小学生数学基本活动经验积累的六个环节

赵瑞生

摘 要 唯有积累数学基本活动经验，才会形成高质量的“四基”教学。一次完整的数学基本活动经验的积累过程，可以按照激活经验、获取经验、外化经验、内化经验、反思经验、应用经验这六个环节依次展开，这是小学生积累数学基本活动经验的有效路径。

关键词 小学生 数学 基本活动经验

《义务教育数学课程标准（2011版）》明确提出“四基”，要求掌握基础知识，训练基本技能，积累基本活动经验，感悟数学基本思想。数学基本活动经验是其它“三基”形成的源泉;其它“三基”呈现的是形式化、理性、关于结果的知识，而数学基本活动经验呈现的是情境化、感性、关于过程的知识。虽然它们各自强调了数学知识的不同侧面，但只有两者的有机融合才能形成完整的数学知识结构。因此，只有积累数学基本活动经验，才会形成高质量的“四基”教学。

数学基本活动经验是针对学习目标，学生在亲自“做数学”的过程中获得的直接经验。这样的经验具有知识性、动作技能性、情绪体验性和观念性等成分[1]（本文侧重于知识性成分的形成），具有鲜明的个性特征，体现出学生对数学的真实理解。一次完整的数学基本活动经验的积累过程，按照激活经验、获取经验、外化经验、内化经验、反思经验、应用经验这六个环节依次展开。

一、激活经验

激活经验是针对新知识，创设情境，运用提问、激趣、操作等手段，从学生熟悉的事例或经历入手，唤醒学生储备的已有经验。学生的数学学习，是在特定的情境中主动运用已有的知识和经验，尝试建构新意义的过程。学生在生活中已经积累一些经验，但这些经验由于没有和数学学习目标、数学思维联系起来，因而称之为生活经验。但是，这些经验对学生学习数学知识又是不可或缺的。教学中，教师设计情境，相机唤醒，这样的经验便成为学生理解新知的基础。教学“分数的初步认识”时，要唤醒学生平均分的经验。如把一个苹果平均分给两个同学，每人分得多少个？学生联系日常生活中分东西的经验，自然得出每人分得“半个”。学生心中的“半个”究竟是等分后的半个，还是大半个、小半个，教师并不清楚。于是，安排学生讨论。当学生认为“半个”应该是等分后的“半个”，意味着学生平均分的经验已被激活。

事实上，只有激活已有经验，并和新知充分融合，产生新的经验，学生才有可能理解或掌握新知。“教师如果要开展深层次的数学教学，不仅要激发学生的自信与主动，还要整合学生的实践知识和已有经验。”[2]因此，数学学习要想方设法找准新知的“起点”，并运用恰当的方法予以激活。

二、获取经验

获取经验是指学生在亲自“做数学”中获得的直接经验。教师要给学生提供充分从事数学活动的机会，帮助学生在自主探索和合作交流中获得广泛的数学活动经验[3]。学生在亲身经历的数学活动中的感受、体验、领悟等经验，对知识的理解和素养的形成具有决定性作用。有效的数学活动，首先，要有明确的学习目标。比如用纸折圆，可以是手工操作、艺术欣赏，也可以是数学活动。如果以体验、感悟圆的特征为目标设计活动，这样的活动就是数学活动。其次，必须提供足够的时间和空间，为人人参与提供保障。因此，教师要提供足够的时间和空间，让每位学生尽可能经历完整的数学活动并获取属于自己的直接经验。最后，活动设计要有“挑战性”。既要考虑学生的兴趣、需求，还要“跳一跳，摘果子”，让学生经过意志努力，独立思考才能获得。

“经验不仅是指尝试的过程，还指承受尝试的结果。”[4]学生由于解决问题的需要而对活动对象主动地进行观察、操作、猜想、推理等行为，就是在经历数学活动过程。经验是经历活动“过程”后的“结果”;离开活动“过程”不存在所谓的“经验”。“正在做的事情、动作和感受的密切关系形成我们所谓的经验。”[5]活动中，学生能获取和已有经验能形成合理的、有本质联系的直接经验，但这时的经验还不严格，抑或错误，含有主观、片面的非本质因素。

