解斜三角形的几种类型

摘要：本文总结了用正弦定理、余弦定理解斜三角形的几种情况。阐述了解斜三角形的四种情形的解题方法，使学生能够根据条件选择合适的定理，从而快捷、高效地解决相关问题。通过对问题的解决，提高学生分析问题、研究问题、解决问题的能力，培育学习兴趣，增强学习信心。

关键词：正弦定理;余弦定理; 斜三角形

中图分类号：G634.6文献标识码：A文章编號：1992-7711（2021）18-059

解斜三角形是初中数学中的一个重要知识点。用正弦定理和余弦定理是解斜三角形的常用方法。解题时如何根据条件，选择正确的公式是很多学生存在的问题。教学过程中需要重点引导学生学会分析问题，能利用题目中给出的边和角，运用正弦定理和余弦定理求出其他的边和角。在实际教学过程中，发现很多学生对公式需要的条件掌握不熟练，解题时选择合适的公式还存在一定的困难。斜三角形问题求解在历年的考试中均有出现，此类问题是常规题、难度一般，在求解时入手快、上手容易、得分也较高。仔细研究斜三角形问题就会发现当一个题目图形中三角个数不少于两个时，一般来说，其中必有一个是可以采正弦或余弦定理求解，而题目中所求元素多数都在另一个三角形中，此时我们可以把已具有三个元素的三个角叫作可解三角形。本文主要对解三角形常见的情形进行分类，对每一类问题进行分析，帮助学生掌握最佳的解题方法，有效提高学生解斜三角形的整体水平。

下面介绍在本文中要用到的正弦定理和余弦定理

斜三角形中有三个角和三个边六个量，知道其中的三个（三个角除外）可以求出剩下的三个量。基本上解斜三角形可以总结为以下四种情形：已知两角一边求另一边、已知两边一角求另一角、已知两边一角求另一边和已知三边求三个角。下面对这四种情形分别进行研究，并借助例题分析说明。

1.已知两角一边求另一边

知道斜三角形的两个角和一个角的对边，求另一个角的对边，可以直接运用正弦定理求解。

2.已知两边一角求另一角

知道斜三角形的两条边和一个角，求另一个角，这里有两种情形：（1）已知三角形两条边和其中一条边的对角求另一个边的对角;（2）已知三角形两条边和一个夹角求另一个角。第一种情况可以直接用正弦定理求解。第二种情况已知的角和边不对应，不能直接运用正弦定理，需要先用余弦定理求出已知角的对边，再用正弦定理或余弦定理求解。

3.已知两边一角求另一边

已知斜三角形的两条边和一个角求另一条边，这里有两种情形：（1）已知两条边和一个夹角求另一条边;（2）已知两条边和一个对角求另一条边。第一种情况很简单，可以直接用余弦定理求解。第二种情况很多学生会想到用正弦定理和三角形内角和为180°求出剩下两个角，再用正弦定理求出边，这样虽然能够求出边，但是显得很烦琐。可以直接运用余弦定理建立关于所求边的一元二次方程，再解方程求出边。

4.已知三边求三个角

已知斜三角形的三条边求三角形的三个内角，可以直接运用余弦定理的三个变形公式求角。

综上所述，解斜三角有多种情形，当我们找对方法，很容易解决问题。有的题目虽然比较复杂，要多次运用正弦定理、余弦定理，这时就考验我们对公式适用性的理解。只要掌握了正弦定理、余弦定理的使用条件，就能很容易解决问题。以上四种情形基本上可以分为两大类：第一类，已知两角一边求另一边和已知两条边和一个对角求另一个角用正弦定理比较简便;第二类，已知两条边和一个夹角求另一个角、已知两边一角求另一边和已知两边一角求解。上述的例题，告诉我们可解三角形和需解三角形的应用，使我们在一遇到题后，可以有非常明确的思路分析出需要先做什么，之后再做什么，分析问题的思路也从试一下或者做一下，等不太确定的因素，转变成为有的放矢的挖掘探究。以此减少斜三角形问题思考的时间，而且其解的思路可以表现成为：找可解的内容，定位需要解决的内容，缺少条件时假设处理，这就是快速解决斜三角形的有效方法。掌握这个原则在解斜三角形时可以少走弯路，帮助学生快捷、高效地解决相关问题，极大地提高了分析问题、研究问题、解决问题的能力，培养了学习兴趣，增强了学习自信心。

参考文献：

[1]张彩霞.对《解斜三角形》中的一道例题的探讨[J].科技信息，2010（7）：265+299.

[2]钱钢.正弦、余弦定理应用举例及评析[J].数学学习与研究，2012（3）：101-102.

[3] 黄邵华.形式各异 本质归一——对解斜三角形“边边角”问题的三种方法的统一理解[J].数学教学通讯，2020（15）：65-66+68.

[4] 蔡海涛.解三角形[J].中学数学教学参考，2020（7）：42-44.

[5]罗荣建.探究一类斜三角形的新解法[J].文山学院学报，2020，33（3）：110-112.

[6]汤文兵，陈萍.快解斜三角形的一种有效策略[J].数学之友，2017（2）：71-73.

作者简介：陈会（1980-） 男 江苏洪泽人  大学本科、硕士学位 从事中职数学教学。

（作者单位：淮安技师学院数控技术系，江苏 淮安 223001）