时变时滞随机广义Markov跳变系统的事件触发控制

杨子晗 邢双云 曹康敏

0 引言

广义系统,又称为奇异系统、隐式系统等,能够客观地表示系统的诸多性能,如今已经广泛应用在物理和工程系统之中,例如：化工控制系统、神经网络系统等[1-4]．众所周知,时滞现象的发生往往会造成系统的不稳定或振荡,进而增加系统稳定性分析的难度,因此,越来越多的学者致力于研究时滞广义系统的稳定性与相关控制问题．文献[5]研究了状态时滞不确定的连续广义系统的鲁棒稳定与镇定问题;文献[6]研究了带有时变时滞广义系统的随机容许性问题;文献[7]研究了具有时变时滞的随机广义系统的H∞控制问题．除此之外,实际系统还可能遭受内部结构的突变或者外界环境的变化[8]．因而,关于具有Markov跳变参数的广义系统的研究逐渐引起了众多学者的关注,并取得了许多丰富的研究成果．文献[9]针对广义Markov跳变系统的随机镇定问题,提出了一种新的控制器保证系统的镇定性;文献[10]研究了广义Markov跳变时滞系统的稳定性分析与镇定问题,运用LMI技术给出状态反馈控制器存在的充分条件,保证控制器的正则性、无脉冲性和随机稳定性;文献[11]采用记忆状态反馈控制器处理了具有时滞和输入饱和的广义Markov跳变系统的时滞相关H∞鲁棒指数稳定性和记忆状态反馈镇定问题;文献[12]在已知或部分已知转移概率的情况下讨论了时变时滞离散广义Markov跳变系统的随机稳定和镇定问题．通常,在实际系统中,转移概率一般不可能以已知的情况出现．因此,文献[13]采用时滞划分技术,对具有时变时滞和时变转移概率的离散广义Markov跳变系统进行随机稳定性分析;文献[14]研究了一类具有时变时滞的离散广义Markov跳变系统的滤波器问题,并给出期望滤波器的显式表达式;文献[15]针对时变时滞多面体不确定离散广义Markov跳变系统,利用Lyapunov泛函理论和凸多面体技术,给出了广义模型误差增广系统随机可容许的条件．

为了更加有效地节省计算和通信资源,对于系统的事件触发控制研究也愈来愈多．在含有事件触发机制的系统中,控制任务不是周期性地执行,而是在满足某些触发条件时才能执行[16]．另一方面,带有事件触发机制的系统能够更好地避免在有限时间内满足无限次的触发条件致使无限次执行,即Zeno现象．文献[17]针对具有随机扰动和状态时滞的随机广义系统的事件触发控制问题,得到了均方意义下随机可容许的充分条件;文献[18]针对具有冗余信道的广义Markov跳变系统的异步H∞滤波问题,采用事件触发机制和冗余信道方法,提出了相应滤波误差系统满足正则、无脉冲、随机稳定并且具有一定H∞性能的判定定理,有效地节省了带宽有限的网络资源．

本文主要研究时变时滞随机广义Markov跳变系统在静态事件触发机制下的状态反馈控制器设计问题,通过构造Lyapunov-Krasovskii泛函,利用Jensen不等式以及自由权矩阵技术,设计状态反馈控制器并对本文所研究的系统进行了镇定性分析,最后给出一个数值仿真算例验证了本文所提方法的有效性．

1 预备知识和问题描述

给定概率空间(Ω,F,P)上的时变时滞随机广义Markov跳变系统:

Edx(t)=[A(rt)x(t)+Ad(rt)x(t-τ(t))+

B(rt)u(t)]dt+J(rt)x(t)dω(t),

y(t)=Cx(t),t∈[-τ,0],

(1)

Edx(t)=[Aix(t)+Adix(t-τ(t))+Biu(t)]dt+

Jix(t)dω(t),

y(t)=Cx(t),t∈[-τ,0].

(2)

取采样误差:

e(t)=x(tk)-x(t),t∈[tk,tk+1),

(3)

静态事件触发机制定义为

eT(t)Φ1e(t)<σ2xT(t)Φ2x(t),

其中,σ为正常数,Φ1和Φ2分别为不同的自由权矩阵.设计如下状态反馈控制器:

u(t)=Kx(tk),tk≤t

(4)

其中,K为状态反馈增益矩阵．将式(3)、(4)代入式(2),可推出如下闭环系统:

Edx(t)=[(Ai+Aki)x(t)+Adix(t-τ(t))+

Akie(t)]dt+Jix(t)dω(t),

y(t)=Cx(t),t∈[-τ,0],

(5)

其中,Aki=BiK．

为证明系统(5)在均方意义下随机容许性,给出相关定义、假设和引理．

定义1[4]

(a) 如果det(sE-A)不为零,则系统(5)是正则的,其中,s∈C;

(b) 如果deg(det(sE-A))=rank(E),则系统(5)是无脉冲的;

