小学数学教学与高阶思维的培养

马云鹏

如何在小学数学教学中培养学生的数学思维是数学教学研究领域普遍关注的问题，但高阶思维的培养似乎是一个涉及不多也不太容易说清楚的问题。这是一个既熟悉又陌生的话题，一个非常重要又容易被忽视的话题，一个大家都在做又总觉得没有做好的话题，一个有许多理论支撑和研究成果又很难给出明确答案的话题。下文，笔者尝试对这个话题提出几点想法。

一、怎样理解高阶思维

思维能力是人类由原始人进化成智人的最重要的标志。思维是“人脑对客观事物的本质和事物内在的规律性关系的概括与间接的反映”。思维不是对现象的直接反映，思维过程具有概括性和间接性。人类借助思维更深刻地认识自然，认识社会，认识自我。

1.认知心理学视角下的高阶思维。

20世纪以来，心理学领域有影响的理论出自桑代克、斯金纳、加涅、皮亚杰、布鲁纳、维果斯基等的研究。进入21世纪，随着脑科学和人工智能的发展，思维研究不断有新的发现和进展。这些研究帮助我们理解思维的本质，特别是思维的层次和水平。

桑代克的“刺激反应”和斯金纳的“尝试错误”，更多是对现象的直接反映，重点是对知识的记忆和理解。加涅把人的学习分成不同层次的八类：信号学习、刺激-反应学习、连锁学习、言语联结学习、辨别学习、概念学习、规则或原理学习、解决问题学习。前三类是人类和动物共有的，后五类是人所特有的，在后五类学习中包含人类特有的思维。这五类学习从言语开始到概念的建立、规则的理解和问题的解决，可以看作是包括了不同层次的思维。如果再细分的话，语言表达和对现象的辨别学习属于较低层次的思维，后三者与概念、原理和问题解决相关的属于高层次的思维。

皮亚杰的发生认识论将儿童心理发展分为感知动作阶段、前运算阶段、具体运算阶段、形式运算阶段。每一个阶段都体现出主要的心理活动特征，感知运动阶段是在语言发展以前，主要通过感觉动作实现的；前运算阶段有了语言的参与；具体运算阶段出现守恒和可逆，体现事物的联系性和概括性，但仍然离不开具体事物的支持；形式运算阶段是命题运算思维，可以进行逻辑推演。这种由低到高的思维发展的水平，以儿童语言的参与和抽象的命题推演为标志。

维果斯基提出的“最近发展区”的概念，与儿童思维发展的不同水平有密切关系。维果斯基区分出低级心理机能和高级心理机能。低级心理机能包括感觉、知觉、不随意注意、形象记忆、情绪、冲动性意志、直观的动作思维。高级心理机能是指观察力、随意注意、词的逻辑记忆、抽象思维、高级情感、预见性意志等。高级心理机能具有一系列根本不同于低级心理机能的共同特征，包括主动性、概括的抽象的反映水平、以符号或词为中介等。

从认知心理学有关思维的层次或水平的研究可以总结这样几点认识：第一，思维是人类所特有，人与其他动物共有的一些特征不属于思维。第二，思维的基本特征是概括性和间接性，概括性主要表现为不是对具体的事物和现象的直接的反映，而是对事物的本质的抽象与概括；间接性是通过一定的中介，主要是语言对概括化了的事物建立联系，这种联系以语言为媒介，以逻辑为依据，就是对事物建立符合逻辑规范的联系。第三，思维有不同的水平，观察力、词的记忆、语言表达、辩论力等属于较低层次的；抽象思维、规则与原理的建立、问题解决等属于较高层次的。

2.教育学视角下的高阶思维。

从教育学视角研究学生的学习和思维水平，有影响的是布卢姆的教育目标分类理论和比格斯的SOLO模型。布卢姆将学生的学习分为六种水平，即知识、理解、应用、分析、综合、评价。一般认为前三类属于低阶思维，后三类属于高阶思维。比格斯的SOLO模型也反映了思维的低阶与高阶。模型中包含前结构、单一结构、多元结构、关联、拓展抽象五个水平，描述了学生对某个对象理解的层层递进和复杂化。其中，前结构水平表示学生完全不理解对象。单一结构表示学生关注到了对象的一个方面，多元结构表示学生关注到了对象的多个方面，但没有建立起这些方面的联系。因此，这三种水平属于低阶思维水平。关联水平表示学生不仅关注到了对象的多个方面，而且建立起了这些方面的联系。拓展抽象水平表示学生对对象的理解达到了概念化和抽象的水平，因此，这两种水平属于高阶思维能力。

