节理几何参数对岩体力学特征的影响

王正堂，张 祺，王晨龙，赵婷婷，王志勇

（太原理工大学机械与运载工程学院材料强度与结构冲击山西省重点实验室，山西 太原 030024）

岩体是指在长期复杂的地质环境下形成的内部分布不连续结构面的岩石。研究岩体的力学特征和破坏模式对地下工程的安全作业起到重要的作用[1]。国内外已经有许多学者利用数值模拟方法研究了岩体的力学特征和破坏模式[2-7]。Potyondy 等[8]提出了岩体的数值模型，研究了细观参数对数值模型宏观力学特征的敏感性。Cundall[9]提出了合成岩体样品的构建和测试。陈新等[10]研究了单轴压缩下节理间距和倾角对模拟岩体试件强度和变形的影响，指明了节理间距对岩体强度和变形的影响有显著的各向异性。Bahaaddini 等[11-13]研究了节理几何参数对单轴压缩下非贯通节理岩体力学性能的影响和光滑节理（Smooth-joint，SJ）参数对岩体节理剪切特征的影响。Wang 等[14]研究了单轴压缩下具有节理T 形网的煤体的力学特征。Chen 等[15]对不同节理倾角的非贯通节理岩体开裂行为展开了研究，分析了倾角对包含非贯通节理岩体试样的力学行为以及破裂过程和位移场的影响。Vergara 等[16]研究了节理几何参数包括节理倾角、节理长度、岩桥长度、节理间距和节理阶梯角对岩体强度和失效模式的影响。以往研究往往只侧重某几个节理几何参数对岩体力学特征的影响，研究方法也只采用单变量方法，如Vergara 等[16]的工作，不能全面分析多个节理几何参数组合对岩体力学特征的影响。为此，本研究将采用单变量与多因素方差分析相结合的方法，通过离散元模拟综合分析节理倾角、节理长度、岩桥长度、节理间距和节理阶梯角对岩体强度指标和破坏模式的影响以及对样品尺寸的敏感性，同时采用正交实验方法，通过多因素方差分析和回归分析方法，揭示在单轴压缩条件下节理几何参数对岩体力学特征的作用规律。

1 岩体模拟实验设计及参数标定

1.1 模型原理

平直节理模型（Flat-joint model，FJM）是在原有的平行黏结键模型的基础上增加有限尺寸、线性弹性以及可能遭受的部分损坏的黏结键或摩擦界面。图1(a)为平直节理模型示意图，X1和X2分别为圆盘1 和圆盘2 的中心，Xc为接触界面中心点，R为接触面的半径，蓝色线表示平直节理模型的接触平面。黏结键被离散为若干个单元，每个单元可能是黏结的或未黏结的。未黏结单元的行为是线性弹性的，并且通过在剪切力上施加库仑极限来适应滑移的摩擦。黏结单元的行为是非线性弹性的，如果黏结单元所受的切向应力超过强度极限，黏结单元就会断裂，对界面造成部分损坏，这时断开的黏结单元行为变为线性弹性。

光滑节理模型（Smooth-joint model，SJM）是把节理面穿过的颗粒之间的原有黏结模型移除，重新定义这些颗粒之间的黏结方式为光滑节理模型。这些和光滑节理面相交的颗粒可能相互重叠或者相互穿过，而不是相互围绕彼此移动。图1(b)为光滑节理模型示意图，图中黑线为节理平面，绿线为颗粒之间接触处的光滑黏结。

图1 模型示意图Fig. 1 Model diagram

人工合成岩体（Synthetic rock mass，SRM）模型是由黏结颗粒模型（Bonded particle model，BPM）和离散裂隙网络（Discrete fracture network，DFN）组成，其中颗粒之间的黏结由平直节理模型表示，裂隙由光滑节理模型表示。图2 为岩体节理几何参数示意图，其中： β为节理倾角， γ为节理阶梯角，Lj为节理长度，Lr为岩桥长度，d为节理间距。

