探寻小学数学建模的有效路径

江苏省扬州市梅岭小学西区校 刘志彪

模型思想是数学思想的重要组成部分，数学建模能力是学生素养的内核。在数学建模教学中，教师要充分发掘学科价值和功能，引导学生进行数学深度学习。

一、原型唤醒，激活学生的经验

数学模型是生活原型在数学中的反映，或者说数学模型是生活原型在数学中的映射。数学模型是生活原型的简化和抽象。在小学数学教学中，教师要通过各种方式如情境创设、故事讲解等来唤醒生活原型，从而激活学生经验，为学生数学建模做准备。“原型唤醒”有助于学生洞悉、洞察、感悟数学问题与现实问题的关联，有助于学生将现实问题抽象成数学问题并进行解释、应用。

教学苏教版三年级上册的《一一对应》这一部分内容时，教师就可以出示一些生活化的场景图，唤醒学生内在的生活表象，激发学生数学思考的兴趣，调动学生数学探究的积极性，如一根一根的电线杆与一段一段的电线、防盗窗上的钢管和间隙等。这些学生生活中司空见惯的图景、图像的再现，较之于教材中人为设置的理想化的兔子蘑菇一一间隔排列情境更具自然性、更有说服力。在教学中，教师不仅可以创设静态的生活化情境，而且可以创设动态化的生活情境。通过生活原型唤醒、激活学生的经验之后，教师引导学生观察物体的排列规律，并尽可能地用数学语言来描述。在此基础上，引导学生思考并进行操作探究：两端物体相同时，物体的排列有怎样的规律，为什么有这样的规律？两端物体不同时，物体的排列又有着怎样的规律，为什么有这样的规律？当数学教学能唤醒生活原型，激活学生的经验之后，就能拉近新知与学生已有知识的距离，让学生的生活经验与数学新知无缝对接，让数学新知在学生已有知识经验基础之上生长开来，进而促进学生更好地进行有效的数学探究，让学生更好地理解相关的数学知识。

生活是数学知识的源头活水，也是学生数学学习的重要支撑。在数学教学中，教师要善于从学生的经验中选取生活化的资源、素材，为学生的数学学习服务。数学教学中的“善假于物”不仅是一门科学，更是一门艺术。唤醒学生的生活经验，能为学生数学思考、探究奠定坚实的基础。

二、活动内化，应用学生的经验

瑞士教育心理学家皮亚杰认为，一切真知都应该由学生自己获得，或者由学生发明出来、发现出来。在小学数学教学中，教师要引导学生感知、体验情境，运用学生的已有知识经验、生活经验等，助推学生开展数学化的活动。通过活动，让学生的旧知同化或者顺应新知，从而让新旧知识进行整合、重组，帮助学生建构数学新知。在这个过程中，学生积极、主动地猜想、验证、交流、抽象、概括等。

以苏教版数学六年级下册《面积的变化》这一部分内容的教学为例，这一部分内容是学生在已经学习了图形的放大和缩小的基础上展开的。这个时候，学生已经认识到图形的放大或缩小大小变化而形状不变，并且图形中的每一条边放大或缩小的倍数是相同的。在此基础上，教师引导学生基于自己的已有知识经验猜想：图形的面积是怎样变化的？在学生猜想的基础上，教师引导学生分小组展开验证活动，有小组探究长方形扩大或缩小后的面积变化情况，有小组探究三角形扩大或缩小后的面积变化情况，还有小组探究平行四边形、梯形等图形扩大或缩小后的面积变化情况。在活动的过程中，有学生从图形放大两倍、三倍等计算开始，通过观察、对比、思考，得出了这样的数学结论，即“图形放大或缩小n倍，相应的面积就扩大或缩小n2倍”，由此建构了这样的数学模型：放大后的图形与原来图形的边长比是n:1，则面积比是n2：1。在数学建模的过程中，学生举一反三、触类旁通，不仅充分经历了行为操作过程（画图、测量等），而且充分经历了思维“操作”过程（猜想、验证、类推、分析和概括）等。

数学模型建构的活动，让学生的生活经验条理化、结构化、有序化、显现化、数学化。在数学模型建构活动中，教师要调动学生的数学直觉，催生学生的数学想象，让学生充分运用自我的知识经验、学习经验等进行验证。在这个过程中，不仅可以丰富学生的数学基本活动经验，而且能深化学生对数学思想方法、学习方法的感悟、认知。

