关于n-phantom-态射和n-Ext-phantom-态射的刻画

兰开阳，卢博

（西北民族大学数学与计算机科学学院，甘肃兰州 730030）

1 预备知识

若无特殊说明，文中所有的环R均指带单位元的结合环，所有的R-模均指幺模，即设M为左R-模，则对任意的x∈M，有1x=x，其中1 是环R中的单位元。左R-模M的示性模记为M+。设A，B为左R-模，n为正整数，Torn(A，B)和Extn(A，B) 分别指。Ab 表示阿贝尔群范畴；对于环R，R-Mod 表示左R-模范畴，Mod-R表示右R-模范畴。R-Mor 表示对象为左R-模态射、态射为左R-模态射f：M1→M2到左R-模态射g：N1→N2之间的态射范畴，即态射对的交换图：

FU 等［1］提出理想逼近理论，称双边函子HomR(−，−)：R-Modop×R-Mod→Ab 的子加法双边函子为范畴R-Mod 的理想，记为I。对任意2个左R-模M和N，I 中态射M→N构成一个阿贝尔群HomR(M，N)，对I 中任意3 个态射f，g，h，合成fgh有意义且g∈I，则有fgh∈I。理想逼近理论将经典的覆盖与包络理论一般化［2］。如phantom-态射的理想就是范畴R-Mod 的理想。Phantom-态射的研究思想来源于拓扑学中CW-复形之间的态射［3］，NEEMAN［4］首先将phantom-态射的概念应用于三角范畴并做了相关研究。HERZOG［5］将phantom-态射的定义推广至结合环范畴，并做了大量研究。

如果P1，P2是投射左R-模，且f是可裂单态射，则称范畴R-Mor 中态射f：P1→P2是投射 的；如果E1，E2是内射左R-模，且g是可裂满态射，则称范畴R-Mor 中态射g：E1→E2是内射的；如 果F1，F2是平坦左R-模，且h是纯单态射，则称范畴R-Mor 中态射h：F1→F2是平坦的［6］。

2 Torn-单态射、Extn-满态射

Phantom-态射与Ext-phantom-态射的概念最早出现在文献［5］中，下面给出Torn-单态射与Extn-满态射的定义。

定义1设n是正整数，如果对任意的（有限表示）左R-模X，有

满态射，则称左R-模态射f：M→N是Extn-满态射的；如果对任意的（有限表示）右R-模Y，有

单态射，则称左R-模态射g：P→Q是Torn-单态射的。

下面的对偶定义来自文献［8］。

设n是正整数，如果对任意的（有限表示）右R-模X，有

满态射，则称左R-模态射f：M→N是Torn-满态射的；如果对任意的（有限表示）右R-模Y，有

单态射，则称左R-模态射g：P→Q是Extn-单态射的。

在文献［5］中，如果对任意的（有限表示）右R-模X，有

零态射，则称左R-模态射f：M→N是phantom-态射的；在文献［7］中，如果对任意的（有限表示）左R-模Y，有

零态射，则称左R-模态射g：P→Q是Extphantom-态射的；MAO［6］引入了n-phantom-态射和n-Ext-phantom-态射的概念，设n是正整数，如果对任意的（有限表示）右R-模X，有