定义2[4]如果系统(5)是正则、无脉冲且均方意义下随机稳定的,则称系统(5)在均方意义下随机容许．

注1在上述假设下,扩散项不影响系统结构．需要注意的是,如果矩阵对(E,A)满足正则、无脉冲的性质,它就可以保证系统(5)无脉冲解的存在唯一性．

假设2存在可逆矩阵Ui和V满足下式:

其中,k∈R(n-r)×(n-r)．

引理1(Jensen不等式)[7]对于一个给定的正定对称矩阵Z∈Rn×n,标量0

引理2[16]对于线性随机广义系统:

Edx(t)=Ax(t)dt+Jx(t)dω(t),

令V(x(t))=xT(t)ETXEx(t)时,其中X是可逆矩阵,对V(x(t))求随机导数:

其中,

JT(E+)TETXEE+J)x(t)．

(6)

作如下辅助向量函数η(t):

η(t)=(Ai+Aki)x(t)+Adix(t-τ(t))+Akie(t)．

(7)

将式(7)代入式(5)可得:

Edx(t)=η(t)dt+Jx(t)dω(t)．

(8)

对式(8)的左右两端在[t-τ(t),t]内进行积分,可得:

(9)

2 主要内容

本节通过构造Lyapunov-Krasovskii泛函,利用Jensen不等式以及自由权矩阵技术,给出系统(5)在均方意义下的随机容许条件,进而,设计出相应的状态反馈控制器．

定理1给定参数τ,0≤σ<1,若存在非奇异矩阵Pi,对称正定矩阵Q1,Q2,Φ2和对称矩阵M,M1,M2,S1,S2,S3,S4,R使得线性矩阵不等式(10)成立,并且满足ETR=0,则系统(5)在均方意义下随机容许：

(10)

其中:

Λ1=(Ai+Aki)TPiE+ETPi(Ai+Aki)+

ET(M+MT)E+σ2Φ2,

ET(M+MT)E+ETPiAdi，

证明首先,证明系统(5)在u(t)=0的情况下无脉冲.由假设(1)可知,矩阵对(E,A)是正则的．根据条件(10),可推出Λ1<0,进而

(11)

对式(11)两边左乘VT,右乘V,应用假设2,可得:

(12)

接下来,证明系统(5)在均方意义下是随机稳定的.

构造如下Lyapunov-Krasovskii泛函:

V(x(t))=V1(x(t))+V2(x(t))+V3(x(t)),

V1(x(t))=xT(t)ETPiEx(t),

(13)

对式(13),应用引理2,求V(x(t))的随机导数,可得:

(14)

其中：

2[(Ai+Aki)x(t)+Adix(t-τ(t))+

xT(t)ETPiAdix(t-τ(t))+

(15)

xT(t-τ(t))Q1x(t-τ(t))-

xT(t-τ)Q2x(t-τ),

(16)

(17)

对式(17),应用引理1,可推得:

(18)

由式(7)和式(9),存在矩阵M,M1,M2,S1,S2,S3,S4,使得如下等式成立:

(19)

0=2[(Ai+Aki)x(t)+Adix(t-τ(t))+

(20)

根据式(14)、(19)和(20),可推出:

2[xT(t)ETM+xT(t-τ(t))ETM1-

其中：

2[(Ai+Aki)x(t)+Adix(t-τ(t))+

ξT(t)Γξ(t),

(21)

(22)

根据条件(10),可以推出:

λmax(Γ)‖ξ(t)‖2≤λmax(Γ)‖x(t)‖2.

证毕．

接下来设计具体的状态反馈控制器．

(23)

其中：

证明不失一般性,令矩阵S1=S2=S4=0,作如下的合同变换:

(24)

将式(24)代入式(23),可得:

(25)

其中：

对式(25)进行Schur补变换,即可得:

(26)

(27)

其中：

对式(27)应用Schur补引理,则(27)式等价于:

(28)

3 仿真算例

为更好地验证所提方法的有效性,本文列举一个数值例子．

考虑系统模型(1),所取参数如下:

不失一般性,Markov跳变系统的状态转移概率给定为

令τ=0.2,σ=0.2,根据定理2,可求得系统(5)的状态反馈增益矩阵为

仿真结果表明,在静态事件触发机制条件下,系统(1)通过设计状态反馈控制器(4)在均方意义下是随机稳定的．图1和图2分别描述了两种不同模态下的状态响应轨迹．图3描述了系统的事件触发间隔．

图1 静态事件触发下的状态反馈过程(模态1)Fig.1 State feedback process by static event-triggered control (Modal 1)

图2 静态事件触发下的状态反馈过程(模态2)Fig.2 State feedback process by static event-triggered control (Modal 2)

图3 静态事件触发下的采样间隔Fig.3 Sampling interval under static event-triggered control

4 结束语

本文采用Lyapunov-Krasovskii泛函,Jensen不等式以及自由加权矩阵技术得到了系统(5)在静态事件触发机制均方意义下随机容许的充分条件,并通过引入一种状态反馈控制器,确保闭环系统依然能够具有正则、无脉冲以及均方意义下的随机容许,最后利用一个数值仿真算例验证了本文所提出的方法具有可行性．