高中数学“一题一课多解变式”教学模式的理论构建与实践探索

杨孝斌 吕传汉 吴万辉 袁景涛 李时建 卢焱尧

【摘 要】为提高高中数学解题教学质量和高考复习的效率，文章构建融合“三教”教育理念与波利亚解题思想的高中数学“一题一课多解变式”解题教学模式。经过六年的理论研究和实践探索，该模式为提升学生数学解题能力，落实数学核心素养有一定的帮助。

【关键词】高中数学;一题一课;多解变式;教学模式

【作者简介】杨孝斌，博士，贵州师范大学数学科学学院教授，中国少数民族教育学会数学教育专业委员会常务理事，主要从事中小学数学课堂教学、民族数学文化等的研究;吕传汉，贵州师范大学原副校长，教授，主持获得2018年国家级基础教育成果一等奖;吴万辉，北京八十中教学督导室主任，罗甸一中校长，正高级教师，高考科学备考与高考命题研究专家;袁景涛，思南中学校长，正高级教师，贵州省高中数学名师工作室主持人;李时建，正高级教师，贵州省高中数学名师工作室主持人;卢焱尧，贵州省实验中学校长，正高级教师，贵州省高中数学名师工作室主持人。

【基金项目】“国培计划（2018）”——贵州省吕传汉智库专家教师专业成长引领研修工作坊项目;贵州省2020年教育改革发展重大招标课题“三教引领民族地区高中数学一题一课多解变式教学实践研究”（ZD202008） 一、问题背景

在长期的教学实践和课堂观察的基础上，聚焦数学核心素养培育等热点问题，结合高中数学教学，特别是解题教学、高三复习教学的实际，笔者提出两个主要问题：一是如何在高中数学教学中落实数学核心素养的培育;二是如何在高中数学解题教学中，构建兼顾数学核心素养培育与高考应试能力培养的教学模式。

经过六年的研究和实践，笔者又把解决以上两个问题的主要过程分为聚焦问题、理论研究、模式构建、实践检验、教师培养等五个方面，并构建出高中数学“一题一课多解变式”解题教学模式。

二、“一题一课多解变式”教学模式概述

经过多年的探索，在开展波利亚解题思想的研究[1-5]和发展“三教”（教思考、教体验、教表达）教育理念[6-9]的基础上，笔者将数学核心素养培育与提升高中生数学解题及应试能力结合起来，构建了如图1的高中数学“一题一课多解变式”教学模式。

（一）模式的内涵

该模式的内涵是在“三教”教育理念与波利亚解题思想的指导下，以数学思考为切入点（启发学生理解题意，引导学生多角度思考问题）、以获得数学解题体验为重点（寻找解题思路，经历解题过程，在解题中学解题）、以数学表达交流为落脚点（通过分析问题特征、书写解题过程、归纳解题方法，培养数学表达交流能力），其核心是训练学生思维能力，目标是提升学生解决数学问题的能力。

（二）模式的主要环节与解析

从图1可以看出，该模式的主要教学环节如下。

（1）围绕某一个重要数学知识点或数学核心素养考查点，精选一个典型的数学问题作为一节课（或连堂课）教学的出发点。

（2）针对选取的典型数学问题，开展一题多解的教学，培养学生思维的灵活性。

（3）列举类似问题（条件、结论或解法类似的问题），开展一题多变的教学，培养学生思维的发散性和变通性。

（4）进行一题多说的师生对话，教师从不同角度解析问题、指出问题的本质和关键，引导学生反思研讨，让学生说出自己的学习体验，师生共同厘清问题特点、归纳解题方法，最终达到一题多用（通过解一道题学会解一类题）的目的，培养学生思维的概括性和迁移性。

