基于初高中数学衔接的高中数学解题研究——中位线、中线定理在解析几何中的应用

汤锦

（贵州省盘州市第二中学，贵州 六盘水 553500）

平面几何是研究图形的形状、大小和位置关系的一门学科，在培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养方面起着极其重要的作用.初中平面几何知识内容主要包括相似形、三角形和圆三大部分。这些知识是高中学习的重要基础.在高中圆锥曲线试题是高考的一大“拦路虎”.这方面的考题通常通过坐标转化将几何问题转化为代数问题进行求解,这样的解法计算量偏大,步骤冗长，学生计算经常半途而废.其实在解决圆锥曲线的相关问题中,平面几何知识的运用也体现的比较明显，如果我们将初中平面几何的知识应用上去,抓住解析几何问题的本质特征“几何性”,结合圆锥曲线的知识进行求解,往往可以使问题的解决变得清爽简明,自然简约,收到事半功倍的效果.下面仅就三角形中位线和中线长定理及梯形中位线定理在圆锥曲线中的应用略举几例，以引起大家对初高衔接知识的重视。

三角形中位线定理：三角形中位线平行于底边且等于底边的一半

梯形中位线定理：梯形的中位平行于两底并等于两底和一半

三角形中线向量表达式:在中a、b、c 分别是角的对边，AD 是BC 边上的中线，则：

三角形中线长定理：在中a、b、c 分别是角的对边，AD 是BC 边上的中线，则：

【解法1】:如图1,设椭圆的右焦点为F1,线段PF的中点为M,连接OM,PF1.

所以直线PF的斜率是.化成tan∠OFH.

【分析】:观察图形不难发现OM是三角形FF1P的中位线,将直线PF的斜率转

【解法分析】：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，三种解法都利用三角形中位线定理，结合椭圆的性质进行转化求解,解法巧妙简洁.

【解析】：

【解法分析】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，巧借三角形中位线、线段的中垂线等性质，利用数形结合思想采取几何法解题.解答本题时，通过向量关系得到F1A=AB和OA⊥F1A，从而可以得到，再结合双曲线的渐近线可得,进而得到可求离心率.

例3.【2017·全国II 理】已知F是抛物线C:y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则.

【解析】：如图4 所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x轴交于点F'，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A，由抛物线的解析式可得准线方程为

总之以平面几何知识在高中的应用总非常多，而且已成为高考命题的热点，我们应加强初高中衔接知识的教学，使学生熟练掌握并能巧妙应用.