三、外化经验

外化经验是指把具有个性特征的个人经验在交流中不断改进、完善。学生亲自“做数学”，会尝试用自己的方式表达对数学的理解，因而获取的经验具有个人意义。这是一个“个人建构”的过程。一个班级的学生来自不同的家庭，有不同的禀赋，生活阅历也各不相同，感悟、体验数学的水平并不完全一致。因此，在同样的活动中，学生获得的经验会有较大的差异。就某一次具体数学活动而言，可能有人获得的经验较为清晰，有人则模糊不清;有人获得的经验较为丰富，有人则贫乏;有人获得的经驗比较全面，有人则片面;有的能获取经验的本质，有的则是表面现象等等。要把个人建构的经验转化成数学基本活动经验，克服个人经验的局限性，需要经历社会建构的过程。社会建构主义认为认识不是纯粹的个人行为，而是不同个体之间表达、交流、质疑、反思，不断改进提高的过程。如教学“列表的策略”，要求学生整理例题的条件。有的学生只是把题目中的条件原封不动再抄一遍;有的学生在抄的过程中分成了三行，桃树、杏树、梨树各占一行;还有的学生先按照树的种类进行分类，再列表，然后摘抄每种树每行几棵，有几行。在交流环节，大家发现先分类，再列表，然后摘抄比较好，方便审题、分析数量关系、列式计算和验算。进一步交流，学生还发现，列表策略的关键在分类，至于表格线可画可不画，只要排列整齐就行;还可以根据问题来列表，无关的条件不用摘抄。

从上例可以看出，学生的改进不能单纯依靠正面示范和反复练习，而需要自我否定，以内在的观念冲突为必要前提。在小组合作、同伴交流中，学生不同观点之间充分交流、比较，个体经历内在的思考、辨析以及教师适时的点拨、引导，浅层的生活经验转为理性的学科经验，模糊的经验逐渐清晰，片面、有缺陷的经验也趋于完善，学生各自积累的直接经验上升为更有价值的数学基本活动经验。

四、内化经验

内化经验是指无需意志努力，能把外化的、比较合理的活动经验转化为内在的心理操作。学生对亲历数学活动获得的经验进行交流、反思，形成了比较“有条理”的数学基本活动经验，但此时“有条理”的经验仅仅是相对于所进行的具体活动的“条理性”的“总结”。经验具有内隐性。在一次活动中获得的经验，学生有时很难自知和表达，如果再进行两三次类似的数学活动，经历把经验运用于新的情境。那么，经验由于多次“重复”，学生会熟悉运用的程序，此时学生关注的不再是第一步做什么，接下来做什么，而是进入“自动化”阶段，由前一个程序自动进入后一个程序。如教学“长方形的面积”。经历“说出每个长方形的面积是多少平方厘米”（每个图形里画出面积单位）和“自己计算长5厘米、宽3厘米的长方形面积”两个环节，此时，教师不要急于抽象概括长方形的面积公式，可以引导学生再次尝试计算长8分米，宽6分米和长30米，宽12米的长方形面积。

对这两个长方形面积的再次推想，“长方形长是几，每排就摆几个”“宽是几，就摆几排”的经验将进一步凸显，这样的经验不断适应新的情境，运用的范围渐次扩大。经历多次的交流与反思，此时的经验和第一次相比，更有条理、更具客观、更能反映数学活动的本质。已从最初的和情境、实物、感觉等混合在一起，逐渐转为一些有联系的心智图像、表象，以及能独立加工的符号等。这时，经验中的数学特性会和具体的情境、细节分离，形成稳定的、可以外显的、表达的内容。面对不同的问题情境，学生可以尝试运用经验来解决问题。虽然情境不同，但每次活动内在的本质相同，因而学生可以娴熟运用。