图2 岩体的节理几何参数示意图Fig. 2 Schematic of joint geometrical parameters

1.2 完整岩体细观参数标定

岩体参数的标定过程基于Prudencio 等[17]的岩体力学特征实验研究，通过宏观物理量确定模型的细观参数。根据试件尺寸在软件中生成一个长150 mm、高300 mm 的完整岩体模型，模型包含14 780个颗粒，孔隙率为0.08。在颗粒之间添加平直节理接触模型。模型的上、下边界定义为刚性接触面，通过接触面的恒定速率运动以模拟准静态单轴压缩过程。根据陈鹏宇等[18]的平直节理模型标定方法，本研究中模型的细观参数标定见表1，其中： ρ为颗粒的密度，Rmin为颗粒的最小半径，Ec为平直节理模型的弹性模量， σc为平直节理模型的抗拉强度，c为平直节理模型的黏聚力，kn/ks为平直节理模型的法向和切向刚度比， µ为平直节理模型的摩擦系数， φ为平直节理模型的内摩擦角。表2 列出了完整岩体在准静态压缩下的结果，其中： σu为单轴压缩强度，E为弹性模量， ν为泊松比。表2 中数值模拟结果与Prudencio 等[17]的实测结果的相对误差在1%左右，说明完整岩体数值模型可很好地再现物理实验结果。

表1 颗粒和平直节理模型的细观参数Table 1 Meso parameters of particle and flat-joint model

表2 数值模型和实际物理模型的宏观参数对比Table 2 Comparison of macro parameters between numerical and physical model

1.3 光滑节理模型细观参数标定

在1.2 节完整岩体数值模型中截取两组长50 mm、高40 mm 的长方形模型，见图3。在两组模型中部生成一条光滑节理。模型A 做单轴压缩模拟，模型B 做直剪模拟。在软件中调整光滑节理的法向刚度knj、 切向刚度ksj和摩擦系数 µj来确定结构面宏观的法向刚度knj、切向刚度ksj和摩擦系数 µj。当光滑节理细观参数knj为 32.5 GPa/m，ksj为2.9 GPa/m， µj为0.65 时，结构面宏观的法向刚度knj、切向刚度ksj和摩擦系数 µj的数值模拟结果与实验结果的相对误差小于2.5%，见表3。由此可见，数值模拟结果能很好地再现物理实验结果。

图3 光滑节理模型标定Fig. 3 Calibration of smooth-joint model

表3 光滑节理模型的宏观参数标定值和物理实验值对比Table 3 Comparison between the calibrated and the tested macro parameters for smooth-joint model

2 节理几何参数对岩体力学特征的影响

2.1 节理倾角对单轴压缩下岩体力学特征的影响

采用1.2 节和1.3 节中标定好的岩体细观参数，选定节理长度Lj=50 mm，岩桥长度Lr=20 mm，节理间距d= 20 mm，节理阶梯角 γ = 135°，在150 mm × 300 mm 的完整岩体模型上生成倾角分别为0°、15°、30°、45°、60°、75°、90°的节理。在单轴压缩条件下，计算岩体的单轴压缩强度 σu、弹性模量E和泊松比ν。如图4 所示，随着节理倾角的增大，岩体的单轴抗压强度和弹性模量先减小后增大， σu和E的最大值在 β = 0°时取得，最小值在 β = 45°或 β = 60°时取得。岩体的泊松比ν呈现相反的变化趋势， ν在β= 30°左右取到最大值， β = 90°时取到最小值。图5 显示了岩体破坏模式。当 β = 0°和 β = 90°时，岩体模型中的颗粒相对其他节理倾角时更加密实，更不容易破坏，呈现出完整岩体的破坏形态，用符号I 表示。当 β = 15°时，节理尖端产生翼型裂纹，裂纹向节理之间的低应力区域扩展，最终在低应力区域聚集，形成典型的平面破坏模式，用符号P 表示。当 β处于30°～75°时，节理尖端产生垂直于节理的裂纹，裂纹向垂直于节理的相邻节理同方向尖端延伸，最终和相邻节理同方向尖端产生的裂纹闭合，形成块状破坏模式，用符号B 表示。

图4 节理倾角对岩体强度指标的影响Fig. 4 Influence of joint dip angle on strength indices of rock mass

图5 节理倾角对岩体破坏模式的影响（红色为受拉伸破坏裂纹，蓝色为受剪切破坏裂纹）Fig. 5 Influence of joint dip angle on failure mode of rock mass (The red denotes the tensile failure and the blue denotes the shear failure)