（三） 模式的课型应用

经过六年的教学实践，该模式从最初的在高考复习课中尝试运用到既可以在高三复习课使用，又可以在新授课、常规复习课中运用。以下分别从三种课型进行分析。

1.新授课教学应用

该教学模式不仅仅是指在新授课的解题教学（例题或习题）中运用，还可以在概念的产生、公式的推导等新授课的教学中应用。在新授课教学中运用该模式的关键是教师能够找到新授课的核心问题，适时地将教学内容问题化，找出课题，把新知识的教学当作解题教学。数学教材中的标题一般不是课题（这节课要解决的核心问题），标题往往是结论，而课题应是数学发现中的本原性问题，要体现数学问题的本质。例如“三角函数的诱导公式”是教材内容的标题，而不是课题。其真正的课题应是有了任意角的概念和锐角三角函数等预备知识之后，“任意角的三角函数值怎么求？”这才是这节课教学的真正课题。因此，这节课一开始应该是一個具体的问题，即“如何求210°的正弦值”，接下来再要求学生动脑筋想办法解决问题。[10]

在新授课的教学中，教师运用该模式的主要难点是如何找准这节课要解决的核心问题，以及如何构建问题串，特别是如何根据学习新知识的思维发展需要安排问题的逻辑顺序。

2.常规复习课教学应用

在单元复习、期末复习教学中，除了常规的知识复习，还可以尝试采用问题驱动的方法，以解题教学促进数学知识的复习。

例如“数列”这一章节的复习课，除了要复习概念、通项公式、求和公式等知识，还要围绕等差数列通项公式、等差数列求和、等比数列通项公式、等比数列求和、等差（等比）中项、数列综合问题、数列问题在生活中的应用等设置一系列问题，采用“一题一课多解变式”的教学模式，每一个系列以一个典型问题的解题教学为主，辅以类似的问题加以巩固，以达到在知识的运用中理解知识、巩固知识的目的。

3.高考复习课教学应用

教学实践表明，在高考复习中，“一题一课多解变式”教学模式的运用应常态化。同时，教师在解题教学中还应注意落实一题多解、一题多变、一题多说等教学理念。具体分为以下三个阶段。

（1）高考第一轮复习：以知识为主，解题巩固。在该复习阶段应以构建知识框图，形成系统化、模块化的知识体系为主，如立体几何中线线、线面、面面的性质定理与判定定理，应帮助学生建立知识间的联系，并在解题学习中巩固所复习的知识。

（2）高考第二轮复习：以解题为主，知识再现。在该复习阶段应以单元知识模块（或核心知识考点）为线索，以解题能力提高为目的，充分运用“一题一课多解变式”教学模式提高高考复习质量，并根据学生的实际情况适当辅以知识点的回顾与再现。例如“解三角形”这一内容，应重点围绕正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角形面积计算的方法等，通过典型问题的一题多解、一题多变、一题多说等学习过程，达到加深学生对知识及其相互联系的理解，提高学生解题能力的目的。

（3）高考第三轮复习：以解题为主，方法为要。在该复习阶段主要利用“一题一课多解变式”教学模式开展高考综合题的解题教学，在教学过程中突出解题经验、解题方法的归纳与总结，尤其要突出数学思想方法在解题中的应用。 三、“一题一课多解变式”教学模式的实践探索

高中数学“一题一课多解变式”解题教学模式初创以来，我们通过与贵州省9个省级高中数學名师工作室合作，指导高中数学教师在不同地区、不同学校进行教学实践，并在实践中不断修正、完善，以下是一些典型的教学案例。

（一）一题多解的教学实践探索

两道解三角形问题的多解探索。

例1（2017年全国Ⅲ卷理科第17题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+3cosA=0，a=27，b=2。①求c;②设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积。

例2（2019年全国Ⅲ卷理科第18题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知asinA+C2=bsinA，①求B;②若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围。

限于篇幅，关于这两个问题的多种解法，简要列表如下这两道题目的详细解法，参见参考文献[4][5]。。

在实际考试中，很多学生其实并没有更多的时间去思考题目的多种解法，但是在平时的思维训练中，通过一题多解可以帮助学生发现问题的最优解，培养学生思维的灵活性，以达到学生在面对题目时能够迅速判断用哪种方法求解。同时，一题多解的训练，也有利于提高学生多角度思考问题和灵活运用所学的知识解决问题的能力。因此，在教学中开展一题多解的训练，特别是在高三复习阶段，对培养学生思维的灵活性具有重要的作用。

