高中数学概念情境化教学策略——以“相互独立事件”为例

王圣荣 黄 涵

（1.三明市第九中学，福建 三明 365001；2.三明第一中学，福建 三明 365001）

概念是数学教学中最重要的一部分，在实际教学实践中，概念的生成过程与练习的讲解存在巨大的矛盾。如果教师没有引导学生就概念产生的具体背景以及情境进行深入的研究，学生对概念存在的必要性与合理性没有任何理解，只能机械性的记忆，严重阻碍解决问题能力的提升。［1］在《普通高中数学课程标准（2017 版）》中有这样的描述：通过高中数学课程的学习，学生能在情境中抽象出数学的概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验；养成在日常生活和实践中一般性的思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁；运用数学抽象的思维方式思考并解决问题。从以上文字可以看出，数学概念作为数学抽象的重要组成部分，应该基于具体的情境去概括。教师不仅要引导学生从具体的情境中抓住对象的共同特征，还要运用抽象所得结果，以简驭繁的思考问题和解决问题。可见，高中数学课程的教学需要从简单的情境中引导学生抽象出概念，让学生能够更好地理解概念的生成过程，明白概念存在的必要性，同时对概念生成情境的理解，也有助于学生将概念应用在具体问题的解决中。

以相互独立事件的概念为例，它是高中阶段概率模块的核心概念之一。课本中对相互独立事件的概念只有一句话：设A，B为两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。而这之前，还有一句话是这样描述的：P(B|A)=P(B)。如果教师只是照本宣科地说明这一概念，学生的理解就只能停留在“两个事件的发生相互间没有影响”，没有将感性的认知抽象为数量与数量之间的关系。

一、问题的对比触发质疑

数学抽象的第一阶段是基于现实的。学生对数学概念的深刻认识是对现实问题的分析后获得对数量与数量之间关系的抽象。如果只是简单地对某一研究对象进行描述性的说明，学生很难从中察觉到研究对象在抽象过程中的重要性，将两个关联度比较高的问题放在一起进行分析，可以让学生对研究对象的特征有更加深入地认识。［2］就好像做实验的过程中对其中的某个要素进行改变，其余要素都保持不变，可以更好地获得试验的研究结果一样。

问题1：现有3 张奖券A、B、C，其中奖券A是中奖奖券，其他两张奖券没有中奖。现在有甲、乙、丙三名学生从这3 张奖券中无放回（有放回）各抽取一张。（1）求甲中奖的概率；（2）求乙中奖的概率；（3）求甲中奖的条件下，乙中奖的概率；（4）求甲不中奖的条件下，乙中奖的概率。

本题中涉及对象的个数只有3 个，是为了让学生将涉及的所有基本事件通过列举的形式表达出来，进而更好地观察其中的差异。对比“有放回”和“无放回”两种情境，学生通过观察“无放回”时的6 个基本事件和“有放回”时27 个基本事件，可以很容易地找到所得概率在不同情境中的差别，进而质疑，什么情况下附加条件会对最终的概率产生影响？进而催生相互独立事件概念的必要性思考。

二、语言的对比触发抽象

刚接触相互独立事件时，学生很容易用自然语言对数学对象进行描述，这就使符号语言成为学生学习过程中多余的负担。一个问题明明可以通过自然语言进行描述，又何必多此一举引入符号语言来复杂化问题呢？事实上，数学符号语言是一类研究对象共同特征的一般化。通过将研究对象转化为数量或空间关系的形式，进而一般化为符号的形式，能够更清晰地呈现研究对象的特征，使得生成的概念既能集中体现相关研究对象一般性的特征，还能具有广泛的适用性。

用符号的形式表达数学概念，首先要明确相关符号的意义，使数学概念能够简洁而精确。比如，相互独立事件如果用自然语言表达就是：事件A的发生不会影响事件B发生的概率，那么这两个事件就是相互独立事件。这样的描述看上去很简单，但是具体操作的过程中却很难应用在具体问题的解决中。而转化为符号P(B|A)=P(B)，就能够很好的呈现“影响”的作用，便于验证两个事件之间的关系。

如2021 年全国新课标卷第8 题选择题：有6 个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机抽取两次，每次取1 个球。甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球数字之和是8”，丁事件表示“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）

A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立

本题考查的对象是对相互独立事件的概念的理解。题目难度不大，但是点明了自然语言和符号语言在具体问题解决过程中的差异。相互独立事件的自然语言在解答本题的时候没有操作的余地，每个选项都是模棱两可。但是从符号语言入手进行解答，就可以很容易得到相应的结果。

以本题的正确答案B选项为例，设甲事件为A，丁事件为D，通过列举法可以得出所有的基本事件有36 种，其中事件A含有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），6 种基本事件；事件D含有（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，1），（6，1）6 种基本事件。容易观察得，事件A⋂D和的基本事件分别为1 种和5 种，因此P(D|A)=；同理可以得出。两个概率最终都等于P(D)=。由此可见事件A是否发生对事件D发生的概率没有产生任何影响。

以上分析可以看出，符号语言虽然高度抽象，但是也正是这种高度的抽象使它集中体现对象的本质特征，明确了研究对象需要满足的条件，便于对相关的其他对象进行判断。而自然语言虽然通俗易懂，但是在遇到混淆性比较大的问题时，很容易陷入模棱两可的境地，进而对问题束手无策。

没有一个数学概念是多余的，这必须成为学生学习数学概念过程中最重要的共识，只有通过大量的逻辑脉络清晰的问题的引导，让学生不断加深对某个数学对象认识，进而对数学对象进行深入的研究，用自然语言表达出抽象的结果，最终用简洁的符号语言将数学概念内涵明确地表达出来。当学生发现自己的所表达出来的形式与课本中所得到的符号形式相吻合时，学生所获得的成就感将超出教师给予学生一切表扬和奖励。