2.2 节理阶梯角对单轴压缩下岩体力学特征的影响

选定Lj=50 mm、Lr=20 mm、d= 20 mm，节理阶梯角 γ分别为60°、90°、120°、135°和150°，节理倾角 β在0°～90°之间变化时，分析 γ对岩体力学特征的影响。如图6 所示，随着 γ的增大，岩体的 σu和E在β为45°和60°时有增加趋势。当阶梯角 γ为60°、90°和120°时，随着 β的增大， ν在15°时出现减小趋势，并且随着 γ的增大，岩体的ν增大，在 β = 60°以后不明显。 γ = 60°时，岩体的主要破坏模式为阶梯破坏；γ= 120°时，岩体的主要破坏模式为平面破坏； γ = 135°和 γ = 150°时，岩体的主要破坏模式为块状破坏。本研究主要分析 γ = 90°的情况，如图7 所示， β为0°和90°时，岩体破坏模式为完整岩体破坏； β为15°和30°时，岩体破坏模式为平面破坏； β为45°、60°和75°时，节理尖端产生翼型裂纹，裂纹在低应力区和高应力区之间的边界处垂直于节理扩展，最终与相邻节理不同方向尖端产生的裂纹闭合，形成阶梯破坏模式，用符号S 表示。

图6 节理阶梯角对岩体强度指标的影响Fig. 6 Influence of joint step angle on strength indices of rock mass

图7 节理阶梯角对岩体破坏模式的影响（γ = 90°）Fig. 7 Influence of joint step angle on failure mode of rock mass (γ = 90°)

2.3 节理长度对单轴压缩下岩体力学特征的影响

选定Lr=20 mm、d= 20 mm、 γ= 135°，Lj分别为10、20、30、40 和50 mm，当节理倾角 β在0°～90°区间变化时，分析节理长度Lj对岩体力学特征的影响。如图8 所示，随着Lj的增加，岩体的 σu和E逐渐减小。当Lj为40 和50 mm 时，其对岩体 σu的影响较小，E的变化基本稳定。 ν随着Lj的增大而增大，但是在β为0°、75°和90°时，Lj对ν的影响不明显。随着Lj的增加，岩体的破坏模式基本不发生变化。本研究主要分析Lj=20 mm的情况，见图9。当 β = 0°和 β = 90°时，岩体的破坏模式以完整岩体破坏为主；当 β =15°时，岩体的破坏模式为平面破坏；当 β = 30°时，岩体的破坏模式为平面破坏和块状破坏；当 β处于45°～75°之间时，岩体的破坏模式为块状破坏。

图8 节理长度对岩体强度指标的影响Fig. 8 Influence of joint length on strength indices of rock mass

图9 节理长度对岩体破坏模式的影响（Lj=20 mm）Fig. 9 Influence of joint length on failure mode of rock mass (Lj=20 mm)

2.4 岩桥长度对单轴压缩下岩体力学特征的影响

选定Lj=50 mm、d= 20 mm、 γ= 135°，岩桥长度Lr分别为10、20、30、40 和50 mm， β在0°～90°之间变化，分析Lr对岩体力学特征的影响。如图10 所示，随着Lr的增加，岩体的 σu和E也增加，但变化幅度不显著。当Lr为30、40 和50 mm， β= 15°时， ν出现减小趋势。随着 β的增大， ν先增大后减小。当β>75°时，Lr对 ν的影响不显著。随着Lr的增加，岩体的破坏模式基本不发生变化。当Lr为40 mm， β在0°～90°变化时，岩体在单轴压缩下的破坏模式与2.1 节中Lr= 20 mm 时相同，见图11。

图10 岩桥长度对岩体强度指标的影响Fig. 10 Influence of rock bridge length on strength indices of rock mass

图11 岩桥长度对岩体破坏模式的影响（Lr=40 mm）Fig. 11 Influence of rock bridge length on failure mode of rock mass (Lr=40 mm)

