)式和(22)式分别为整个体系在零温和有限温度下的非马尔科夫主方程,后面的研究均基于这两个主方程进行.

3 数值计算及讨论

一个给定的两体量子态的量子互信息为[9]

其中 ρA=TrBρAB,ρB=TrAρAB分别是子系统A 和B 的约化密度矩阵,S(ρ)=−Tr(ρlog2ρ) 是系统的冯诺伊曼熵.

对两体量子系统的任意子系统进行测量,将会对另一子系统造成扰动.这里,对子系统B,用一组完备的POVM 测量基 {Bk} 进行测量,如果测量的结果为k,条件矩阵则变为

对应的概率为 ρk=Tr[(IA⊗{Bk})ρAB(IA⊗{Bk})].对子系统进行测量之后,相应的量子条件熵为

此外,量子互信息可以写为

为了获得最大的 I(ρAB|{Bk}),遍求全部的测量,从中选择最优的一组.这个最大值即为经典关联C(ρAB),具体的数学形式为[9]

系统的互信息和经典关联之间的差值定义为量子失协[9],即

下面基于量子失协公式(28)式和零温非马尔科夫近似主方程(10)式以及有限温度非马尔科夫近似主方程(22)式通过数值计算讨论环境记忆效应、外加磁场、KSEA 相互作用对耦合到玻色库中的两比特海森伯XYZ 自旋链模型的量子失协随时间演化特性的影响.本文选择最大纠缠态|ψ〉=作为初始态.

首先研究了零温环境下KSEA 相互作用对量子失协的影响.图1(a)给出了量子失协随KSEA相互作用和时间t 变化的三维投影图,图1(b)是在 ωt=5 时量子失协随KSEA 相互作用的演化过程.从图1 可以看出,当KSEA 相互作用强度增加时,量子失协也随之增大,而当KSEA 相互作用强度增加到 Γz≥2 之后,系统的量子失协接近最大值的理想失协状态.这是由于KSEA 相互作用恢复了系统的 O(3) 对称性,从而抑制系统的退相干,使得系统的量子失协可以保持较高的状态.

图1 (a)量子失协随KSEA 相互作用和时间的演化特性;(b) KSEA 相互作用在ωt=5 时对量子失协的影响.其他参数 Jx=0.2,Jy=0.5,Jz=0.9,γ=0.1,Bz=0,bz=0,Dz=0.2,T=0Fig.1.(a) Dynamics of quantum discord with KSEA interactions and time;(b) effect of KSEA interaction on quantum discord at ωt=5.The other parameters are Jx=0.2,Jy=0.5,Jz=0.9,γ=0.1,Bz=0,bz=0,Dz=0.2,T=0.

为了进一步研究零温下不同磁场环境中KSEA相互作用对量子失协的作用效果,首先在图2(a)中给出了不加磁场时KSEA 相互作用对量子失协随时间演化特性的影响.从图中明显可以看到,Γz取值越大,量子失协越大.其次,在图2(b)中,考虑了外加均匀磁场的情况.不难看出,当KSEA 相互作用 Γz=0 时,系统的量子失协强度大于图2(a)中没有磁场时的情形.显然,均匀磁场的存在促进了量子失协的增加.此外,随着KSEA 相互作用强度的增加,系统的量子失协强度亦增大,表明均匀磁场和KSEA 相互作用的联合效应对量子失协强度的提升具有积极作用.最后,在图2(c)中给出了非均匀磁场的情况.有趣的是,KSEA 相互作用越小,磁场的非均匀度和KSEA 相互作用的联合效应越积极,比没有磁场或外加均匀磁场时还要明显.甚至没有KSEA 相互作用时磁场的非均匀度使得量子失协几乎能达到理想值.通过一系列磁脉冲实现量子逻辑操作的核磁共振量子计算方案,或不可避免的磁耦合存在时的情况都是非均匀磁场的情况.KSEA 相互作用越大,非均匀磁场下的量子失协衰减得越快.显然,当体系中存在KSEA 相互作用时,磁场的非均匀度抑制了KSEA 相互作用恢复 O(3) 对称性的效果.