（二）一题多变的教学实践探索

1.从一道加拿大竞赛题谈起

下面笔者将从一道加拿大的竞赛题谈一谈如何对问题进行变式。

例3（1995年加拿大数学奥林匹克试题）已知函数f（x）=9x9x+3，求f 11996+f21996+…+f19951996的值。

该问题可利用函数f（x）=9x9x+3的性质求解，即当x+y=1时，f（x）+f（y）=1，然后再借助倒序相加的方法求解。

2.搜索与之类似的题目

例4（复旦大学2005年自主招生考试题）已知定义在R上的函数f（x）=4x4x+2，求Sn=f1n+f2n+…+fn-1n，n=1，2，3…。

该题可看作是例3的翻版，事实上在课本上也有类似的题目。

例5[2007年人教版高中数学必修5（B版）第43页习题2.2，B组第6题]

已知函数f（x）=4x4x+2。

（Ⅰ）计算f（0.1）+f（0.9）的值。

（Ⅱ）设数列{an}满足an=fn1001，求此数列前1000项的和。

例3～例5都是考查等差数列求和公式推导过程中的倒序相加法。除上述问题（指数函数型）外，还有分式型、组合数型、三次函数型、对数函数型、三角函数型等，也常常结合倒序相加的思想进行命题。

例6（2002年新课标全国卷理科16题）（分式型）已知函数f（x）=x21+x2，那么f（1）+f（2）+f12+f（3）+f13+f（4）+f14=     。

例7（2017年上海高中数学竞赛题）（三角函数型）若f（x）=11+x+21+x2，则f（tan1°）+f（tan2°）+…+f（tan89°）=     。

这些问题是如何变式的，让我们先来看以下几个函数：

f（x）=9x9x+3 f（x）=4x4x+2 ？

这里的问号可以是f（x）=2x2x+2，于是便可命制以下问题：已知函数f（x）=2x2x+2，求f12021+f22021+…+f20202021的值。

我们还可以设计一个更简单的问题：求12+13+23+14+24+34+…+12021+22021+…+20202021的值，这些问题常常出现在小学高年级的数学竞赛题中，其本质就是反复利用倒序相加的思想求解。

此外，我们还可以同时利用三角函数公式和倒序相加法命制如下问题。

设A=1+cos3°+1+cos7°+1+cos11°+…+1+cos87°，B=1-cos3°+1-cos7°+1-cos11°+…+1-cos87°，则A∶B=    。

该题需要利用半角公式先去掉根号，再利用倒序相加的思想与正弦、余弦的和差化积公式求解。

因此，在教学中进行一题多变的训练，是为了培养学生的迁移性思维，让学生可以适应问题的各种变化，通过解一道题，最终达到会解一类题的目的。常规的思路主要有：①追根溯源，在充分挖掘考点（知识点、思想方法考查点、核心素养考查点）和题源（揣摩命题意图、寻找类似问题）的基础上，进行模拟命题，开展变题训练;②通过设计与原问题（或称母题）的条件、情境类似的问题，进行模拟命题，开展变题训练;③通过适当改变问题的结论（加强或弱化、升维或降维等），进行模拟命题，开展变题训练;④通过变换问题的提问方式（同一问题不同提法、不同问题同一提法），进行模拟命题，开展变题训练。

（三）一题多说的教学实践探索

限于篇幅，同时为了说明问题，笔者仍以2017年全国Ⅲ卷理科数学第17题为例。

1.教师说题目

在以该题为典型例题开展教学以后，教师应向学生深度剖析这一问题的特点及涉及的考点，让学生认识到该题重在考查对正弦定理、余弦定理、勾股定理、角的正弦（余弦、正切）的定义、特殊角的三角函数值、辅助角公式、两角和的正弦（余弦）公式、三角形面积公式、三角形中位线、平行四边形的有关性质、一元二次方程的解法等知识的掌握，以及对数形结合思想、化归思想、方程思想等数学思想的理解与应用。在数学核心素养方面，该题着重考查了逻辑推理、直观想象、数学运算等，同时兼顾合情推理能力的考查。

