引信保险球质量和直径分布特性

杨修军，王雨时，闻 泉，王光宇

(南京理工大学 机械工程学院， 南京 210094)

1 引言

绝大多数引信都有状态转换过程，其零部件受力较为复杂，且内部空间有限，为一次性工作。因此引信内标准球形零件应用较为普遍，通常作为结构关联件，俗称保险球。一般是直径2～5 mm的不锈钢球或者钨合金球。作为一种典型的标准零件，多感受惯性过载环境工作，因而研究其质量和直径分布特性，对引信可靠性设计和研究，具有特殊的意义。

对引信保险球质量和直径分布的研究，涉及随机变量大小、离散及分布特征描述的问题，通常运用数理统计方法。文献[1]以某23 mm口径榴弹引信零部件100件称重数据为样本，通过数理统计方法得到了该引信零件质量和引信产品质量分布特性。文献[2]在文献[1]的基础上增加了样本量和样本种类，以2种弹头触发引信为样本，利用数理统计方法得到其机械零件质量分布特性，得出2种引信产品机械零件质量总的分布规律相近的结论。但同样拟合分布函数种类较少，未能完整反映引信机械零件质量分布规律。文献[3]在文献[1]和文献[2]的基础上加大样本量，增加了分布函数的种类，得到了除正态分布和Weibull分布外，还有t location-scale分布、Log-Logistic分布和Logistic分布对某小口径引信质量拟合分布较为符合的结论。本文通过借鉴文献[1]、文献[2]和文献[3]对引信零件质量分布的研究方法，增加检验方式，对引信保险球质量和直径分布特性进行研究，找出其分布规律。

2 分析方法与样本概述

2.1 分析方法

Minitab是一款专业的可视化统计分析软件，功能齐全，操作比较方便。常用模块有计算功能(矩阵、标准化、概率分布等)、图形分析(柏拉图、散点图、直方图等)、统计分析(基本统计量、方差分析、回归分析等)模块。对4种引信保险球零件每种各200件合格品进行直径测量和质量称重，将其结果作为样本数据，所用型号等信息见表1。

2.2 样本概述

测量的4种保险球基本信息见表2。应用Minitab软件的图形分析模块，得到这4种保险球的质量和直径分布直方图，如图1和图2所示。

将实测数据通过Minitab软件的计算功能进行数据处理得到质量和直径的均值μ，标准差σ和极值，见表3和表4。同时利用软件中的统计分析模块对保险球质量和直径进行相关性检验，得出Pearson和Spearman相关系数，见表5。由表5可知，4种保险球质量与直径均表现为极强正相关性。

表1 保险球直径和质量测量仪器

表2 4种保险球基本信息

图1 4种保险球质量频率分布直方图

图2 4种保险球直径频率分布直方图

表3 4种保险球质量均值、标准差和极值

表4 4种保险球直径均值、标准差和极值

表5 4种保险球质量和直径相关性检验

3 参数估计和分布拟合

首先对样本进行估计，对保险球质量与直径分布进行正态分布假设，并进行假设检验(以下所有置信度检验假设均为95%)。

正态分布是一种较为完善的分布类型，在拟合随机数据分布时具有很强的灵活性。正态分布的分布函数为[4]：

(1)

正态分布的概率密度函数为：

(2)

式中:μ为均值，σ为标准差。

常见的正态性检验法有Ander-Darling检验法、Kolmogorov-Smirnov检验法和Ryan-Joiner检验法。Ryan-Joiner检验法是专门用来检验正态分布的方法，具有特定性，另外2种检验方法也能检验其他分布[5]。相比较之下，拟采用Ryan-Joiner(以下简称RJ)检验法，对测量的数据进行正态性检验。此检验通过计算数据与正态分值之间的相关性来评估正态性，相关系数(RJ值)越接近于1表明数据和正态分布拟合得越好。

RJ检验的统计量定义为[6]：

(3)

(4)

(5)

式中i值为样本数据的秩。

利用Minitab软件，对样本数据进行处理，再利用RJ检验法检验分布假设是否接受正态分布，得到保险球质量和直径分布参数以及RJ检验拟合的结果，见表6。其中P值大于显著水平0.05，表明数据服从正态分布。

表6 4种保险球质量和直径的RJ检验结果

4 分析与讨论

从表6的结论可推出，4种保险球质量均服从正态分布，直径仅3 mm不锈钢球不服从正态分布。为了探究3 mm不锈钢球不服从正态分布的原因，将3 mm不锈钢球直径数据进行异常值检验，检验方法为Grubbs准则[7]。该准则是在未知总体标准差情况下，对正态样本或接近正态样本异常值的一种判别方法。判别结果发现在3 mm不锈钢球直径的数据中存在一个异常值(异常值显示为红色)，检验结果见图3。

