基于蒙特卡洛法的反舰导弹搜捕概率仿真研究

张海峰，齐鸿坤，侯学隆，王宗杰

(海军航空大学， 山东 烟台 264001)

1 引言

现在点射击是目前反舰导弹常用的作战方式[1]，如图1所示，反舰导弹在发射后对目标的搜捕概率主要受导弹自控终点散布误差、机动目标位置误差及末制导雷达特性等因素影响[2]。因此，在实验仿真中准确描述计算上述3个影响因素对于求解反舰导弹搜捕概率起着决定性作用。

文献[3-4]运用解析法求解了反舰导弹的搜捕概率，但其假定机动目标在最大可能散布圆内服从均匀分布，不符合舰艇实际的机动情况。文献[5]使用解析法在假设舰艇目标静止情况下对反舰导弹自控终点散布进行了准确计算与仿真。文献[6]运用蒙特卡洛仿真水面舰艇目标散布圆特征，但未进一步求解反舰导弹的搜捕概率。对于反舰导弹自控终点散布误差用解析法表示更为准确且工作量小，文献[7]采用蒙特卡洛法进行简化计算。由于舰艇机动目标位置散布由目标初始位置散布和机动散布引起，不能用公式简单准确表述，因此对于舰艇的目标位置散布，用蒙特卡洛法仿真可实现精确描述。对于导弹的自控终点散布误差及搜捕扇面，使用解析法更加准确且工作量较小。

2 自控终点散布误差

自控终点散布是指飞行弹道实际自控终点与理论自控终点的偏差[8]。该偏差直接影响末制导雷达开机后对目标的搜捕概率[9]。反舰导弹自控终点是弹道空间上某一点，可以用三维随机变量(X、Y、Z)来表示，其散布按空间正态分布律来描述。由于反舰导弹的飞行高度较低，且在自控段弹道均处于平稳飞行,因此在建立模型时自控终点散布取平行于海平面的侧向散布和纵向散布[10]。影响反舰导弹自控终点散布的因素主要包括导弹初始对准误差和自控飞行误差。由于新型反舰导弹采用惯性导航系统，其误差随时间积累[11]，对于已定型的导弹，通过实弹射击试验和仿真手段可以确定惯性导航模式下导弹飞行时间与导航误差关系表(见表1)。

表1 导弹飞行时间与导航误差关系

不同惯导系统对准模式下导弹综合导航误差的差异较大，可通过数据拟合确定给定的自控飞行时间所对应的导航误差均方差。用最小二乘法进行多项式拟合，即：

σ=f(td)

(1)

td=(D-d)/vd

(2)

式(1)～(2)中：σ为惯导系统导航均方差(m)；td为导弹自控飞行时间(min)；D为导弹飞行航程(km)；d为末制导雷达开机距离(km)；vd为导弹飞行速度(Ma)。

反舰导弹自控终点散布概率密度可描述为：

(3)

将直角坐标系转换为极坐标系，令x=ρcosθ，y=ρsinθ，概率密度变为：

(4)

式(4)中：mx、my表示反舰导弹理论开机点的横纵坐标；σx、σy表示反舰导弹在X和Y两个方向的导航均方差。

当导弹到达末制导开机点时，导弹所在的可能位置是一个以理论航路开机点为中心，最大的飞行轨道偏移为半径所围成的一个误差散布圆[12]。根据正态分布的3σ法则得出自控终点散布圆半径R=3σ。

3 机动目标位置误差

海上机动目标位置散布由目标初始位置散布和机动散布引起，如图2所示。初始散布由侦察预警兵力的定位精度决定，机动误差由导弹飞行时间及目标航向航速决定。

图2 自控终点散布误差及舰船目标位置误差示意图

3.1 目标初始位置散布的概率密度

目标初始位置散布是一个二维随机变量，根据侦察预警兵力对海上机动目标的定位情况，可用二维正态分布描述，其数字特征可用均方差和数学期望来表征。均方差表征的是观测系统的随机误差，数学期望表征的是系统误差。侦察预警兵力的观测系统应采取各种技术来消除系统误差，随机误差在X轴和Y轴没有相互影响，因此假设二维正态分布的数学期望为零且在2个坐标轴方向的误差相互独立，其分布概率密度也可用公式(3)表示。

3.2 目标机动散布

海上机动目标的航向、航速与目标舰艇性能、编队情况、水文气象及任务状态有关[13]。当前反舰导弹多采用现在点攻击，目标航向、航速由侦察预警兵力实时更新并传输至岸导部队，射击诸元中的目标航向、航速以最后时刻为准。

根据对目标航速的预测分析情况，选取概略航速均匀分布模型[14]，即目标航速在某个范围内出现的概率是均等的，航速概率密度为：

(5)

考虑舰艇在短时间内转向困难，选取概率航向正态分布模型[15]，以最后时刻目标航向Cc为中心航向角，分布范围为ΔC。目标集中在某个航向概率密度为：

(6)

4 反舰导弹搜捕模型设计

基于蒙特卡洛方法计算反舰导弹搜捕概率的思路为：将反舰导弹自控终点散布区域按极坐标的方式分成n个扇形单元，通过蒙特卡洛法模拟产生目标散布，统计落入单个搜索扇面的数量，计算单个扇形单元格的搜捕概率，最后将单个搜捕概率相加求出反舰导弹搜捕概率。其仿真计算逻辑如图3所示。

图3 反舰导弹搜捕模型仿真计算逻辑框图

建立以导弹理论自控终点为原点O(0,0)，导弹飞行方向为X轴正方向，Y轴满足右手定则的XOY坐标系[16]。舰艇理论初始位置为M(x,0)，其中x为导弹末制导雷达开机距离(导弹理论自控终点距舰艇理论初始位置的距离)。

