“启发式”教学模式下的高中数学教学案例分析

摘要：在素质教育背景下，有大量教育学者倡导使用“启发式”教学模式。该模式使用的教学内容和教学结构具有较强的启发意义，整个教学过程科学合理，形成一个有机整体。在数学教学实践中科学运用该模式，有利于促进学生思维能力的全面提升。

关键词：高中数学;新课程;教学设计

新课程标准明确指出，学生自主学习能力非常重要，要求教师积极转变教学观念，摒弃传统、落后的“灌输式”教学模式，让学生有更多的课堂参与感。许多学者也深入研究了新的课程标准，在此基础上提出了大量的具有创新性的教学设计方案，但是很少有关于实际课堂教学的研究。基于这一研究现状，文章重点探讨了高中数学教学设计和教学过程，要求教师积极创设教学情境，鼓励学生小组合作交流，并以高中数学必修5“正弦定理”为案例，给出了具体的教学设计方案。

一、 高中数学教学现状

“正弦定理”较为复杂，知识点较为重要，因此该章节共计安排两个教学课时。第一课时主要带领高一学生重新回顾之前所学的三角函数基础知识点，利用各类习题，加强学生对这些知识点的应用。本堂课的主要教学目标是引入“正弦定理”，并通过定理证明加强学生的记忆力。“正弦定理”既涉及旧知识点，也对后面的数学学习有非常重要的作用。学生应该利用“正弦定理”的学习培养自己的数学应用能力，主动在现实生活中灵活使用数学知识解决问题，尝试自主建立系统、全面的高中数学知识结构框架。

二、 教学过程

（一）创设情境，引出例题

应用幻灯片展示课件，引出下列数学问题。

【例题】有一条宽为1km的河流，两岸平行，近期，由于天气恶劣，上游突发特大洪水，但码头A囤积了重要物资，还有若干名留守人员。为避免造成更大的经济损失和人员伤亡，要抓紧时间利用船把码头A的物资和人员转运到码头B或下游1km的码头C处。请按照要求制定合理的转运方案，具体如图1所示。已知条件：在静水中，船速为v1=5km/h，水流速度v2=3km/h。

设计意图：主要是考虑到该问题的背景与现实生活息息相关，符合高中数学中“数学源于生活”的教学理念，能够帮助差生建立数学学习自信心，拉近了数学和学生之间的距离。同时，该情景问题的解题思路与“正弦定理”密切相关，奠定了良好的定理学习基础。

师：请同学们利用已学的数学知识，联系问题背景，思考如何制定最合理、成本最低的轉运方案。（学生分组讨论）

讨论环节结束后，教师结合教学目标，有针对性地筛选各小组讨论的问题，最终总结为以下五个。

第一，船的终点应该是B处，还是C处？

第二，船开往B和C的行驶时间分别是多少？

第三，船开往B和C的行驶速度分别是多少？

第四，船从A到B和从A到C的行驶距离分别是多少？

第五，为了确保船能够沿直线到达B，C，船应该往哪个方向开？

设计意图：小组讨论学习很好地克服了传统教学模式的教学弊端，提高了学生的课堂参与度，学生相互交流，分别提出自己对问题的看法。当学生讨论陷入困境时，教师作出适当的指示，讨论结束后，再筛选问题，瞄准问题研究方向，提高教学效率。

师：请大家思考如何高效解决上述五个数学问题，并阐述这些问题的数学实质。（学生分组讨论）

此时学生的讨论热情较为高昂，教师应深入课堂，和班级学生一同分析问题，尝试从学生的角度引出问题：在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另外的对角和第三边。

设计意图：把实际问题灵活转化为数学问题，让学生自主分析并解决问题，逐步形成问题转化思维，通过建立模型把复杂问题简单化。

（二）探寻特例，提出猜想

回顾直角三角形中的边角关系：

sinA=a/c，sinB=b/c，sinC=1=c/c

师生活动：与班级学生交流，引导他们发现并总结规律，更加深入地理解直角三角形中的边角关系，把握问题本质。在直角三角形中，c边相同，利用这一特点进一步统一形式，最后发现，在直角三角形中a/sinA=b/sinB=c/sinC。