同时，教师还应向学生分析如何在考试中快速找到解题的突破口。如该题第（2）问，在实际解题过程中就可以先猜出D点为BC的中点这个结论再进行证明，当然这涉及对学生合情推理能力的考查。

2.学生说解题体验

通过以该题为典型例题开展“一题一课多解变式”教学以后，教师引导学生说出他们的学习体验，部分摘录如下。

生1：通过这道题的学习，我知道要综合把握问题的条件，充分考虑可能的解法，灵活选择更简便、快捷的解题方法。

生2：通过这道题的学习，我了解到，凡是遇到与三角形边的中点有关的问题，就想方设法寻找或构造出另一个中点，以便利用三角形的中位线等有关知识解题。

生3：通过这道题的学习，我了解到，在对图形的观察中充分把握整体与局部的关系。

生4：通过这道题的学习，我了解到，在数学学习中，既要关注数学的结论性知识，又要关注数学公式、定理推导过程中的过程性知识。

一题多说的主要目的是要求教师引导学生从多角度认识问题的本质、问题考查的知识要点和能力要素，让学生开展解题回顾与反思，总结学习体验、积累解题经验、归纳解题方法，最终达到一题多用，培养学生思维的概括性和迁移性的目的。

四、结语

教学实践表明，该模式引导学生通过会解一道题达到会解一类题的目的，在一定程度上提高了数学解题教学的质量和高考复习的效率。同时，在运用该模式的过程中，落实了“教思考、教体验、教表达”的“三教”教育理念，真正帮助学生实现“三会”，即会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界。通过六年多的努力，高中数学“一题一课多解变式”解题教学模式，已逐渐发展完善为提升数学解题能力的有效载体，落实数学核心素养培育的有效模式。当然，在模式的运用过程中，也或多或少会出现一些问题，比如有的教师因自身的素质无法很好地开展一题多解、一题多变，还有的教师无法很好地运用波利亚解题思想，以至于有时候讲不清楚解法是如何发现的。特别是在一题多变的过程中，有的教师不能很好地把握“变”的逻辑顺序，以及“变”的程度和题与题之间的跨度等问题，这些都有待进一步研究。

参考文献：

[1]杨孝斌.用“怎样解题”的提示语启发解题思路[J].高中數学教与学，2009（12）：15-18.

[2]杨孝斌，罗永超.例谈用波利亚“怎样解题”的提示语解高考题：以重庆市2013年理科第22题为例[J].通化师范学院学报，2014（4）：59-60，98.

[3]吴才鑫，杨孝斌.例谈波利亚“怎样解题”的提示语在高考数学解题中的应用：以2015年全国文科数学Ⅱ卷第19题为例[J].凯里学院学报，2016（3）：171-173.

[4]杨孝斌，潘志坚.2017年全国数学理科Ⅲ卷第17题解法分析：兼谈高考数学对数学核心素养的考查[J].兴义民族师范学院学报，2018（2）：121-124.

[5]杨孝斌，周国利，周娅.两道“解三角形”高考题的解法研究、比较分析及教学启示：以全国Ⅲ卷理科数学2017年第17题、2019年第18题为例[J].兴义民族师范学院学报，2020（1）：112-116，124.

[6]杨孝斌，吕传汉.论数学教育对中小学生核心素养的培育[J].兴义民族师范学院学报，2015（5）：74-79.

[7]苏明强，吕传汉.初论数学课程培育的核心素养[J].齐鲁师范学院学报，2016（6）：72-75.

[8]唐海军，吕传汉.数学教学为什么需要“教思考、教体验、教表达”：“三教”教学理念与实践的再探析[J].中小学教师培训，2019（10）：51-55.

[9]王宽明，吕传汉，游泰杰.数学教育中“教思考”的探索[J].中小学教师培训，2018（3）：39-43.

[10]杨孝斌.数学教学思维导向的研究[D].南京：南京师范大学，2010.

（责任编辑：陆顺演）