问题情境化的试题启示

李梅菊 刘永东

摘  要：2020年全国各地初中学业水平考试数学试题呈现出问题情境化的命题趋势，更关注生活和具体情境下对学生阅读力和思考力的考查，从中选择三道不同难度的试题进行命题例释，提出三点提升学生数学阅读和数学交流素养的课堂教学建议，即建议通过阅读以确定要解决的数学问题，通过思考以理解所求的数学问题本质，通过交流以评估所解的数学问题策略.

关键词：试题分析;具体情境;数学阅读;数学交流

一、问题提出

从当前国内外测评中发现，学生是问题解决者的测评理念备受关注. 国际学生评估项目（PISA）经历了三次数学测评框架调整，但都一以贯之坚持学生在具体情境问题中经历数学建模過程的测评. 在国内，初中学业水平考试以课程标准为命题依据，无论是从《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出的六大学科核心素养，还是《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的十个核心概念，都离不开数学建模，特别是后者，要求学生能从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义. 由此可见，学生在具体情境中解决问题的能力至关重要. 这也引发了初中学业水平考试命题方式的变化. 例如，山西省提出了初中学业水平考试命题的六个维度，其中提及借鉴PISA测试理念，创设具体问题情境，增强学生的阅读能力，注重体现表达、交流和共享. 基于此，笔者探析2020年全国各地初中学业水平考试数学试题，发现问题情境化已经成为命题趋势，很多试题都与生活和具体情境相关，并加大了对学生数学阅读力和思考力的考查力度. 以下从中选择三道难度不同的典型试题进行例释，并给出三点教学建议.

二、典型试题例释

1. 基础考查情境化，凸显数学思辨

例1 （山西卷）下面是小彬同学进行分式化简的过程，试认真阅读并完成相应任务.

[x2-9x2+6x+9-2x+12x+6]

[=x+3x-3x+32-2x+12x+3]……第一步

[=x-3x+3-2x+12x+3]……第二步

[=2x-32x+3-2x+12x+3]……第三步

[=2x-6-2x+12x+3]……第四步

[=2x-6-2x+12x+3]……第五步

[=-52x+6]……第六步

任务一：

填空：

① 以上化简步骤中，第      步是进行分式的通分，通分的依据是      . 或填为：      .

② 第      步开始出现错误，这一步错误的原因是      .

任务二：试直接写出该分式化简后的正确结果.

任务三：除纠正上述错误外，试根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议.

例1是该卷解答题的第1题，简单考查分式运算，但是不同于常规，此题设置了三个任务情境，让学生认真阅读并找出分式化简过程中的错误及其原因，进而算出正确结果，最后给出开放性的学习建议. 可见，中考试题在考查学生基础知识和基本技能时，不再是单纯地对具体、直接的试题进行解答，独立去执行计算或证明步骤，而是把问题情境化，呈现解答过程，让学生进行数学思辨，在考查基础知识和基本技能的同时，重点考查了学生发现问题和分析问题的能力.

类似地，浙江杭州卷第17题考查一元一次方程的解题过程辨析;而几何基础题也不例外，浙江嘉兴卷第19题呈现小明同学关于一道基础几何证明题的解答过程，再以问题的形式让学生判断是否正确. 从这些基础题考查形式的变化看，增加了题干的文字量，既增加了对学生数学阅读能力的考查，同时又增加了对学生在问题情境中思辨数学算理或原理的思考力的考查，可谓是勿因简单而放弃思考，阅读理解与思考辨析紧密相连.

2. 模拟对话式情境，指向数学交流

例2 （贵州·贵阳卷）第33个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛. 学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如图1所示.

（1）试用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了;

（2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多少？

例2考查方程（组）、不等式及一次函数的简单综合运用，属于中等题. 试题背景贴近时代及地域特征，条件不再以传统的叙述方式给定，也不是以往简单的“数学对话”情境设置，而是给出两名学生交流的观点，让学生参与思考并表达. 第（1）小题的参与解释限定了数学知识，但学生可以发散地探究学习委员观点的正误，应用一元一次方程或二元一次方程组可以解释，通过建模求解发现，求出的钢笔支数不是整数，以此来支撑生活委员的数学观点. 倘若学生也出现计算错误，则无法找到准确的依据，迫使学生评估自己的解题策略和过程，进而完成了阅读、思考和评估交流的过程. 而第（2）小题，再增加问题情境，使得问题复杂化，学生需阅读理解三个变量之间的关系，并思考如何应用数学模型来表示，进而运用数学知识在辨析中解决问题. 实质上，在思考数学模型的过程中，需要将变量由三个减少到两个，进而用其中一个量表示笔记本的单价，再通过单价的限定判断并解释存在的可能性，这里凸显了数学思想的思辨，如果没有良好的阅读力，以及应用数学的思考力，是很难正确进行数学表达的. 因此，还需要学生有较好的数学交流素养，才能准确无误地解题.

