紧抓公式特征 注重细节处理

文 梁庆旭

在学习完单项式乘多项式和多项式乘多项式之后，我们学习了较特殊的多项式乘多项式，即完全平方公式和平方差公式。而初学者对公式往往理解不深刻，结构特征把握不准确，造成计算上的错误。希望通过下面的一些例题，帮助同学们更好地掌握乘法公式，达到事半功倍的效果。

一、公式特征需明确

例1计算：（1）（a-3）2；（2）（a+3）2。

【错解】（1）（a-3）2=a2-32=a2-9；

（2）（a+3）2=a2+32=a2+9。

【错因分析】混淆完全平方公式和积的乘方，把积的乘方法则套用在完全平方公式中。在运用公式时，需记住：两数和（或差）的平方等于这两数平方和加上（或减去）两数积的2 倍，完全平方的结果是三项式，要做到积的2 倍不遗漏。

【正 解】（1）（a-3）2=a2-2×a×3+32=a2-6a+9；

（2）（a+3）2=a2+2×a×3+32=a2+6a+9。

例2计算：（2x-3y）（2x+3y）。

【错解】原式=2x2-3y2。

【错因分析】在运用平方差公式时，需弄清楚哪个是公式里的相同项，哪个是公式里的相反项，然后再代入公式即可。本题中2x是相同项，±3y是相反项。

【正解】（2x-3y）（2x+3y）=（2x）2-（3y）2=4x2-9y2。

二、负号处理要恰当

例3计算：（a-2）（2-a）。

【错解】原式=a2-4。

【错因分析】多项式中的两项互为相反项，不符合任何一个乘法公式特征，但提取“-”号后，就可以使用完全平方公式。

【正解】（a-2）（2-a）=（a-2）×［-（a-2）］=-（a-2）2=-（a2-4a+4）=-a2+4a-4。

例4计算：（-a-3b）2。

【错解】（-a-3b）2=a2-6ab+9b2。

【错因分析】错解套用了两数之差的完全平方公式，减去6ab。本题若当成差的完全平方公式，应减去2×（-a）×3b，再整理符号；也可以看作是-a与-3b的和的平方；还可以先处理符号，结合偶次幂的特征，转化为两数和的平方，这样更简洁，不容易出错。

【正解】看作差的平方：（-a-3b）2=（-a）2-2×（-a）（3b）+（3b）2=a2+6ab+9b2。

看作和的平方：（-a-3b）2=（-a）2+2×（-a）（-3b）+（-3b）2=a2+6ab+9b2。

或（-a-3b）2=［-（a+3b）］2=（a+3b）2=a2+6ab+9b2。

三、整体思想巧运用

例5已知a+b=5，ab=6，求a2+b2的值。

【错解】由题意得a=2，b=3，所以a2+b2=22+32=13。

【错因分析】有些同学容易直接赋予字母a、b特殊值，再代入求值。本题应该先根据a+b=5 得到（a+b）2=25，展开后代入ab的值，即可求出a2+b2的值。

【正解】因为a+b=5，

所以（a+b）2=25，

则a2+2ab+b2=25。

因为ab=6，

所以a2+12+b2=25，则a2+b2=13。

四、添加括号不随意

例6计算：（a-b-c）（a+b-c）。

【错解】（a-b-c）（a+b-c）=［a-（b-c）］·［a+（b-c）］=a2-（b-c）2=a2-b2-c2+2bc。

【错因分析】把“-”和“+”后面部分看作一个整体，添加括号后，使用平方差公式。当括号前为正号时，括号内各项符号均不改变，但如果是“-”号，括号内各项符号都要改变。应先观察两个多项式中哪些项相同，哪些项互为相反数，再去决定如何添加括号，从而使计算不出错。

【正解】（a-b-c）（a+b-c）=［（a-c）-b］·［（a-c）+b］=（a-c）2-b2=a2-2ac+c2-b2。

总之，在运用乘法公式解决问题时，需仔细审题，弄清多项式之间包含的相同项和相反项，通过变形，使得相同项在前，相反项在后，再套用公式，从而扫清学习中的障碍。