近年来，一些有关学生发展和教学改革的研究都与学生高阶思维的培养有关。主要包括深度学习和有关核心素养的研究。

“深度学习”（Deep Learning）最早由瑞典学者马顿（Marton）等在20世纪70年代，从认识心理学的视角，针对单纯的记忆和一般性的接受知识的浅层学习（Surface Learning）提出。从2011年开始，美国研究学会（America Institutes for Research，AIR）发起由19所学校参加的“深度学习”研究项目，将深度学习阐释为重点关注学生核心学业内容知识的掌握、批判性思维与问题解决、有效沟通、协作能力、学会学习、学术心志这六项能力的发展。从思维的角度理解，深度学习更强调批判性思维与解决问题能力的培养。教育部基础教育课程教材研究中心主持的“深度学习”教学改进项目提出，深度学习是“在教师引领下，学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程。在这个过程中，学生掌握学科的核心知识，理解学习的过程，把握学科的本质及思想方法，形成积极的内在学习动机、高级的社会性情感、积极的态度、正确的价值观，成为既有独立性、批判性、创造性，又有合作精神、基础扎实的优秀学习者，成为未来社会历史实践的主人”。核心的目标指向学生的核心素养发展。深度学习强调的重点在于培养学生的高阶思维和问题解决能力，都可以理解为高阶思维。

核心素养是近年来受到普遍关注的话题，许多国际组织和国家提出核心素养是面向21世纪公民应当具备的综合能力。如欧盟和OECD等国际组织都有对核心素养的明确表述。这些表述都将创新创业素养、批判性思维、解决问题能力、学习能力、社会与公民素养、交流与合作能力（包括跨文化、跨国界交流与合作能力）、自我发展与自我管理、信息素养等作为重要的要素。“只有具备了这些核心素养，个体才能够具有足够的灵活性、适应性和竞争力，才能够更好地应对21世纪的挑战。”2016年9月公布的《中国学生发展核心素养》确定了3个方面6个要素18个基本点的核心素养框架，为核心素养的研究提供了很好的参照。在这些核心素养的论述中，与思维发展相关的要素存在许多共同之处，主要包括理性思维、批判性思维、解决问题能力等，这些都与高阶思维密切相关。可见，核心素养的相关要素与高阶思维的一致性很高。

从认知心理的基本学习原理出发，结合教育学有关学生学习层次和学习水平的观点，借助核心素养和深度学习等有关学生思维发展的框架，可以尝试对高阶思维做这样的描述：高阶思维是以语言为工具，对事物的本质进行抽象和概括，以及建立合乎逻辑的关系、规则和原理的过程。主要包括抽象概括、逻辑推理、批判性思维、创造性思维和问题解决等。

3.数学教育视角下的高阶思维。

许多有关高阶思维能力培养的研究，都把教育学和心理学关于高阶思维的分类用于学科教学之中，这固然是一种研究的思路，但对于不同的学科来说，高阶思维的培养可能有其特殊的含义。我们有理由相信，除了适用于一般的教学应当培养的上述诸如批判性思维、创造性思维、逻辑思维、解决问题能力等之外，对于某一个具体的学科应当考虑这个学科对学生发展的特殊性，包括培养学生高阶思维的特殊意义。就数学学科而言，应当考虑除了具有普遍意义的诸如问题解决、批判性思维、创造性思维等这些一般意义的高阶思维外，对反映数学学科特点的高阶思维是什么，也应当给出回答。

高阶思维与核心素养的相关要素具有很强的一致性，不妨从与数学学科相关的核心素养的研究入手来分析。在OECD教育2030的学习框架中，能力的概念不仅仅意味着获得知识和技能，它包括调动知识、技能、态度和价值观来满足复杂的需求。学生将需要在未知的和不断变化的环境中应用他们的知识。为此，他们需要广泛的技能，包括认知和元认知技能（如批判性思维、创造性思维、学会学习和自我调节），社交和情感技能（如同理心、自我效能感和协作能力），实用和物理的技能（如使用新的信息和通信技术设备）。基于OECD教育2030设计的PISA2021对数学素养的理解是，“数学素养是指个体在真实世界的不同情境下进行数学推理并表达、应用和阐释数学以解决问题的能力。它包括使用数学概念、过程、事实和工具来描述、解释和预测现象的能力。它有助于个体作为一个关心社会、善于思考的21世纪建设性公民，了解数学在世界中所起的作用以及做出有根据的数学判断和决定”。在这个框架中特别提出了“21世纪技能”，这包括“辩证性思维、创造性、研究与探索、自我引导、发起与坚持、信息使用、系统性思维、交流、反思等技能”。

