一类非线性中立型随机延迟微分方程的截断型θ-EM方法

李燕 王朝航 高帅斌

0 引言

随机延迟微分方程在众多领域有着重要的应用.当随机微分方程不仅依赖于过去和现在的状态，也依赖于包含延迟导数和方程本身的时候，称这类方程为中立型随机延迟微分方程，对这类方程的研究更加具有现实意义[1].随机微分方程的解析解在很多情况下是无法被计算出来的，因此可以用数值解来逼近解析解，比如Euler-Maruyama (EM) 方法.当漂移项系数和扩散项系数均超线性增长时，文献[2]给出了带有常延迟的随机微分方程的θ-EM方法，如果θ=0，则截断型θ-EM算法退化为截断型EM算法.文献[3]给出了截断型EM算法及其收敛率;文献[4]得到了随机延迟微分方程的EM算法的收敛性;文献[5]分析了中立型随机微分方程的局部截断型EM算法和θ算法.在文献[2]的基础上，本文给出了中立型随机延迟微分方程的截断型θ-EM算法及其数值解的收敛率.最后，通过一个简单的例子说明了算法的有效性.

1 相关知识

在本文中，考虑非线性中立型随机延迟微分方程：

d[x(t)-D(x(t-τ))]=f(x(t),x(t-τ))dt+

g(x(t),x(t-τ))dB(t),

(1)

其初值

(2)

其中f:Rn×Rn→Rn,g:Rn×Rn→Rn×m,D:Rn→Rn都是连续且Borel可测的函数.对初值和中立项施加以下假设：

(A1)存在常数K1>0和γ∈(0,1]，使得：

|ξ(t)-ξ(s)|≤K1|t-s|γ, ∀-τ≤s,t≤0.

(3)

(A2)D(0)=0和D(·)满足压缩映射条件，即存在一个常数K2∈(0,1)，使得：

|D(x)-D(y)|≤K2|x-y|, ∀x,y∈Rn.

(4)

下面开始定义中立型随机延迟微分方程(1)的截断型θ-EM方法.首先，选取一个严格单调递减的函数φ:(0,1]→(0,∞)，使得：

(5)

其中，Kφ(Δ)是依赖于φ(Δ)的函数.例如，对于某个ε∈(0,1/8]，令φ(Δ)=Δ-ε和Kφ(Δ)=φ(Δ).对于给定的步长Δ∈(0,1]，定义截断映射：

(6)

其中，若x=0，设x/|x|=0.定义截断的漂移项系数和扩散项系数：

fΔ(x,y)=f(πΔ(x),πΔ(y)),

gΔ(x,y)=g(πΔ(x),πΔ(y)).

(7)

XΔ(tk+1)=XΔ(tk)+D(XΔ(tk+1-M))-

D(XΔ(tk-M))+θfΔ(XΔ(tk+1),XΔ(tk+1-M))Δ+

(1-θ)fΔ(XΔ(tk),XΔ(tk-M))Δ+

gΔ(XΔ(tk),XΔ(tk-M))ΔBk,

(8)

其中k=0,1,…,M′-1,ΔBk=B(tk+1)-B(tk).定义：

(9)

另一种连续时间的数值格式定义为

θfΔ(xΔ(t),xΔ(t-τ))Δ-θfΔ(ξ(0),ξ(-τ))Δ+

(10)

(11)

2 主要结论

为了得到(1)的截断型θ-EM算法的强收敛率，需要对漂移项系数和扩散项系数施加以下假设:

(12)

在(A4)之前,引入函数Vi,i=1,2,3.假设存在KVi>0和βi≥1，使得对任意的x,y∈Rn,有：

(13)

令β=max{βi},i=1,2,3.

(14)

(A5)存在常数K4>0和p>q，使得对任意的x,y∈Rn，有：

K4(1+|x|2)+|V2(y,0)||y|2.

(15)

下面的引理证明了(1)解析解的有界性.

引理1假设(A2)—(A5)成立.具有初值条件(2)的中立型随机延迟微分方程(1)在t∈[-τ,T]上存在唯一解x(t)，且：

(A6)存在常数K5>0和p>q，使得对任意的x,y∈Rn，有：

K5(1+|x|2)+|V3(y,0)||y|2.