2.5 节理间距对单轴压缩下岩体力学特征的影响

选定Lj=50 mm、Lr=20 mm、 γ= 135°，节理间距d分别为10、20、30、40 和50 mm， β在0°～90°变化时，分析d对岩体力学特征的影响。如图12 所示，随着d的增大，岩体的 σu和E逐渐增大，岩体的ν先增大后减小，但是d= 10 mm 的岩体模型在 β= 30°时相比其他节理间距模型出现减小趋势。随着d的增大，岩体破坏模式的变化很小。在图13 中分析了d=40 mm情况下岩体的破坏模式。与图5 对比可见，d比较小时，随着单轴压缩强度的增加，节理尖端裂纹更加容易延伸到相邻节理尖端产生的裂纹，所以岩体破坏以块状破坏为主。随着d的增大，特别是d= 40 mm 时， β为30°的岩体在单轴压缩下形成平面破坏模式。

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图12 节理间距对岩体强度指标的影响Fig. 12 Influence of joint spacing on strength indices of rock mass

图13 节理间距对岩体破坏模式的影响（d=40 mm）Fig. 13 Influence of joint spacing on failure mode of jointed rock mass (d=40 mm)

2.6 岩体尺寸敏感性分析

岩体的力学特征与样品尺寸密不可分，不同尺寸岩体的力学特征可能存在差异，当尺寸大于某临界值时，岩体力学特征也将趋于稳定。为此，本研究设计了一组实验，分析节理几何参数对岩体力学特征影响的尺寸敏感性。生成一组长550 mm、高1 100 mm 的二维矩形完整岩体模型，模型颗粒数为199 030。在完整岩体中截取尺寸为150 mm × 300 mm、250 mm × 500 mm、350 mm × 700 mm、450 mm ×900 mm 的模型，颗粒数分别为14 780、41 068、80 639、133 205。模拟准静态下岩体的单轴压缩实验，计算岩体的单轴压缩强度、弹性模量和泊松比。依据经验选取节理几何参数： β = 45°，Lj=50 mm，Lr=20 mm，d=20 mm ， γ= 135°。这组参数更易于观察不同尺寸岩体在布满节理时单轴压缩下力学特征的变化。与之类似，在生成的尺寸为550 mm × 1 100 mm 的完整岩体模型上布满节理，采用同样的方法截取不同尺寸的节理岩体，模拟准静态下岩体的单轴压缩，计算岩体的单轴压缩强度、弹性模量和泊松比。

图14 显示了不同尺寸岩体模型的破坏模式。可以看出，随着岩体尺寸的增大，岩体模型的破坏模式并不发生变化，均为块状破坏。

图14 不同尺寸节理岩体的破坏模式Fig. 14 Failure modes of jointed rock masses in different sizes

图15 给出了不同尺寸完整岩体和节理岩体的力学强度指标。随着尺寸的增大，完整岩体和节理岩体的力学强度指标如单轴压缩强度、弹性模量和泊松比基本保持不变。可见，在本研究选取的样品尺寸范围内，节理岩体不具有尺寸敏感性。考虑到本研究选取的最小尺寸样品长度为150 mm，5 个岩体的节理间距固定为20 mm，两者比值达到了7.5，与夏露等[19]的研究结果类似，可以认为满足代表性体积单元（Representative volume element，RVE）的尺寸要求。而对于更大的节理间距，相同尺寸的5 组样品可能存在尺寸效应。

图15 不同尺寸完整岩体和节理岩体的力学强度指标Fig. 15 Mechanical strength indices of intact and jointed rock mass in different sizes

3 节理几何参数对单轴压缩下岩体力学特征的正交实验分析

正交实验是从全面实验中挑选出部分有代表性实验的方法，极大地减少了实验次数。正交实验表一般用Ln(Rm)来表示，L为正交的标号，n为实验次数，R为因素个数，m为因素水平因子。设计正交实验可以分析多个节理几何参数组合对岩体力学特征的影响。

3.1 正交实验设计及结果

根据第2节中节理几何参数对岩体力学特征的影响结果，为了减小因素之间的交互作用，将节理倾角分为10°～50°和50°～90°两个区间研究，因素水平见表4。正交实验采用L25(55)的正交实验表。表5 为节理倾角在10°～50°时正交实验设计及结果，其中m列为空列。表6 为节理倾角在50°～60°时正交实验设计及结果。

表4 因数水平表Table 4 Factor level table

表5 实验设计及结果（ β为10°～50°）Table 5 Experimental design and results ( β: 10°-50°)

表6 实验设计及结果（ β为50°～90°）Table 6 Experimental design and results ( β: 50°-90°)