三、方法渗透，丰富学生的经验

数学建模有诸多建模方法，同时，数学模型也蕴含着一定的建模思想。在小学数学教学中，教师要有意识地渗透方法，比如数据分析法建模、仿真法建模、因子试验法建模、数理分析法建模等。渗透数学建模方法，能丰富学生的建模经验，引导学生有效建模。正如瑞士教育心理学家皮亚杰认为，儿童是在与环境的相互作用中发展认知结构的。互动，能催生学生的建模方法。

例如：教学苏教版数学五年级上册《解决问题的策略——列举》，教师就要有意识地渗透诸种建模方法，比如“分类列举的方法”“有序列举的方法”等。如在教学中，笔者曾经遇到这样的一道习题：学校在六年级举行足球比赛，六年级有18个班级，如果采用“循环赛”（每两个队之间都要比赛一场）的比赛形式，那么一共需要进行多少场比赛？教学中，笔者首先引导学生对问题进行数学化抽象，即将六年级每一个班看成一个点，将六年级每两个班级之间的一次比赛用一条线段联结，这样就将现实的、复杂性的问题转化为在18个点之间连线，再判断一共可以连线多少条。这是一种抽象化方法的渗透。在此基础上，笔者引导学生“退下来”，从研究2个队比赛、3个队、4个队比赛开始，逐步概括、总结出18个点之间每两个点都要连线的问题，这是“退下来”建模的一种方法。不仅如此，笔者还引导学生思考：在某一次宴会上，18位代表每两个人之间都需要握一次手，一共需要握多少次手？此外，笔者还将问题变形，如第一轮先进行循环赛，第二轮进行淘汰赛，等等。通过渗透比较的方法，让学生在建模中感悟列举策略的要义。

法国著名数学家笛卡尔曾经这样说，最优价值的知识是关于方法的知识。数学建模教学，教师必须有意识地渗透、融入数学思想方法。只有这样，学生才不仅具有建模的意识，而且具有建模的能力。当学生经历了数学建模的过程之后，必然能感悟、体验到数学模型的意义和价值。

四、迁移应用，拓展学生的经验

数学模型的建构是一个从感性到理性的过程。数学模型的建构不是学生数学学习的终极目标，引导学生对数学模型进行解释、迁移和应用，才是数学教学的根本。应该说，学生的数学核心素养不仅仅体现在数学模型的建构过程中，更体现在数学模型的实践应用之中。当遇到相关的复杂性的问题时，学生能主动调用、激活自我的内在数学模型，并能应用模型解决问题，才是学生数学学习的应然追求、根本所在。作为教师，可以引导学生逐步从对数学模型的简单应用过渡到数学模型的灵活应用。通过数学模型的迁移、应用，扩充、丰盈学生的数学活动经验。

例如：教学苏教版数学五年级下册《梯形的面积》时，笔者引导学生将“平行四边形的面积”“三角形的面积”与“梯形的面积”进行比较，从而抽象、提炼、概括出梯形面积的数学计算模型，让学生深刻理解到“平行四边形可以看成是上下底相等的梯形”“三角形可以看成是上底为0的梯形”等。这个比较的过程，不仅仅是多边形面积计算比较的过程，更是梯形的面积计算模型的迁移、推广过程。在随后的应用中，笔者不仅出示了学生生活中的多样化素材并引导计算面积，如计算滑翔机模型尾翼的面积，计算水渠的横截面的面积以及拦水坝的横截面的面积等；而且引导学生解决变形的梯形面积，如让学生计算一堆钢管的根数。这就需要学生进行联想、想象，将一堆钢管最上面一层的根数看成是梯形上底的长度，将一堆钢管最下面一层的根数看成是梯形下底的长度，从而将计算一堆钢管的总根数看成是计算梯形的面积。这样的问题，需要学生对梯形面积公式有深刻的感悟，并能对梯形的面积公式进行灵活的应用。通过这样丰富性的素材，能让学生深刻感悟梯形的面积公式，并能丰富学生的数学基本活动经验。

数学模型的应用是模型建构的重要环节。在数学模型的迁移、应用过程中，教师要帮助学生感悟模型，体会数学模型的本质。借助于学生自我建构的数学模型，学生能从解决一个问题拓展、延伸到解决另一个问题，进而拓展、延伸到解决一类问题。只有通过对数学模型的积极迁移、应用，才能让学生对数学模型有着更为本质、更为深刻、更为全面的理解。