浅析如何在大学数学课堂中培养学生的知识迁移能力

赵子祥 李金凤

（1.山西医科大学晋祠学院，山西 太原 030025；2.山西科技学院，山西 晋城 048000）

一、知识迁移概述

知识迁移，顾名思义，就是指在一种环境中所获得的知识技能，过程方法和情感态度价值观对另一种环境中知识技能的获得，过程方法的掌握，价值观的形成所产生的影响，也就是一类学习对另一类学习产生的影响。迁移又分为顺向和逆向，已掌握的知识对新知识获取的影响为顺向的，学生学习了定积分的概念及其几何意义后，再学习二重积分的概念和几何意义，就是顺向影响；新习得的知识对原有知识储备的影响为逆向的，学生学习完三重积分的相关知识后，会对二重积分的理解更加深刻或者将二者混为一谈。这些影响有积极助力的，为正迁移，也有适得其反起消极作用的，为负迁移，因此在教学过程中，要避免负迁移的发生。

二、关于数学学习迁移的研究现状

数学学习迁移能力对培养应用型人才至关重要，对今后各个学科的学习都有重要影响，因此，大量学者们对迁移能力的提升做出了研究贡献。

本文将通过高等数学极限和积分的教学案例，探索在高数教学课堂中提升数学知识迁移能力的方法和培养迁移能力的重要性，希望对以后的教学提供可参考的方案和想法。

三、如何提升学生的知识迁移能力

（一）引导学生通过类比推理进行知识迁移

数学中的很多重要定理都是在原有知识范畴上，进行类比推广，继而进行验证，从而得到另一领域的新结论。数列极限的定义到函数极限的定义就是从特殊到一般的推广。

在这个定义中，学生第一次接触到ε,N这些抽象的数学符号，教师可以把这些符号转化为学生容易理解的词语或者几何图像，帮助学生真正理解数列极限的含义，消除对大学数学的恐惧感，建立自信心。

∀ε>0，不等式都成立，说明ε其实是一个很小的数，这点需给学生指出，当n>N时有|xn−A|<ε，也就是当n趋于很大的值时，xn趋于定值A。

上面的数轴表示，落在区间(A−ε,A+ε)外的点至多只有有限个，也就是N个。通过数轴表示，让学生深刻理解数列极限的思想。

总结上述两个教学过程，在讲授数列极限定义时，不能只停留到文字表面，要引导学生进行深入剖析，发现定义内部规律，学会规范使用数学语言，自己能够复述出极限的概念，能做到这一步，说明学生已经真正消化了数列极限。在此基础上，让学生思考数列和函数的联系，然后将数列极限的思想应用到函数极限上，尝试自己类比推理出函数极限的定义。要鼓励学生不要害怕失败，在经过多次摸索探究后，知识迁移能力自然会得到提升。讲授完函数极限后，教师要让学 生及时回顾数列极限，利用逆向迁移的积极影响，使得学生将数列极限和函数极限转化为长时记忆，不用为了期末考试而突击背诵。

（二）鼓励学生大胆猜想，论证细节完成知识迁移

很多著名定理都是先提出合理的猜想，然后经过学者们不断的论证，继而得到一个成果。牛顿站在自己家的花园中，苹果正好落到了他的头上，于是他突发奇想，地球是不是有一股神秘的力量，要不苹果为什么不往天上飞呢，他把这个神秘力量叫做万有引力，经过论证，最终得到了万有引力定律。

我们知道定积分的概念是由求曲边梯形的面积而引出的，曲边梯形的面积又是经过分割、近似求和、取极限得到的。定积分是对一元函数f(x) 讨论的，它的定义域为区间，几何意义为面积，那么我们对二元函数f(x,y) 进行讨论，定义域就为区域，几何意义变为多重的，大胆猜想为体积，这样，就有了二重积分。三重积分可否表示质量，我们先做这样的假设，再通过系统的步骤验证。如此，就从一维空间拓展到多维空间。

曲边梯形如右图，说到求面积，学生可能无法下手，第一步往往是最难开展的。曲边的面积不会求，直边的矩形面积很好求，所以以直代曲，这样得出的结果误差较大，再将曲边梯形按照区间(a,b) 近似分割成若干个小矩形，这些小矩形的面积之和取极限即为曲边梯形的面积。这些求曲边梯形面积的步骤转化为了这样形式和的极限，除去几何意义外，这类数学体系就把它定义为定积分。