师：这个结论是否应用于任意三角形呢？（学生思考交流）

有的学生开始皱眉，陷入深思，教师可以先抛出一个个例验证，把两个全等的30°，60°的直角三角形拼在一起，验证该定理（如图2）。

提出猜想：有学生举手，认为无论三角形是什么形状，该结论都适用。

设计意图：教师先利用直角三角形这一特殊三角形为教学切入点，再由特殊到一般，最后总结出具有普适性的“正弦定理”。类似的启发式教学模式符合学生的认知规律。

（三）归纳推理，证明猜想

互联网信息技术的应用丰富了课堂，提高教学效率。在猜想验证环节，教师统一在多媒体上播放课件，由教师演示，学生仔细观察并加以思考。教师在课件上任意改变三角形的形状，计算机自动计算三角形各边与角正弦值的比。

设计意图：多媒体信息技术客观验证“正弦定理”，巩固学生对该定理的认识。

师：以上考察都相当直观，学生能够从情感上接受该定理，但高中数学讲究逻辑思维严谨，必须使用严格的数学推理证明“正弦定理”。那么，如果是锐角三角形，怎样通过构造直角三角形，依次表示a和sinA，b和sinB的关系呢？

探究1是否能通过构造直角三角形，把问题由未知化为已知？

此时，学生议论纷纷，给出不一样的作答：

生1：如图3所示，过C点向BC作垂线CD，交BA延长线于D，得直角三角形DBC;

生2：如图4所示，过A点向BC作垂线AD，把锐角三角形转化为两个直角三角形;

生3：如图5所示，分别过B点和C点向AB和AC作垂线，交点为D，再连接AD，得两直角三角形……

进一步讨论后发现，方法1并不合理，予以排除，方法2较为简洁，借鉴价值较大，容易得出b和sinB，c和sinC的关系式。而方法3延伸了问题，四点共圆，继续利用圆的知识点可得：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，这一解题思路同样适用于钝角三角形。

探究2是否可以引入向量，把“正弦定理”证明转化为向量运算？

设计意图：寻求正弦定理证明方法，让学生举一反三，深入体会各类数学思想。高中数学知识点较为零散，内容较多，学生平时学习时要特别注意知识点之间的内在联系，遇到不会的问题可以考虑使用向量方法。

（四）定理形成，概念深化

“正弦定理”：在三角形中，个边的长和它所对角的正弦的比相等。即，asinA=bsinB=csinC。

师：从结构来看，“正弦定理”的特征是什么样的？有哪些变式？

1. 在结构上，各边与其对角的正弦严格对应成正比例，非常和谐统一;

2. 从方程来看，每个方程都含有四个量，已知三个，求一个，这也正是“正弦定理”的用途;

3. 已知三角形的任意两角及其一边，可求其他边;

4. 已知三角形的任意两边和其中一边的对角，可以求其他角的正弦值，例如，sinA=absinB。

（五）范例教学，举一反三

例1已知△ABC中，a=20，A=30°，C=45°，解三角形。

变式1若△ABC中，AC=3，A=45°，C=75°，则BC=______。

师生活动：教师先规范展示例1的解题步骤，直接使用“正弦定理”得出答案，变式1则布置为学生作业，独立自主完成，教师统一批阅。

设计意图：让学生在具体问题中应用“正弦定理”，快速解决各类三角形问题。

（六）归纳小结，巩固新知

师：本节学习内容结束了，你有哪些学习收获？（师生共同总结，共同进步）

1. 掌握了“正弦定理”，能在三角形边角关系问题中灵活使用“正弦定理”，提高解题速度;

2. “正弦定理”的证明方法;

3. 了解现实生活中，三角度量的简单方法。

设计意图：引导学生思维发散，完善现有的知识结构体系，总结学习心得。

（七）课后作业

1. 书面作业：习题1.11，2

2. 探究作业：

（1）在钝角三角形中，探究用不同方式方法證明定理;

（2）已知三角形的两边和一角，这个三角形具备唯一性吗？

教师要深刻意识到启发式教学模式的教学意义，让学生主导课堂，逐步引导学生找到问题答案，培养学生的创新意识。

参考文献：

[1]张浩.基于探究的高中数学习题教学设计与实践[D].贵阳：贵州师范大学，2014.

[2]任志鸿.志鸿优化系列丛书——高中优秀教案数学·必修5[M].海口：南方出版社，2010.

[3]吴建荣.高中数学中存在的问题及改进策略[J].西部素质教育，2017.

作者简介：

张晓亮，甘肃省定西市，甘肃省通渭县第一中学。