问题导向式教学法在高等代数教学中的应用——以欧几里得空间课程为例

杨 丽，李红梅

(辽宁大学 数学院，辽宁 沈阳 110036)

0 引言

高等代数是高等院校数学专业必修的一门重要的专业基础课，它为学生进一步提高数学专业知识水平提供必需的代数基础理论和基本方法，对后续课程的学习起着非常重要的作用.通过对高等代数的学习，学生能够掌握线性代数理论，进而掌握一些处理问题的基本方法，逐步具备刻苦钻研、独立思考的能力.同时，通过高等代数的学习，学生可以深刻了解高等代数的基础理论，为进一步的专业课学习打下良好的基础[1].

高等代数的学习可以使学生对基础理论知识和基本方法有较深的认识和理解，能够培养学生分析、解决基本代数问题的能力；提高学生的分析问题的能力和逻辑思维能力；培养学生严谨的数学思维能力、计算能力、空间想象能力及解决应用问题的能力.

1 问题导向式教学法

问题导向式教学是现今常用的一种教学方法，它是在探究问题的基础上，引导学生自主思考，主动研究问题，围绕老师预先提出的问题，利用课前查资料预习，课上讨论研究，课后演算习题巩固，提高学生的主动性积极性，提高学生的自主学习的能力，培养学生分析问题、解决问题的能力，充分调动发挥学生的主观能动性[2].

在高等代数教学中实施问题导向式教学方法，可以改变原有传统“黑板式”教学法的单一模式，改变对学生的“灌输式”教学方法，能够降低学生在高等代数学习过程中的抽象性感受，对教学内容的启发性有明显提高[3-9].与此同时，可以为学生明确高等代数教学内容的应用性，改变学生学习“无用性”的思想观念，可以大大提高学生学习的兴趣.

对于问题导向式教学方法，关键是合适的“问题”的提出，结合高等代数的自身特点，围绕高等代数的基本定义、定理、计算方法及应用，设计合适的、难度适中、具有层次性和实践性的问题是在高等代数教学中实施问题导向式教学的关键.

下面我们将以高等代数中的欧几里得空间中部分内容为例来说明问题导向式教学在高等代数课程教学中的应用.

2 以欧几里得空间部分教学内容为例设计导向式教学的问题

“欧几里得空间”这部分教学内容要求学生深刻理解并掌握欧几里得空间的基本概念和理论；掌握向量的内积和向量的度量性质；正确理解正交向量组、标准正交基的概念，掌握施密特正交化方法；理解并掌握正交变换的概念与等价条件，掌握正交变换与向量长度、标准正交基以及正交矩阵的关系；理解两个子空间正交的概念，掌握正交与直和的关系；熟练掌握实对称矩阵的进一步性质[3].这部分内容在教学中可以结合几何空间的定义、性质及图形，增强教学的直观性和形象性，提高教学效果.

2.1 欧几里得空间及内积的定义引入

线性空间的定义中有两种运算(加法和数乘)，但是线性空间中的向量没有长度的度量方法，那么几何空间这种线性空间的很多性质无法研究，所以就需要在线性空间中引入一种新的运算，这种运算有哪些性质？

通过此问题的提出，可以自然地引出内积的定义，再通过定义强调内积的性质，并且引导学生了解内积对于欧几里得空间中的向量的长度及位置关系(角度)的意义.由此让学生对所学欧几里得空间内容有初步了解及印象.

2.2 欧氏空间不等式

在几何空间中，有非常著名的三角不等式、勾股定理，几何空间是一类欧几里得空间，那么在其他的欧几里得空间三角不等式及勾股定理是否还成立？

通过此问题的提出，可以引出柯西—布涅夫斯基不等式，通过特殊的内积定义方式，进而得到柯西不等式及柯西—施瓦茨不等式.最后自然引出三角不等式及勾股定理，研究欧氏空间的基本性质.

2.3 标准正交基

几何空间画图中通常用两两垂直的坐标轴建立空间直角坐标系，这样建立的坐标系有何优势？欧几里得空间，是否也有类似性质的向量组？

通过此问题的提出，引导学生了解正交向量组的定义及性质，结合几何空间中的空间直角坐标系，为学生对于标准正交基建立直观形象的模型，使学生的思维由形象到抽象，再由抽象到形象的转化提供了基础.

3 结束语

高等代数课程的特点决定了它本身就是一门充满抽象问题的学科，结合它的特点，利用传统教学和问题导向式教学相结合的方式，以学生为学习主体，培养学生的学习主动性，提高学生自主分析问题解决问题的能力，调动学生的学习热情和学习兴趣，通过教师的努力，在教学过程中提出适当的“问题”，学生的自主学习，这样可以丰富教学手段，加强教学效果，提高教学质量，在不断努力中实现高等代数教学改革教学目标.