将导弹自控终点散布范围按极坐标的方式分成个扇形单元，每个扇形单元的半径为Δρ，角度为Δθ。以第i个扇形单元为积分区域求出导弹落在此范围内的概率为Pz(i)，系统误差为零时二维正态分布概率密度关于X轴、Y轴对称，计算导弹在单个扇形单元的搜捕概率，只需计算第一、二象限的概率即可，对于第三、四象限可根据对称性获得。导弹自控终点散布误差极坐标下的分布函数为：

(7)

设每个扇形单元的中心位置B(i)(x(i),y(i))为雷达的开机点形成搜索扇面Dσs，搜索角度α∈(α1,α2)，搜索距离d∈(d1,d2)。设第j次蒙特卡洛仿真中，目标舰艇的初始位置为M0(j)(x0(j),y0(j))，其航速为vj，航向为cj，经过tm时间机动，目标舰艇的位置为M1(j)(x1(j),y1(j))，具体计算步骤如下：

步骤1:根据目标初始位置散布生成随机数，产生第次仿真目标初始位置M0(j)(x0(j),y0(j))；

步骤2:根据目标航速均匀分布生成随机数，产生第j次仿真目标航速vj;根据目标航向一维正态分布生成随机数，产生第j次仿真目标航向cj;

步骤3:计算水面舰艇目标以当前航向、航速经过tm时间机动后的所在位置M1(j)(x1(j),y1(j))，计算公式如下:

(8)

水面舰艇目标机动时间tm指目标信息最后一次获取时间到反舰导弹末制导雷达开机搜索时刻，可由反舰导弹射前准备时间tq及导弹发射后空中飞行时间td相加得到[17]。

步骤4：判断第j次仿真目标是否落入导弹的搜索扇面内M1(j)(x1(j),y1(j))∈Dσs，判断方法如下：计算得到仿真舰艇目标与扇形单元中心点的距离Δd及与X轴夹角φ，若d1≤Δd≤d2且α1≤φ≤α2，认为舰艇目标落入导弹搜索扇面。

步骤5：计算落入导弹搜索扇面内的次数与总的仿真次数之比N，近似为在此扇面内导弹成功搜捕的概率Pm(i)，Pz(i)与Pm(i)相乘，即为反舰导弹在第个扇形单元的搜捕概率Ps(i)。所有扇形单元搜捕概率Ps(i)相加为反舰导弹的搜捕概率Ps。

5 仿真分析

仿真计算初始数据如表2所示，分布模型数据如表3所示。

表2 仿真计算初始数据

表3 分布模型数据

在开机距离35 km、搜索距离20～50 km,搜索扇面的典型参数条件下，反舰导弹的搜捕概率为0.941 9，如图4所示。

图4 反舰导弹典型参数搜捕模型及概率示意图

5.1 末制导雷达开机距离对搜捕概率的影响

其他参数值不变，计算反舰导弹末制导雷达开机距离在10～38 km区间变化时对导弹搜捕概率的影响，如图5所示。雷达开机距离不仅影响舰艇的机动时间，还会影响导弹的导航误差，二者综合对搜捕概率产生影响。当导弹近距离开机时，舰艇恰好处于导弹搜索盲区，搜捕概率很低甚至为零；在开机距离为31 km时，导弹搜捕概率达到最大。在这个范围内，雷达开机距离越远，末制导雷达开机前飞行距离越短，飞行时间越少，导弹自控终点误差越小，舰艇机动时间短、距离小，导弹的搜捕概率越大。开机距离大于31 km后，导弹搜索扇面难以覆盖舰艇的机动范围，导致搜捕概率下降。

图5 开机距离对搜捕概率的影响曲线

5.2 搜捕扇面近界远界对搜捕概率的影响

其他参数值不变，计算反舰导弹搜索扇面近界在5～50 km、远界在15～60 km内变化且搜索范围不小于10 km对导弹搜捕概率的影响，如图6所示。本次仿真中设定开机距离为35 km，导弹搜索扇面远界对搜捕概率的影响要大于近界。举例说明，搜索近界、远界设定为[5,50]km时搜捕概率为0.943 2，近界、远界为[5,45]km时搜捕概率仅为0.690 6。这是由于导弹远界和近界的设定与岸舰导弹开机距离密切相关，因此在实际作战中，射击诸元的输入要统筹考虑开机距离与搜捕近界、远界。

图6 搜捕扇面远近界对搜捕概率的影响曲面

5.3 搜捕扇面角度对搜捕概率的影响

其他参数值不变，计算反舰导弹搜索扇面左角在-40°～10°、右角在-10°～40°范围内且搜索角度不小于30°对导弹搜捕概率的影响，如图7所示。反舰导弹搜捕扇面角度的设定与舰艇的机动方向密切相关，本次仿真中设定舰艇的航向服从期望为0°，方差为30°的正态分布，总体是分布于舰艇理论初始位置横向两侧。所以在求解搜捕扇面角度对搜捕概率的影响时，相同搜索角度下，搜索左角和右角关于X轴对称时可以获得较高的搜捕概率。

图7 搜捕扇面角度对搜捕概率的影响曲面

6 结论

在构建反舰导弹自控终点散布误差、导弹搜索扇面模型及舰艇初始位置散布模型、航向航速模型的基础上，设计了基于蒙特卡洛法的反舰导弹搜捕概率计算模型，通过仿真验证，该方法通用性强、效率高，具有较高的实用性。通过分析反舰导弹开机距离、搜索扇面宽度和角度对搜捕概率的影响，可以发现各因素对搜捕概率的影响相互关联。对于某一型导弹的使用，提高其搜捕概率要紧密结合其战术使命、性能参数及战场环境综合考虑，计算出最精准的射击诸元。