OECD教育2030和PISA2021中与思维相关的一般能力包括：批判性思维、创造性思维、系统性思维等；与数学学科直接相关的包括：数学推理、表达、应用和阐释数学以解决问题的能力等。

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中提出6大核心素养，史宁中教授认为：“最为重要的有三个，是抽象、推理和模型……这三个要素是构成数学三个基本特征的思维基础。”所以，数学抽象、数学推理与数学建模可以理解为数学的高阶思维。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的10个核心概念（用关键能力可能更好），与高中数学的核心素养具有一致性。其中数感、符号意识和空间观念与数学抽象密切相关，推理能力主要是逻辑推理，模型思想就是初步的数学建模。

综合认知心理学、教育学和数学教育有关思维的论述，我们对数学学科应关注的高阶思维有了一个基本的认识。可以从两条线索来梳理，一是与数学学科相关的具有共性的高阶思维，包括：批判性思维、创造性思维、抽象思维、逻辑思维和问题解决。二是数学学科本身特有的高阶思维，包括：抽象思维、逻辑思维和数学建模（或问题解决）。显然，两者之间有一定的交叉，一方面说明数学学科对于学生核心素养和高阶思维的培养有重要的作用，另一方面也表明数学学科的核心素养或高阶思维对共同的核心素养和高阶思维的贡献度很大。

取上述二者的并集，数学学科教学应关注的高阶思维包括：批判性思维、创造性思维、抽象思维、逻辑思维、数学建模和问题解决。其中，批判性思维和创造性思维是共同的，数学建模是数学特有，而抽象思维、逻辑思维和问题解决是二者共有，但在数学学科中有特殊的意义和价值。小学阶段的高阶思维是这些思维能力的初步形成，教学中应当观照两条线索，结合具体内容的特征设计和组织指向学生高阶思维发展的教学活动。

二、怎样在数学教学中培养学生的高阶思维

在数学教学中培养学生的高阶思维需要处理好以下四个方面的问题。下面以“11～20各数的认识”和“平行四边形的面积”为例，具体阐述这四个方面的问题。

1.确定学习内容蕴含的高阶思维。

课堂教学总是以某一个具体的学习内容为载体，这些内容大多是以数学的知识技能的形式出现，其中所涉及的思维方法，特别是高阶思维一般是隐含的，需要通过分析具体的学习内容的本质来挖掘特定内容蕴含的高阶思维。“11～20各数的认识”是学生最早接触数的进位制，是学生理解数的符号表达体系的开始。学生在知道从1到9这九个符号所表达的数量后，还要知道同样的1、2放在不同的位置上所表达数量是不同的。这个过程需要学生抽象思维的参与，通过这个内容的学习有助于学生抽象思维的发展。“平行四边形的面积”要解决的问题是确定一种图形的大小。确定一个图形的面积是多少，有效的思路就是说明这个图形包含多少个面积单位，可以用数面积单位的方法，也可以用平行四边形和长方形之间的关系来说明。这里用“说明”而不是证明，是小学阶段学习的特点所限。证明是严谨的逻辑推理，这里的“说明”会用到归纳的方法，也是一种推理的过程。因此，求平行四边形面积的过程体现的高阶思维主要是推理，或者具体地说是归纳推理。当然这两个内容所蕴含的高阶思维可能不只是抽象和推理，在具体的教学过程中还会有其他的诸如批判性思维、创造性思维、问题解决等的参与，这里仅是从特定内容的分析中寻找与其直接相关的高阶思维。