教师可通过多媒体工具，演示分割越来越细时曲顶柱体的动态视频，让学生体会分割，取极限思想。虽然二重积分的概念对一些工科专业的学生来说不是重点，但是这种数学思想颇为重要，有助于培养学生的多维立体想象力和建模能力，通过一步步的努力，问题得以解决，增强学习的耐心。最后结合曲边梯形面积的求法，将处理不规则物体的方法总结为用已知近似替代未知，最后取极限，这种思想在今后的专业理论课经常会用到，知识迁移也会继续进行下去。

（三）指导学生将现有问题拆解分化为原有知识，从而实现从旧到新的迁移

在需要解决一个新的问题时，教师要帮助学生将现有问题进行拆解细化，直到可以用旧知识来解决新知识为止。要想做到这一步，需要学生对旧知识相当熟悉，在碰到新问题时可以及时联想到之前的知识经验，在原有知识储备仓库中迅速匹配到相关内容，从而用它来解决遇到的新问题。

在学习了二重积分的概念后，就要研究二重积分如何计算，这也是教师教学的重点内容。学生已经掌握了定积分的计算方法，那么二重积分的计算可否转化为已学习过的定积分求解问题呢。让学生进行思考，这里就涉及到了降维的思想，与之相对应的，把二重积分表示的体积降维转化为面积，这个想法是可以实现的。通过让学生调动高等数学上册第六章所学过的平行截面面积为已知的立体的体积，即，其中A(x) 表示垂直于x轴的截面面积。大体思想就是，当所求立体的垂直于x轴的各个截面都可以用一个表达式表示出来时，即用A(x) 表示，x∈[a,b]，那么以A(x)为底，高为dx的薄片的体积微元dV=A(x)dx，所求立体体积就为根据二重积分的几何意义可知，至此，实现了二重降到了一重。

截面到底是怎样表示的，是关于x的函数，还是关于y的函数，这里就需引出两种类型的积分区域D。确定了D的类型后，才能确定如何切这个立体，垂直于y轴切，或是平行于y轴切，教师要提醒学生注意分情况考虑这个问题，不可一概而论。

下面两图分别是X-型区域和Y-型区域。

确定了积分区域的类型后，就可以知道怎样切立体。积分区域为X-型时，用垂直于x轴的平面去切，积分区域为Y-型时，用垂直于y轴的平面去切。

到这，就实现了将二重积分的计算问题转化为了两次定积分的求解问题，从二维求解降到了一维求解，问题得到解决，学生可将定积分的计算方法迁移至此。

四、提升知识迁移能力的意义

（一）能够提升学生从多个不同角度来思考问题的能力，做到一题多解

在学习完新知识后，要及时回顾旧知识，从而实现知识逆向迁移，利用好双向迁移的积极影响，将新旧知识联系起来。由点连成线，由线构成面，再由面组成体，构建一个相互连接的知识结构，做到将所学知识融会贯通，将脑子中的知识分类放到一起，在需要的时候可以迅速准确的找到。

获取新知识后，可以结合先前所学知识，从另外一个个角度再去重新考虑考虑相同的问题，会得到一个不同的解题思路，从而加深对该知识点的理解，做到多角度分析问题。例如在学习了三重积分后，可以用求积分的方法来求球体的体积，验证了之前高中所学习的球体体积公式，之后碰到类似问题后，可用多种方法来解答。

（二）有利于提高学生的自学能力及积极性

教师教是为了不教，学生有了知识迁移能力后，在碰到类似问题后，可以根据先前知识游刃有余的解决，也避免了为了教而教的现象。学生有能力后就会对学习产生兴趣，学习完数列极限，一元函数的极限后，可能会主动思考二元函数极限是怎样定义的，学习完一元函数求导，会思考二元函数怎么求导，有几种导数类型。

（三）有助于开发学生的思维散发能力，从而提升科研能力

学生可将现有理论继续推广到其他领域，比如三重积分又表示什么几何意义，实数域上的泰勒展开情况知道了，那么复数域上的情形是怎样的呢，在学术创作上，学生可以由一个点散发到多点，由此开展研究创作，提供创作源泉，继而知识迁移能力得到锻炼，迁移过程能够继续开展下去，由此形成良性循环，迁移能力越来越好，发生迁移的次数越来越多。

（四）能够将数学知识迁移应用到其他学科，实现跨学科学习

利用二重积分，可知密度为ρ(x,y)的平面薄片的质量为，其重心坐标为，。通过三重积分可得空间立体的转动惯量。也可将数学知识应用到生活实际求解问题中，可以帮助我们将生活实际抽象化为一个数学模型，进而通过求解数学问题来解决。