类似地，江苏连云港卷第23题、江苏扬州卷第23题都有相同知识的问题情境化考查. 在不同领域中也有很多类似设置. 例如，云南卷第17题则以统计为背景，考查了学生的数据分析素养，试题中给出一个包含了某公司工资收入分布情况的信息表格，通过设置经理、职员及应聘者对于该公司的收入进行的观点描述，让学生参与情境，根据信息回答问题. 再如，江苏南通卷第23题考查了概率知识，河北卷第14题考查了圆的相关知识等. 这些均是将试题条件以对话的形式呈现，让学生参与其中思考、发现问题，进而分析和解决问题.

3. 解释真实性情境，引发深度思考

例3 （浙江·台州卷）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图2）.

科学原理：如图3，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为[s2=4hH-h].

应用思考：现用高度为20 cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究. 水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离h cm处开一个小孔.

（1）写出s2与h的关系式;并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？

（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式;

（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16 cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离.

例3属于考查二次函数在实际问题中综合应用的压轴题，该题通过图文展示，模拟真实情境，抽象出数学问题，进而解释圆柱形盛水容器通过侧面的小孔流水，小孔的位置不同，流出的水的路径也会不同. 从小孔射出水的射程与小孔距离水面的竖直距离可以用一个函数关系式表示，通过函数模型去探讨射程最大值的变化情况，让学生在此过程中感受到生活中的数学，引导学生用数学眼光去观察世界，用数学思维去分析世界. 第（1）小题根据试题背景求出函数解析式，求射程最大值，即求s的最大值. 由已知条件可以得到[s2]是关于[h]的二次函数，进而转化为求[s2]的最大值，理解不难. 第（2）小题由一个小孔变成两个小孔，情境变化了，增加量之间的关系理解，两个小孔射出水的射程相同时，其距水面的竖直距离有什么关系？将问题转化为数学问题，即当[s]相等时，[a]与[b]有什么关系，进而列出等式[20a-b=a2-b2]，运算得出[a=b]或[a+b=20]. 当然，也可以从函数的观点出发，[s2]是关于[h]的二次函数，那么问题就转化为当函数值相等时，自变量的值有什么关系？则可以利用数形结合，根据二次函数的对称性，也不难求得. 此小题既可以考查学生整式恒等变形的能力，又可以考查学生对数形结合思想的应用. 第（3）小题进一步提升难度，在原有问题上，通过学生熟悉的“当垫高塑料水瓶后，射程便发生了变化”原理，增加变量条件，从而加深理解射程[s]与小孔离水面竖直距离[h]之间的函数解析式，通过分析得出新的解析式. 但此时解析式中含有参数，随着参数的变化，函数的最大值也在变化，则需要利用配方法或者公式法将二次函数的最大值用参数表示出来，进而解决问题，后面再详述解题策略.

一般的压轴题以纯数学背景给出题设居多，直接让学生根据已知去解答，而融入真实情境，并结合问题背景的不断变化让学生思考并解决问题的试题也有很多. 例如，浙江嘉兴卷第24题，以学生熟悉的篮球比赛传球投篮为背景命制，是对二次函数、图形的相似等知识的综合考查. 再如，江苏南京卷第27题以“输送燃气管道”为背景命制，是对三角形、四边形、圆和轴对称性质等知识的综合考查;而湖南长沙卷第12题则以长沙小吃“臭豆腐”的可食用率为背景命制考查二次函数的知识. 除了压轴题外，很多地区的初中学业水平考试数学试卷中的中等难度解答题也呈现了真实情境. 例如，山东烟台卷第23题以疫情期间清华大学牵头研制一款“测温机器人”为背景命制，浙江绍兴卷第23题以排球场上发球为背景命制，等等. 都进行对知识的综合应用考查. 在解决这些试题时，需要学生有较强的阅读理解能力，会结合生活知识理解实际问题，进而将其转化为数学问题，再运用数学知识进行表达，最终合理地解决实际问题. 而这需要以阅读理解和数学思考为根基，如果学生缺乏数学阅读力和思考力，则很难进一步运用数学知识解决问题.

三、课堂教学建议

课堂教学从本质上是培养学生的数學素养的. 而PISA 2021数学测评框架将数学素养定义为：个体在真实世界的不同情境下进行数学推理，并进行表述、应用和阐释数学以解决问题的能力. 这里是从学生参与数学表述、数学运用和数学阐释这三个过程来测评素养的，“表述”是指将问题情境转化为数学问题，并通过简化条件等来帮助解决问题;“运用”是指涉及数学推理的解决方案;“阐释”是指在问题背景下解释数学解决方案或结果的合理性. 可见，前述的初中学业水平考试数学试题和PISA试题所强调的是相通的，即在不同的真实情境下，通过阅读理解和经历数学建模的过程，进而运用数学推理以解决问题. 而完成整个过程需要学生具备进行分析、评价、比较或者对比时所需要的能力，进而有意识地引导思维加工，找到解决问题的有效方法. 这是国际著名心理学家罗伯特·J.斯腾伯格提出“成功智力”的第一个成分，即分析性智力. 也就是说，解决问题的具体过程就是从一个问题情境出发，逐步克服各种障碍，找到解决方法，并从多个方案中进行选择或者对不同的方案进行评估，最后做出决策. 这个过程中主要涉及三类技能：（1）确定问题和配置资源;（2）理解问题和组织信息，并提出问题解决的策略;（3）评估问题的解决方案.