表6 （续）Table 6 (Continued)

3.2 正交实验结果分析

本研究中，各因素自由度fy=4，误差自由度fe=4。通过查表： α = 0.01 时，F(4, 4) = 16； α = 0.1 时，F(4, 4) = 4.11。F大于16.00 为非常显著影响，用“**”表示；F在4.11～16.00 之间为一般显著影响，用“*”表示；F小于4.11 为无显著影响，见表7。表7 中，Fσu为单轴压缩强度的F统计量，FE为弹性模量的F统计量，Fν为泊松比的F统计量。

表7 节理参数对岩体力学特征影响的显著性分析Table 7 Significance analysis of joint parameter effect on mechanical properties of rock mass

由表7 可知，倾角 β为10°～50°时，节理几何参数对岩体的单轴压缩强度的显著性排序为Lj>β>d>Lr>γ。节理长度对岩体单轴压缩强度的影响最大，节理阶梯角对岩体单轴压缩强度没有显著影响。节理几何参数对岩体弹性模量的显著性排序为Lj>β>d>Lr>γ，岩桥长度和阶梯角对岩体弹性模量没有显著影响。节理几何参数对岩体泊松比的显著性分析结果显示，节理几何参数对岩体的泊松比没有显著影响。

当倾角 β为50°～90°时，节理几何参数对岩体单轴压缩强度的显著性排序为Lj>β>d>γ>Lr，说明节理长度对岩体单轴压缩强度的影响最大，相比 β在10°～50°的情况，节理岩桥长度对岩体的单轴压缩强度没有显著影响。节理几何参数对岩体弹性模量的显著性排序为Lj>d>Lr>β>γ，节理长度是影响岩体弹性模量的最显著因素，第二显著因素变成了节理间距，相比 β为10°～50°时，节理倾角的影响变得不显著。这一倾角范围内，节理几何参数对岩体的泊松比没有显著影响。

通过分析节理几何参数对岩体力学特征的显著性影响，可以建立岩体单轴压缩强度和岩体弹性模量与节理几何参数之间的关系。采用多重线性回归方法，将节理几何参数对岩体单轴压缩强度和弹性模量的影响近似为线性关系，拟合出如表8 所示的关系式。表8 中拟合公式中的 β′和 γ′分别为节理倾角和节理阶梯角在角度制下的系数，和d′分别为节理长度、岩桥长度和节理间距在以毫米为单位下的系数。公式的确定系数R2在0.799～0.891之间，岩体单轴压缩强度和弹性模量与节理几何参数之间的拟合效果较好。

表8 节理几何参数与岩体力学特征之间的回归方程Table 8 Regression equations between joint geometrical parameters and rock mass mechanical properties

4 结 论

研究了节理几何参数对岩体的强度指标和破坏模式等力学特征的显著性影响，得到如下结论。

（1）节理倾角从0°增加到90°时：岩体的单轴压缩强度 σu和弹性模量E都先减小后增大，在β为45◦或者60°时， σu和E取最小值；岩体的泊松比ν则先增大后减小，在 β = 30°左右， ν取最大值。随着节理长度的增加，岩体的 σu和E逐渐减小， ν有增大的趋势。随着岩桥长度和节理间距的增加，岩体的σu和E出现了增大的趋势。

（2）岩体的破坏模式主要受节理倾角和节理阶梯角的影响。在 γ = 135°的情况下： β = 0°和 β =90°时，岩体破坏模式为完整岩体破坏； β = 15°时，岩体破坏模式为平面破坏； β在30°～75°之间时，岩体破坏模式为块状破坏。在 γ = 90°的情况下， β在45°～75°之间时，岩体破坏模式为阶梯破坏。节理长度、岩桥长度和节理间距对岩体破坏模式的影响不显著。

（3）在正交实验中，当节理倾角 β处于10°～50°时，节理长度对岩体的 σu和E的影响最显著，其次是β、d和Lr，节理阶梯角对 σu和E没有显著影响。当节理倾角 β处于50°～90°时，节理长度对岩体的 σu和E的影响最明显，岩桥长度对 σu的影响变得不显著。整个实验中节理几何参数对岩体的泊松比无显著影响。对σu和E与节理几何参数之间的关系进行回归分析，得到拟合关系式，确定系数R2在0.799～0.891 之间。