图2 KSEA 相互作用在不同磁场环境下对量子失协的影响 (a)不加磁场 Bz=0,bz=0 ;(b)均匀磁场Bz=1,bz=0;(c)非均匀磁场 Bz=1,bz=3.其他参数Jx=0.2,Jy=0.5,Jz=0.9,γ=0.1,Dz=0.2,T=0Fig.2.Effects of KSEA interactions on the dynamics of the quantum discord in different magnetic field environment:(a) No magnetic field added Bz=0,bz=0 ;(b) uniform magnetic field Bz=1,bz=0 ;(c) non-uniform magnetic field Bz=1,bz=3.The other parameters areJx=0.2,Jy=0.5,Jz=0.9,γ=0.1,Dz=0.2,T=0.

为了进一步弄清楚马尔科夫环境下(γ=3)KSEA 相互作用对量子失协的影响,图3 研究了马尔科夫环境下外加均匀磁场(Bz=2)时KSEA 相互作用对量子失协的影响.结果表明,在马尔科夫环境中,均匀磁场和较大的KSEA 相互作用的联合效应能够使得量子失协最终保持一个稳定的失协状态.然而,通过比较可以发现,此时的量子失协比非马尔科夫环境中的量子失协明显要小.这是由于马尔科夫环境中从系统流出到环境中的能量和信息不再回流到系统中,导致此时的KSEA 相互作用对系统量子失协的积极作用没有非马尔科夫环境下的作用效果好.

图3 马尔科夫环境下均匀磁场中KSEA 相互作用对量子失协的影响.其他参数 Jx=0.2,Jy=0.5,Jz=0.9,γ=3,Bz=2,bz=0,Dz=0.2,T=0.Fig.3.Effects of KSEA interactions on quantum discord in a uniform magnetic field in Markovian environment.The other parameters are Jx=0.2,Jy=0.5,Jz=0.9,γ=3,Bz=2,bz=0,Dz=0.2,T=0.

为了使研究更接近实际情况,还需要考虑系统处于热平衡态时的情况,并分析温度和均匀磁场同时作用时含有KSEA 相互作用的系统量子失协的演化特性.图4(a)给出了量子失协随温度 T 和时间t 变化的三维图,图4(b)给出了 ωt=5 时量子失协随温度 T 演化的二维图.可以看出,随着温度T的增加量子失协逐渐减少,最终减少到一个稳定值.很显然,虽然环境温度的增加使得KSEA 相互作用不能再有效恢复海森伯系统的 O(3) 对称性,从而导致量子失协比零温时的要小,但是在KSEA相互作用和均匀磁场的联合效应下量子失协总能保持一定的稳态值.

图4 (a)量子失协随时间和温度的演化特性;(b)温度在ωt=5时对量子失协的影响.其他参数Jx=0.2,Jy=0.5,Jz=0.9,γ=0.1,Bz=1,bz=0,Dz=0.2,Γz=2Fig.4.(a) Dynamics of quantum discord with time t and temperature T;(b) effect of temperature T on quantum discord at ωt=5.The other parameters are Jx=0.2,Jy=0.5,Jz=0.9,γ=0.1,Bz=1,bz=0,Dz=0.2,Γz=2.

4 结论

通过数值计算,利用NMQSD 方法研究了在非马尔科夫环境下不同的外部磁场中KSEA 相互作用对量子失协的影响.此外还分析了在马尔科夫环境下均匀磁场中KSEA 相互作用对量子失协的影响并与非马尔科夫的情况进行了简单的对比.最后,得出了温度对非马尔科夫环境下含有KSEA相互作用的系统量子失协的影响.基于数值结果可以得出以下结论:当因实际需要在体系中有必要合成和调制KSEA 相互作用时,在非马尔科夫环境下外加均匀磁场时KSEA 相互作用提升系统量子失协的效果最明显.但是磁场的非均匀度会削弱KSEA 相互作用的这种效应.然而,只要KSEA 相互作用足够小,那么通过磁场的非均匀度就可以更高效地提升量子失协.马尔科夫环境下的量子失协和热平衡态时的量子失协都同样可以通过KSEA相互作用维持在一个稳定值上.