综上所述，反映在数学学习上，实质上是数学阅读、数学思考及数学交流的体现. 下面就例3的课堂教学，阐述如何在课堂教学中发展学生的分析性智力，以解决问题.

1. 通过数学阅读以确定问题是解决问题的前提

会合理地确定问题是解决问题的开端，而这离不开阅读，需要通过阅读进行批判性思考、反思及评价. 以阅读材料的形式呈现的试题，阅读量较大，要解决问题，先要阅读理解题意，很多学生之所以不能解决问题，实质上是因为读不懂题意，不能从问题中提取有效的数学信息. 因此，数学阅读并不仅仅是看，或是获得信息，更重要的是用自己已有的知识和经验去联系和领悟问题. 这启示在教学过程中，教师要对数学问题进行分解式阅读，进而确定问题，即将要解决的母问题分解成一个个子问题，进而寻找这些子问题之间的联系，再应用数学思考分析，对这些子问题的解决策略进行关联，最终解决母问题. 因此，在教学中，通过分解帮助学生确定问题，指导学生合理、有效地分配策略，是解决问题的前提.

在例3的第（3）小题中，对“如果通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16 cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离”这个母问题，可以分解成5个子问题引导学生思考解决策略，逐步把要解决的问题转化为已解决的数学问题，将难处理的大问题分解成易思考的小问题.

子问题1：水瓶垫高后，哪一个量改变了？

子问题2：最大射程增加16 cm表示什么？

子问题3：若将水瓶垫高1 m，此时的最大射程为多少？

子问题4：若将水瓶垫高2 m，此时的最大射程为多少？

子问题5：若将水瓶垫高[m]米，此时的最大射程为多少？

2. 通过数学思考以理解问题是解决问题的核心

当确定数学问题后，紧接着是理解问题和组织信息，提出问题解决的策略. 理解问题就是要建立新旧问题之间的联系，把新问题纳入到学生原有的认知结构中去，转化为学生已经解决的旧问题，从而形成新的认知结构. 这个理解问题的过程，离不开学生的数学思考.

上述5个子问题中，子问题1和子问题2引导学生理解原情境及试题提供的图片，明晰情境的变化，即水瓶高度的变化导致射程的变化，进而最大射程也随之变化. 紧接着，子问题3和子问题4中的水瓶垫高值固定，可以让学生分组独立完成，引导学生将其转化为数学问题，类似地，应用第（1）小题的求解策略，同时也让学生感受到其中的变化. 子问题5则从确定值到不确定，通过参量的引进，从特殊到一般，则需要学生以分组讨论的方式探索解决. 最后串联5个子问题，总结问题解决的策略. 例如，学生还不能解决母问题，但通过对每个子问题的解决策略获得，就能逐步做好解题计划，通过数学思考讨论解题策略，从而获得深刻性的认识. 有思考的学习才是主动的、有意义的学习，“学而不思则罔，思而不学则殆”，这里就是通过学与思的联系体悟，不是直接讲授正确的解题过程，而是通过问题激励学生思考，并启发和指导学生进行有效的数学思考活动以理解问题，这也是教学中解决问题的核心.

3. 通过数学交流以评估反思是解决问题的升华

当学生理解问题后，并尝试获得母问题的解决策略后，还需要主动进行评估和批判性分析：策略是否正确？如果正确，好不好？有没有更好的？评估反思过程主要是通过表达来进行，包括自我评价及他人评价. 从另一个角度来看，就是在阅读和思考的基础上进行数学交流，通过互动分享和完善，提高自身的认知水平. 而好的交流能反向促进学生进行阅读和思考，它们相辅相成.

对于前述问题，可确定问题：对含参数[m]的二次函数解析式[s2=4h20+m-h]，当函数的最大值为[20+162]时，求[m]和[h]的值. 而由解析式求函数最值的策略很多，运用公式得出顶点坐标，或通过配方转为顶点式，或转为交点式[s2=-4hh-20-m，] 快速得到对称轴方程，均可求得最大值.

以上從问题确定到运用数学知识解决问题，均需要充分的数学交流，以师生积极参与、交往互动、共同发展的过程体现学生是学习的主体，方能不断完善学生的认知，达成对问题解决的理解升华.

四、结束语

课堂教学中培养学生能“带得走”的能力，是为学生的终身学习做准备，为其后续发展打基础. 教师通过关注社会的发展及身边的数学，以开放性的真实的生活情境问题开展数学活动，在激发学生学习兴趣的同时，引导学生运用数学阅读提出问题和发现问题，运用数学思考并分析问题，通过数学交流、评估和反思解决问题，让学生“看得懂、想得透、说得清”，不仅获得知识和技能，更获得能力提升，特别是数学阅读和数学交流素养的提升.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]罗伯特·J.斯腾伯格. 埃琳娜·L.格里戈连科. 成功智力的教学：提高学生学习效能与成绩（第二版）[M]. 丁旭，盛群力，译. 宁波：宁波出版社，2017.