L 2上复变函数的傅里叶级数逼近

杨 刚，谷 懿

(云南大学 数学与统计学院，云南 昆明 650500)

精确的Jackson不等式研究已经有50余年的历史，为了叙述已有的研究结果，先叙述一些相应的记号；L2(U)表示自变量在区域 U 内平方可积的复函数空间.在L2(U)上定义函数f范数为

这里|f(z)|表 示函数f的模，Pn为次数不高于n的代数多项式函数空间.函数空间Pn对函数f的最佳逼近表达式为

在复数域上K 泛函[1]表达式为

Saidusaynov[1]和Shabozov等[2]研究L2(U)， U={z∈C:|z|<1} 上解析函数的逼近问题，得到K 泛函与最佳逼近En−1(f)2的精确Jackson不等式和关于 K 泛函的函数类的宽度.

Shabozov等[2]定义L2(U)， U={z∈C:|z|<1}上解析函数的平移算子Fh：

计算可得函数f的m阶差分为

根据平移算子定义了m阶连续模

给出最佳逼近En−1(f)2与函数zr f(r)的m阶连续模的精确Jackson不等式和关于的函数类的宽度（也可参考文献[3]～[4]）.Shabozov等[5]得到分别关于m阶连续模和K 泛函这2个函数类的最佳逼近.Abilov[4]等得到关于最佳逼近En−1(f)2和m阶连续模的Jackson不等式的逆定理.

在实数域R 上，Vakarchuk[6]给出在L2(R)上的关于K 泛函的函数类宽度.Vakarchuk[7]和Vinogeadov等[8]在L2(R)上得到最佳逼近En−1(f)2和连续模的精确Jackson不等式（也可参考文献[9]）；Esmaganbetov[10]在上得到最佳逼近En−1(f)2与连续模的精确Jackson不等式以及函数类的宽度.Trigub[11]在L2[0,1]上用多项式函数逼近光滑函数得到最佳逼近的估计.参考文献[12]～[13]讨论了函数以及算子的一些相关性质.在文献[14]中，孙永生介绍了经典的精确Jackson不等式.

1 预备知识

如果f∈L2(U)， 则我们取f在正交系统下的傅里叶级数几乎处处有

对函数f求r阶导数，则有即令C，则

这里En−1(f)2表示用Pn−1函数来逼近f得到的最佳逼近.Pn−1表示z−1次数小于等于n−1 的函数全体.

定义1函数

定义2平移算子Fh的表达式为

定义3函数f的m阶连续模为

根据（1）和（4）式可得到函数f的一阶差分为计算可得函数f的m阶差分为

在L2空间的正交系统下得出函数f的m阶差分的范数为

再根据（2）和（5）式得到函数zr f(r)的m阶连续模为

2 关于Ω m 和K 泛函的Jackson不等式的主要结果

定理1对于n∈N,r∈Z+,n>r≥1，有

证明根据（3）式对最佳逼近的定义知化简得到

因此，对f∈L2得到（7）式右边的上界

又因为f0=z−n，则有，根据（3）式对最佳逼近的定义知

从而得到（7）式左边的下界

证毕.

在定理1成立的基础之上，下面给出最佳逼近En−1(f)2与的精确Jackson不等式.

定理2对于n,m∈N,r∈Z+,n>r≥1,t∈(0,1)，则有

证明根据函数zr f(r)的m阶连续模、（3）和（7）式得

从而得（8）式右边的上界

从而得（8）式左边的下界

证毕.

下面得到函数zr f(r)的m阶连续模在区间(0,h) 上加权积分与最佳逼近En−1(f)2的精确Jackson不等式.

定义4[2]加权函数q(t)是区间 (0 ,h) 上实的非负可测函数，且不恒等于0.

定理3对于n,m∈N,r∈Z+,n>r≥1,h∈(0,1),0

证明闵可夫斯基不等式为

在0

再根据连续模的定义知

由（3）和（6）式得

再由（7）式，得到（9）式右边的下界

因为f0=z−n∈L2， 则有，根据（3）和（6）式得

从而得到（9）式左边的下界

证毕.

推论1对于是区间( 0,h)上的权函数，则

定义5K 泛函的表达式为

这里g在圆盘上且洛朗展式为.下面得到了最佳逼近En−1(f)2和 K 泛函的精确Jackson不等式.

定理4对于n,m∈N,r∈Z+,n>r+m≥1，则

证明对任意的g∈L(2m)都有‖g−S n−1(g)‖2=En−1(g)2，根据（7）式得

令g=0，根据 K 泛函的定义得Km(f,t m)2≤‖f‖2；因为f0=z−n∈L2， 则有.根据（3）和（11）式得

从而得（12）式左边的下界

证毕.

定理5（逆定理）对于n,m∈N,r∈Z+,n>r≥1,t∈(0,1)，有

证明令则有.由连续模的定义知

证毕.

3 函数类的最佳逼近

定义6函数Φ 定义在R+上单调递增的实函数，且满足Φ (0)=0和Φ (t)→0(t→0).

定义73种函数类：

定义8[5]M(r)表示的子类，函数类M(r)的最佳逼近表达式为

定理6对于n,m∈N,r∈Z+,n>r≥1,t∈(0,1)，Φ 是函数类上的限制函数（见定义6，7），则

证明由（8）式知，对任意的，有

再由（14）式，得到（15）式右边的上界

证毕.

定理7对于n,m∈N,r∈Z+,n>r≥1,0

证明由（9）式知，对任意的有

再由（14）式，得到（16）式右边的上界

证毕.

定理 8对于是函数类上的限制函数（见定义6，7），有

证明由（12）式知，对任意的，有

再由（14）式，得（17）式右边的上界

证毕.

4 关于函数类宽度的求解

定义9[3]B是在L2空间下的单位球，假设Λn⊂L2是n维子空间；Λn⊂L2是n维余子空间；σ:L2→Λn是线性连续算子， σ⊥:Λn→L2是线性连续算子，M是L2下的凸对称子集，定义：

在希尔伯特空间中有

定理9对于n,m∈N,r∈Z+,n>r≥1,t∈(0,1)，Φ 是函数类上的限制函数（见定义6，7），有

这里的λn(·)表示bn(M,L2),d n(M,L2),dn(M,L2),δn(M,L2),Πn(M,L2)中任意一种宽度.

证明由（15）式知，再根据n维宽度的定义和（18）式，得（19）式右边的上界

令n+1 维函数为这里n+1 维球体是

证毕.

定理10对于n,m∈N,r∈Z+,n>r≥1,0

这里的λn(·)表示bn(M,L2),d n(M,L2),dn(M,L2),δn(M,L2),Πn(M,L2)中任意一种宽度.

证明由（16）式知

再根据n维宽度的定义和（18）式，得（20）式右边的上界

令n+1 维球体为

这里Qn+1为定理9证明过程中的Qn+1.由连续模的定义知， 则再根据（18）式，得（20）式左边的下界

证毕.

定理11对于是函数类上的限制函数（见定义6，7），有

这里的λn(·)表示bn(M,L2),d n(M,L2),dn(M,L2),δn(M,L2),Πn(M,L2)中任意一种宽度.

证明根据（17）式知再根据n维宽度的定义和（18）式，得（21）式右边的上界

令n+1 维球体为

这里Qn+1为定理9证明过程中的Qn+1. 根据K 泛函的定义知，当g=0时， K(f,t m)2≤‖f‖2.把函数带入 K 泛函里得

证毕.

5 总结

致谢：感谢审稿人给予的宝贵意见.通信作者感谢国家留学基金委员会给予的资助.