直径测量工具误差0.001 mm，质量测量工具误差0.000 1 g，相比较之下质量测量误差要比直径误差小很多。球体形状很简单，假设磨球工艺所带来的形状误差很小，可通过质量分布特性推算出球的直径分布。由表5结论可知，球质量和直径可看作正相关，即M∝D3。

图3 3 mm不锈钢球直径的异常值图

可推出以下公式：

(6)

又由式(6)可推出，质量的变化率与直径的变化率线性相关。更加证明了直径分布特性可由质量分布特性推导得出。

从表6结论可知，保险球在测量仪器精度足够高的情况下，质量服从正态分布，即m～N(μ，σ2)。

(7)

(8)

由式(7)和式(8)可得：

(9)

以3.5 mm保险球为例，将ρ=18.04 g/cm3，μ=0.405 0 g，σ=7.831×10-4g代入式(7)和式(9)中，并利用python软件绘出函数图像，见图4和图5。

图4 保险球质量概率密度曲线

图5 保险球直径概率密度曲线

从图4和图5可看出，若保险球质量分布为正态分布(图4)，则保险球理论直径分布也是正态分布(图5)。为证明这一结论，利用Minitab软件生成一组样本数为200、均值为0.405 0 g，标准差为7.831×10-4g的随机数据A，再将数据进行式(8)运算得到另一组数据B。将数据B进行正态分布拟合，得到拟合后正态分布的平均值和标准差，作出函数曲线，见图6。

图6 保险球理论直径分布和拟合分布曲线

图6中，实线曲线为随机数据(样本)拟合得到的正态分布曲线，点画线部分是由式(9)(总体)计算得到的曲线，虚线部分是根据实际测量直径拟合得到的正态分布曲线。由式(9)得到的正态分布曲线与随机数据拟合的正态分布曲线基本一致，可认为引信保险球直径分布符合正态分布。与实测直径分布曲线相比，由质量数据计算得到的直径分布曲线，标准差较大，图像偏右。表明实测直径偏小，区分度不高。

为进一步研究保险球质量和直径分布情况，利用Minitab软件中个体标识功能，对数据进行多种分布检验。个体标识功能基于Anderson-Darling检验方法，该检验方法是一种拟合检验，通过比较样本数据分布和拟合函数分布的差异，检验样本是否服从某一分布。常见拟合的分布种类除正态分布外还包括Logistic分布、Gamma分布、极值分布等[8]。保险球质量和直径分布检验结果见表7。

表7 4种保险球质量和直径的分布检验结果

从表7的结论可看出，引信保险球质量和直径分布除不满足正态分布外，对Weibull等分布检验结果也是拒绝。对直径较小(2.5～4 mm)的保险球零件，质量和直径分布特性不明显，分布假设检验结果均是拒绝。2种检验方法结论不一致的原因可能是检验原理不同。Anderson-Darling检验法是一种基于拟合优度的算法，可检验总体是否服从正态分布，也可检验总体是否服从其他分布，对正态性检验不具有特性，因而功效较差[9-11]。本文选用的Ryan-Joiner检验法是一种基于相关性的算法，原理与文献[11]中Shapiro-Wilk检验法相同。

在零件加工上，可能会出现个别尺寸异常的零件。GJB 3793A—2018《弹用钨合金球规范》[12]给出的钨合金球直径测量工具为千分尺，质量测量工具为感量0.01 g的电子天平，每批样本数量为200粒。在质量和直径合格品的要求上，每批允许质量不合格的上限为3粒，直径不合格产品的上限为11粒。从此要求可看出，同一批次会出现个别直径不合格的产品，这些个别产品会影响到保险球直径的判别。

标准球形零件直径精度很高，但常规测量手段难以适应其高精度，因而区分度不足，相比由质量数据换算得到的直径分布特性，准确度较低。未见有关标准球形零件直径分布特性的文献报导，仅文献[1-3]对标准球形零件的质量特性进行过研究，但得出的结论是标准球形零件质量无明显分布特性。本文选取Ryan-Joiner检验方法，证明标准球形零件质量和直径均符合正态分布。

5 结论

4种直径2.5～4 mm、不同材质的引信保险球质量与直径，服从正态分布，不服从Weibull分布、Gamma分布、Logistic分布和极值分布，其分布特性与保险球材质无关。保险球质量标准差系数为0.19%～1.27%，直径标准差系数为0.044%～0.11%。标准球形零件的直径分布可通过质量分布推导。