马尔科夫链驱动的带停时的超前倒向随机微分方程的适应解
2021-11-30李志民张雪峰
陈 威，李志民，张雪峰
(安徽工程大学 数理与金融学院，安徽 芜湖 241000)
Pardoux等首次提出了倒向随机微分方程(BSDEs)的概念，其形式如下:
-dY
=g
(t
，Y
，Z
)dt
-Z
dW
，t
∈[0，T
]。Cohen等在此基础上考虑马尔科夫链驱动的BSDEs，证明其适应解的存在唯一性。肖新玲等利用连续性方法研究由马尔科夫链驱动的BSDEs关于初值的比较定理。随后，肖新玲通过迭代法证明了由马尔科夫链驱动的BSDEs解的存在唯一性。Peng等考虑生成元中包含当前和未来时刻解的情况，给出超前倒向随机微分方程(超前BSDEs)的概念，其形式如下:
α
(·):[0，T
]→R
与β
(·):[0，T
]→R
是满足下面条件的连续函数：(1)存在某一常数K
≥0，使得对任何t
∈[0，T
]，t
+α
(t
)≤T
+K
，t
+β
(t
)≤T
+K
。(2)存在某一常数C
≥0，使得对任何t
∈[0，T
]以及非负可积函数f
(·)，
随后，杨哲对其理论做出进一步研究。Lu Wen等在以上工作的启发下，提出如下形式的由马尔科夫链驱动的超前BSDE：
α
(·):[0，T
]→R
与β
(·):[0，T
]→R
是满足假设(1)和(2)的连续函数。由于由马尔科夫链驱动的超前BSDEs的生成元包含当前和未来的解,且有限停时在期权定价中有着至关重要的作用，因此，带有停时的超前BSDEs在金融市场中具有非常广阔的应用前景。吕思宇研究了马尔科夫链驱动的超前BSDEs在金融中的应用。陈增敬考虑终端条件为有限停时，讨论了一类BSDEs在随机区间上解的存在性与唯一性。司徒荣等考虑终端条件为无界停时，讨论了一类BSDEs在随机区间上解的存在性与唯一性。Yang等在超前BSDEs生成元不含Z的超前项这一假设下，讨论了一类带有停时的超前BSDEs解的存在性与唯一性，并得到了一个关于解的逆比较定理。文献[6]考虑由马尔科夫链驱动的超前BSDEs解的存在唯一性。文献[11]在固定时间区间上考虑超前BSDEs生成元中不含Z的超前项。研究在此基础上引发一个猜想：生成元中包含Z的超前项的由马尔科夫链驱动的超前BSDEs在有限随机区间上是否存在唯一解，答案是肯定的。研究尝试通过有限随机区间上的由马尔科夫链驱动的超前BSDEs来解决这个问题，其生成元中包含Z的超前项。研究证明由马尔科夫链驱动的带有停时的超前BSDEs存在唯一适应解。
1 预备知识
设T
∈[0，∞]，X
={(X
)≥0}是连续时间有限状态马尔科夫链。马尔科夫链的状态空间可以用R
中的单位向量表示为S
={e
，e
，…，e
}，其中N
是马尔科夫链上的状态数。(Ω
，F
，P
)是T
上的完备概率空间，(M
)≥0是定义在该空间上与马尔科夫链{(X
)≥0}有关的平方可积鞅，(F
)≥0是由(X
)≥0生成的σ
域流。对任意的z
∈R
，‖z
‖为欧式范数。设Q
为马尔科夫链X
在时刻t
的速率矩阵，定义数量关系如下：
A
表示A
的转置。定义空间如下：
L
(Ω
，F
，P
)={ξ
；ξ
是R
值，F
是可测的，E
[‖ξ
‖]<∞}。
t
∈[0，T
]，定义
Y
，Z
)∈B
，考虑Y
、Z
的范数：
Y
，Z
)的范数：
B
是一个Banach空间。设有限停时τ
<+∞，考虑下面由马尔科夫链驱动的带停时的超前BSDE：
(1)
式中，α
(·):[0，τ
]→R
与β
(·):[0，τ
]→R
是满足下面条件的连续函数：(1)存在某一常数K
≥0，使得对任何t
∈[0，τ
]，(t
+α
(t
))-≤τ
+K
，(t
+β
(t
))-≤τ
+K
。(2)存在某一常数C
≥0，使得对任何t
∈[0，τ
]以及非负可积函数f
(·)，
2 解的存在唯一性
考虑由马尔科夫链驱动的带有停时的超前BSDEs。假设由马尔科夫链驱动的带停时的超前BSDEs的生成元满足Lipschitz条件，通过Doob鞅不等式以及不动点定理，证明由马尔科夫过程驱动的带有停时的超前BSDEs适应解的存在唯一性。
证明
首先，对给定的常数C
，假设
由假设条件(3)可得
(2)
由Doob鞅不等式可知
E
[sup
∈[0，](E
‖y
(+())-‖)]≤E
[sup
∈[0，](E
(sup
∈[0，+]‖y
-‖))]≤4E
[sup
∈[0，+]‖y
-‖]。(3)
将式(3)代入式(2)可得
(4)
设
(5)
定义l
:B
→B
是由式(2)、式(3)构造的映射，则l
:(y
，z
)→(Y
，Z
)。(6)
设
(7)
由杜布鞅不等式和假设条件(3)可得
由
可知
l
:B
→B
是压缩映射。由不动点定理可知超前BSDE(式(1))存在唯一解。由假设条件(7)可知
L
使得
设
(8)
式中，
设
t
∈[0，τ
]，
因此，