2.寻找高阶思维与学生先在经验的关联。

无论是学习心理学理论还是课堂教学改革模式，一个共同的要点就是使教学适合学生的发展。皮亚杰提出的同化与顺应，维果斯基的“最近发展区”，教学过程中“脚手架”等都是主张把学习的目标与学生的现有水平建立起联系。学生现有水平的确定叫作学情分析。为实现高阶思维培养，学情分析的重点应当关注学生现有学习基础，特别是与特定的高阶思维相关的思维水平的状况。由此确定学生学习新内容的“前概念”，找到学生的最近发展区。这不仅需要分析学生的知识技能的准备，更要分析学生的思维与方法的准备，这样才有可能在教学中进行有针对性的引导和探索。“11～20各数的认识”的学习，学生在此之前认识了1～9，用这9个数字分别表示1～9个物体的个数（数量）。学生初步感受数是数量的抽象，但只是用一个数字代表一个数量，是单一的对应关系。而对于11～20，同样一个数字，在不同的位置上代表不同的数量，这种抽象的数的表示发生的变化，这对于学生来说是更高一点的抽象。所以，在学习这个内容时的“前概念”就是“1”表示1个物体的个数，“2”表示2个物体的个数……这对于学习新内容是有帮助的，同时也会产生一定的障碍。学生要进一步理解“1”不仅可以表示1个物体的个数，还可以用来代表10个物体的个数，把1放在不同的位置上，代表的数量会不同。这对于学生来说，思维方式要有一个提高才可以。对于“平行四边形面积”，重点是解决“这个图形包含多少个面积单位”或“这个图形的面积与已知的长方形的面积有什么关系”。前一个是最基本的，是从平面图形面积这个初始的概念出发说明面积。后一个是间接的，是用已知图形的面积推导新的图形面积。每一种方法都需要学生用到“先在经验”，即图形的面积、面积单位及长方形面积公式。

3.设计组织发展高阶思维的路径与方法。

有效的设计和组织旨在培养高阶思维的课堂教学，基本的思路是基于特定内容所蕴含的高阶思维，利用学生相关的先在经验，设计有针对性的策略与方法。常用的教学策略包括问题情境的设计、关键问题的提出、围绕具体内容展开的指向高阶思维的探究活动以及课堂的充分参与交流和评价等。重要的是把问题情境中各种不同的观点展示出来，学生在讨论甚至是争论这些观点的过程中理解概念和方法，相关的高阶思维也获得发展。以下就“11～20各数的认识”和“平行四边形的面积”两个主题的教学，借鉴相关的经典案例阐述教学中核心的策略与方法。

在北京倪芳老师“11～20各数的认识”的教学中，有几个核心环节对我们有启发，特别是“辨11”的环节。教师向学生展示古人记录物体数量的方法，请学生用自己的方法很快地表示12根小棒。学生在理解可以用一捆小棒表示10，用一根小棒表示1的基础上，引出“辨11”的环节。就是让学生思考“能不能用同样的两个珠子表示11”时，学生出现的两种观点：一种认为不能，因为一样的两个珠子要么表示2，要么表示20，不能表示11；另一种认为能，可以用一个表示1，另一个表示10。两种观点争持不下。最后说能的一方说：“可以在一个珠子上写上十位，另一个珠子上写个位，就可以了。”这个过程持续了6分多钟，显然在该过程中，无论是参与辩论的学生，还是听他们辩论的学生都会对数的抽象表达，特别是十进位的“数位”和“位值”这两个抽象的概念有了新的理解。这个环节直接指向该内容所蕴含的抽象这一高阶思维，学生的思维水平得到提升。

在上海潘小明老师的“平行四边形的面积”教学案例中，老师出示了一个平行四边形，直接提问：“知道这个平行四边形的面积是多少吗？”学生量出这个平行四边形相邻两个边的长度是5厘米和7厘米，很快出现了两种不同的答案：35平方厘米和28平方厘米。显然其中只有一个是正确的。第一种答案是参照长方形面积是“长×宽”这个“先在经验”，后一个又是用什么方法呢？接下来的过程就是验证或者说明哪一个答案是正确的。具体的方法会有把平行四边形压扁，说明用长方形面积的计算方法（邻边相乘）是不对的。验证第二种答案的正确性可以通过操作、割补等方法实现。所用的方法和过程都需要推理，学生在这个过程中发展了这一内容的学习蕴含的“推理能力”这一高阶思维。

4.及时反思教学过程与结果。

一节课或一个单元的教学不是教学的终结，是教学的阶段性的完成。及时反思和回顾是必须的。教师经常提出这样的问题：“我们的任务完成了吗？”“还有什么新的问题吗？”“对于今天学的内容还有什么思考吗？”这一方面促使学生回顾与反思学习的历程，更重要的是监控和调试学习的过程和结果，这是元认知的过程，也是发展学生批判性思维的需要。提出需要反思的问题，既是针对一节课或一个单元涉及的与学科本质有关的高阶思维，也是发展学生诸如批判性思维等共同性的高阶思维的需要。

我们弄清什么是数学学习中的高阶思维，怎样的教学才有助于培养学生的高阶思维，就会在数学教学的实践中不断探索和发现培养学生高阶思维的路径，以及从典型的案例中提炼和寻找有效的方法。