零态射，则称左R-模态射f：M→N是n-phantom-态射的；如果对任意的（有限表示）左R-模Y，有

零态射，则称左R-模态射g：P→Q是n-Extphantom-态射的。

显然，R-Mod 中的1-phantom-态射恰好是phantom-态射；R-Mod 中的1-Ext-phantom-态射恰好是Ext-phantom-态射。

下面讨论n-phantom-态射与Torn-单态射以及n-Ext-phantom-态射与Extn-满态射之间的关系。

命题1设是左R-模的短正合列，则

（1）α是n-phantom-态射的当且仅当β是Torn-单态射的；

（2）β是n-Ext-phantom-态射的当且仅当α是Extn-满态射的。

证明（1）对任意的右R-模M，由短正合序列

可得正合序列

所 以，Torn(M，α)=0 当且仅当Torn(M，β)单态射，故α是n-phantom-态射的当且仅当β是Torn-单态射的。

（2）对任意的（有限表示）左R-模N，由短正合序列

可得正合序列

因此，Extn(N，β)=0 当且仅当Extn(N，α)是满态射的，故β是n-Ext-phantom-态射的当且仅当α是Extn-满态射的。

则

（1）f是n-Ext-phantom-态射的当且仅当h是n-Ext-phantom-态射的；

（2）f是Extn-单态射的当且仅当h是Extn-单态射的。

证明对任意的（有限表示）左R-模X，由短正合序列

可得正合序列

因为Extn(X，i)单态射，所以Extn−1(X，π)满态射。考虑行正合的交换图：

从而有

（1）f是n-Ext-phantom-态射的当且仅当θ满同态当且仅当ξ满同态当且仅当h是n-Extphantom-态射的；

（2）f是Extn-单态射的当且仅当θ=0 当且仅当ξ=0 当且仅当h是Extn-单态射的。

命题3设f，g，h是R-Mod 中态射 的，且满足fg=h。若f是Torn-单态射的，则

（1）h是n-phantom-态射的当且仅当g是nphantom-态射的；

（2）h是Torn-单态射的当且仅当g是Torn-单态射的。

证明对任意的右R-模M，有

因为Torn(M，f)单态射，所以有

（1）Torn(M，h)=0 当且仅当Torn(M，g)=0，故h是n-phantom-态射的当且仅当g是nphantom-态射的；

（2）Torn(M，h) 是单态射的当且仅当Torn(M，g)是单态射的，从而h是Torn-单态射的当且仅当g是Torn-单态射的。

命题4设f，g，h是R-Mod 中态射的，且满足fg=h。若g是Extn-满态射的，则

（1）h是n-Ext-phantom-态射的当且仅当f是n-Ext-phantom-态射的；

（2）h是Extn-满态射的当且仅当f是Extn-满态射的。

证明对任意的（有限表示）左R-模N，有

因为Extn(N，g)满态射，所以有

（1）Extn(N，h)=0 当且仅当Extn(N，f)=0，故h是n-Ext-phantom-态射的当且仅当f是n-Extphantom-态射的；

（2）Extn(N，h)满态射当且仅当Extn(N，f)满态射，从而h是Extn-满态射的当且仅当f是Extn-满态射的。

如果对任意的左R-模M，有

是正合的，则称R-Mod 中的短正合序列

是纯正合的［9］，或者等价地，对任意的（有限表示）R-模N，有

是正合的，则称X是Y的纯子模，Z是Y的纯商模。

如果对每个左R-模纯正合序列

均是正合的，则称左R-模M是纯内射的。显然，每个内射左R-模都是纯内射的。

由文献［5］，R-Mod 中的满态射f是Tor1-满态射的当且仅当f是纯满的；由文献［7］，R-Mod 中的单态射g是Ext1-单态射的当且仅当g是纯单的。

定理1设R是一个环，则

（1）如果左R-模态射f：M→N是Torn-单态射的，则对任意的正整数m(m>n)，f是Torm-单态射的；

（2）如果环R是凝聚环，且R-Mod 中的R-模态射g：P→Q是Extn-满态射的，则对任意的正整数m(m>n)，g是Extm-满态射的。

证明（1）对任意的右R-模X，存在短正合列

其中，H为投射右R-模。于是可得行正合的交换图：

因为 Torn(K，f) 是单态射的，所以Torn+1(A，f)是单态射的，由数学归纳法，对任意的正整数m且m>n，f是Torm-单态射的。

（2）对任意的（有限表示）左R-模Y，因为R是凝聚环，所以存在短正合列

其中，F为有限生成投射左R-模，E为有限表示左R-模。于是可得行正合的交换图：

因为Extn(E，g)满态射，所以Extn+1(B，g)满态射，从而由数学归纳法，对任意的正整数m且m>n，g是Extm-满态射的。

定理2设R是一个环，则

（1）左R-模态射f：M→N是Torn-单态射的当且仅当在Mod-R中有f+：N+→M+是Extn-满态射的；

（2）如果环R是凝聚环，那么R-Mod 中的R-模态射g：P→Q是Extn-满态射的当且仅当Mod-R中的g+：Q+→P+是Torn-单态射的。

证明（1）对任意的（有限表示）右R-模X，可得交换图：

由文献［10］，因θ和δ标准自然同构，所以Torn(X，f)是单态射的当且仅当Torn(X，f)+满态射当且仅当Extn(X，f+)满态射。因此，R-Mod 中的左R-模态射f：M→N是Torn-单态射的当且仅当Mod-R中的f+：N+→M+是Extn-满态射的。

（2）对任意的（有限表示）左R-模Y，可得交换图：

由文献［10］，因μ 和σ 同构，所以Extn(Y，g)满态射当且仅当Extn(Y，g)+单态射当且仅当Torn(g+，Y)单态射。因此，R-Mod 中的R-模态射g：P→Q是Extn-满态射的当且仅当Mod-R中的g+：Q+→P+是Torn-单态射的。