三、思维的对比触发灵感

通过以上的描述可以看出，抽象实际上是来源于直观。数学概念的形成是摒弃事物的一切物理属性，让学生对直观的感性认识所得到的结果进行归纳，抓住事物的共同点，用符号呈现一般化的特征的过程。这是感性认识到理性认识的升华，更是量变的积累到质变的飞跃的必然结果。教学过程是浓缩概念的生成过程，实际的过程要远比这个艰难得多。具体到解决问题的时候，学生又可以在严谨的符号形式的基础上，进一步赋予各种各样的物理属性，使得抽象的结果具备了广泛的应用型，最终达到解决问题的目的。从特殊到一般，在从一般到特殊的过程，结合了学生的学习、思考、应用和升华的过程，螺旋式地提升学生的核心素养。［3］

以问题1 为例，正是因为列举让学生可以看到所有基本事件，3 个元素既具备了简化列举对象的特征，同时又有“是否放回”这一干扰因素，学生很容易抓住问题的区别点。由于相互独立事件是在条件概率的基础上进行研究，在教学过程中，先对不同的几个条件所产生的结果进行列举，让学生将思路聚焦到对不同问题中各个基本事件之间的对比。例如，“甲中奖概率”和“乙中奖条件下，甲中奖的概率”，让学生自主发现其中的基本事件随着条件的发生而改变，这种改变有的成比例，而有的却是不成比例，导致概率有的发生变化，有的没有发生变化。接着改变问题的情境或者元素增加到4 个或者更多，让学生在解答的过程中越来越集中感知条件概率公式下，相互独立事件所表现的特别之处，最终得到相互独立事件的概念。

可见，概念的抽象过程不仅是问题发现和解决的过程，还是思维经历感性认识、梳理感性认识后进而达到抽象为理性结论的过程。［4］

四、分析的对比触发简化

分析是指将事物分解为较简单的几个组成部分进行研究。分析首先要对事物的组成部分进行划分，划分的方法不同，对事物特征的抽象过程和难度都会有所不同。以两种不同的划分方法作为教学实例，将研究对象分解为不同的几个部分，对比两种划分方式在数量与数量之间关系的处理，多角度、多层次的理解事物的抽象方法，呈现局部与整体的关系，得出解决问题的思维方式和思考结果。

在相互独立事件发现之前，事件的概率是通过研究满足条件的基本事件个数占所有基本事件的比例计算得出的，即P(AB)=。在发现了相互独立事件以后，或者说在发现条件概率之后，多个事件同时发生的概率就可以跳出综合的推理方法，转向通过对相关组成事件的分析达到对相关事件概率的求解。若A,B是相互独立事件，则P(AB)=P(A)P(B)。这就承接了数学思考过程中，通过对一个个局部的小问题的解决，达到对复杂问题的整体解决，这样的解决问题的方式，极大地简化了问题的思考过程，同时也减少了研究对象的难度，提升了解题效率。

问题2：甲罐中有5 个红球，2 个白球和3 个黑球，乙罐中有4 个红球，3 个白球和3 个黑球。先从甲罐中随机取出1 球放入乙罐，分别以A1、A2、A3表示甲罐中取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，求事件发生的概率。

本题研究的对象是乙罐中取出红球，但是乙罐中的红球个数的基本事件数会因为甲罐中取出来的球的颜色不同而不同，简单地只针对乙罐进行分析显然不行。从基本事件数的角度来看，先利用分步计数原理，可以看出所有基本事件分别是10、11 种。再利用分类计数原理，将乙罐中取出红球分为三类情况：1.甲罐中取出红球；2.甲罐中取出白球；3.甲罐中取出黑球。当然也可以直接分为甲罐中取出红球和非红球两种。如果使用前者，则从乙罐中取出红球的基本事件数有：5×5+2×4+3×4 中，即可求得P(B)的值。从条件概率的角度来看：可以将事件B转化为从甲罐中是否取到红球的概率，以及在此条件下乙罐中取到红球的概率的乘积，最终得到的结果是。

以上两种方案得到的形式看上去差不多，但是其中的内涵与思维方式都不相同，问题的难度也有一定的变化。这种变化在两个罐子这类问题中很难得到体现，但是当问题转变为n个罐子的一般性问题之后，这种变化所带来的便利就能够得到充分的体现。也就是说，通过对各个局部特征的思考，进而达到对整体特征的把握，不仅能让问题的解决得到简化，而且也使得抽象形式的表达更能体现一般性，这样的简化就为后续二项分布问题的概率形式表达提供了条件，是学生进行深度思考的重要途径。

五、总结

概念是构建数学大厦的基础，这些概念都是从大量的情境中逐步生成的，但是具体的教学实践中，概念却给学生留下晦涩的印象，是一个难以亲近的存在。情境化的教学的过程中，让学生经历问题的冲突、语言的选择和问题解决过程中的思考方式的调整过程，让学生感受到概念出现的必要性，也要通过概念的应用，让学生感受到概念出现的合理性。［5］其实在实际教学过程中，情境化下概念的生成与练习的讲评并不会产生冲突，教师应该将练习中的所包含的对概念的应用方法，转化为生成相关概念的情境，进而让学生在概念的生成过程中就能够感知到概念应用的方法，提升学生应用概念解决问题的能力。学生理解了概念，教师减少讲评练习的时间，从而化解概念讲解与练习讲评的时间矛盾。