五、反思经验

反思经验是以获得的数学基本活动经验为思考对象，从中抽象概括出数学知识或规律。数学基本活动经验是感性经验，不会自动成为数学基础知识。如果要把感性经验变成理性的数学基础知识，关键在于反思。通常情况下，我们是把外界的事物或过程作为思考对象，而反思的对象恰恰是我们自己的思考过程，也就是自己要从活动中“脱身”，作为一个旁观者，思考刚刚开展的活动。此时，已经被“内化”的数学基本活动经验正是开展反思的绝好素材。要反思，就需要问题引领。通过对问题的思考，抽取经验的数学本质。如教学“长方形的面积”，可以设计诸如“长方形的面积跟什么有关系？”“长方形的面积与长和宽有什么关系？”等问题。反思中，学生发现长方形的面积与它的长和宽有关系：如果宽不变，长变长，面积就变大;如果长不变，宽变长，面积也变大;如果长和宽同时变长，面积变得更大。长方形的面积跟它包含有多少个面积单位有关，可以用每排的个数×有几排，而每排的个数等于长，有几排等于宽，所以长方形面积=长×宽。

反思的目的是把已经“内化”的、能够进行心理操作的数学基本活动经验抽象概括为数学基础知识。学生反思的过程，实际是数学知识的抽象概括过程。在反思前，需要学习和理解知识的本质内容。而一旦理解了知识的本质，就可以用概念、公式或规律等把经验表征出来。

六、应用经验

应用经验指应用新知解决实际问题。人们的正确认识，总要经历由实践到认识、由认识到实践的多次反复。学生理解数学知识不可能一次性完成。需要在初步理解的基础上，经过多次练习才能掌握，因此要精心设计多层次的练习。

经验具有连续性。如果将经验看成一根链条，由已有经验可以生出新的经验。如果以新的经验为基础，还将生出新的经验。如此循環往复，经验的链条将不断向前延伸。如果择机把经验抽象概括为数学知识，那么，知识也将不断得到发展。应用经验还需要把前后获得的经验连贯起来，既能纵向发展，又能横向联系。比如，学生最初对乘法的认识，是“几个几相加”。随着学习的深入，会逐渐把作为“相同加数”和的等量组聚集模型发展为矩形模型、映射模型、倍数模型等[6]，乘法的概念结构逐渐向纵深发展。当学生能把经验自如地运用在看似毫无关联的情境中，表明学生已能把握不同知识的内在联系，自身的经验运用愈臻完善。

上述六个环节是一个整体，依次而行。前一环节为后一环节提供基础，后一环节是前一环节的发展。但六环节之间的顺序不是固定不变的，可以根据教学内容、班级学生的具体情况灵活应用。比如激活经验与获取经验两个环节有时可以合二为一，直接让学生“做”，在“做”中激活，不用设计一个专门的环节。至于外化经验、内化经验、反思经验这三个环节也不能完全割裂，它们经常交织在一起，外化中蕴含内化和反思，反思中有内化。数学知识作为人类思维的产物，并不容易被理解和掌握。如果遵循学生学习数学的规律，和学生的已有经验建立联系，精心设计数学活动，经历经验的激活、获取、外化、内化、反思、应用的过程，不仅能有效地改变学习方式，积累数学基本活动经验，还能发展数学思维，培养学生数学学科的核心素养。

参考文献

[1] 仲秀英.学生数学活动经验的内涵探究[J].课程·教材·教法，2010，30（10）：52-56+80.

[2] PAULUS GERDES.On culture and mathematics teacher e-ducation[J].Journal of Mathematics Teacher Education，1998（01）：33-53.

[3] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[4] 杜威.民主主义与教育[M].王承绪，译. 北京：人民教育出版社，2005：153.

[5] 杜威.哲学的改造[M].许崇清，译. 北京：商务印书馆，2002：46.

[6] 刘加霞.作为“模型”的乘法——对数学概念多元表征的思考[J].小学教学：数学版，2008（10）：46-48.

[责任编辑：陈国庆]