(16)

注1当D(·)=0,由 (A5)可知对任意的x,y∈Rn，有：

采用文献[2]中引理2.3的方法，可以得到下面的引理.

由引理2可得:

|fΔ(x,y)|∨|gΔ(x,y)|≤

2Kφ(Δ)(|x|+|y|)+(|f(0,0)|+|g(0,0)|).

(17)

(18)

引理3假设(A3)成立.对任意的Δ∈(0,Δ*)和t∈[0,T]，有：

证明由(10)和(11)可得：

(19)

CΔp-1

证毕.

引理4假设(A2),(A3)和(A6)成立.可得：

证明由It公式和 (19) 可得：

|yΔ(0)-D(ξ(-τ))|p≤

(20)

由假设(A2)，(A6)和Hölder不等式，可得：

H1≤

C

C

C

C

C

(21)

H2≤C

C

由引理2，引理3，Young不等式和(5)，可得：

同理可得：

因此，

(22)

把(21)和(22)插入(20)可以得到：

所以，

另外，由引理2和不等式|a-b|p≥21-p|a|p-|b|p可得：

|yΔ(t)|p≥21-p|xΔ(t)|p-

θpΔp|fΔ(xΔ(t),xΔ(t-τ))|p≥21-p|xΔ(t)|p-

2p-1θpΔp(|f(0,0)|+|g(0,0)|)=

2p-1θpΔp(|f(0,0)|+|g(0,0)|).

已知Δ<1/(16θ4/3)，所以有：

由Gronwall不等式可得：

(23)

由ξ的定义和(23)可得：

再由Hölder不等式可得：

重复此过程可以得到所需结论，证毕.

利用条件期望的性质和类似引理4的方法可以得到下面的引理.

引理5假设(A2)，(A3)和(A6)成立.对任意的Δ∈(0,Δ*)和t∈[0,T]，有：

因此，

此外，由引理1，引理4和Chebyshev不等式可以得到下面的引理.

引理6假设(A2)—(A6)成立.对任意的R≥‖ξ‖，定义停时：

τR=inf{t≥0:|x(t)|≥R}，

τΔ,R=inf{t≥0:|xΔ(t)|≥R}.

引理7假设(A1)—(A6)成立.令Δ∈(0,Δ*)充分小使得φ(Δ)≥R∨‖ξ‖成立.可得：

其中ρΔ,R∶=τR∧τΔ,R.

因此，对于0≤s≤t∧ρ，有：

J1+J2+J3.

由(A4)， Young不等式，Hölder不等式，引理4和引理5可得：

|x(s-τ)-xΔ(s-τ)|qds)≤

由引理2，引理5和Young不等式可得：

J2≤C(|eΔ(s)|qds+

C(|eΔ(s)|qds+

同理可得：

J3≤C(|eΔ(s)|qds+

将这些结果结合到一起可得：

由Gronwall不等式可得：

注意到对任意的t∈[0,T]，有：

3q-1|eΔ(t∧ρ)|q+

3q-1|θfΔ(xΔ(t∧ρ),xΔ(t∧ρ-τ))Δ|q+

3q-1

由Gronwall不等式可得：

由|x(s-τ)-xΔ(s-τ)|=0,0≤s≤τ可得：

由Hölder不等式可得：

重复此过程可以得到所需结论.证毕.

定理1假设(A1)—(A6) 成立.对任意充分小的Δ∈(0,Δ*)，设：

(24)

(25)

(26)

证明设δ>0是任意的实数.对任意的a,b>0，由Young不等式可得：

因此，由引理1，引理4和引理6可得：

由条件(24)得到：

由引理7可得：

此外，由引理5和式(25)可以得到式(26).证毕.

3 实例

考虑一维的非线性中立型随机延迟微分方程：

[-4x5(t-τ)-20x(t)+2x(t-τ)]dt+

当q=2时，由定理1可得：

这个例子说明了此算法的有效性，即本文的结论覆盖了一类非线性中立型随机延迟微分方程.