在游戏中完成公倍数概念的建模

方芳

[摘 要]“建模”其实就是一种“数学化”途径，其本质是将数学知识进行模型化处理。文章以“公倍数和最小公倍数”展示课为例，展示教师通过引导学生“建模”探索“尾巴再接”的秘密：求出两个正多边形边数的公倍数。教学中，情境、问题与概念三位一体，使得学生有效储存了最小公倍数的模型编码。

[关键词]数学建模;公倍数;游戏

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）32-0051-02

“公倍数和最小公倍数”的数学模型到底是什么样子呢？全国第十一届小学数学展示课广东省选送的“公倍数和最小公倍数”一课为我们呈现了精彩的答案。该展示课通过探索“尾巴再接”的秘密，把一堂数学课上得有声有色，令人叹为观止。现分享其中的精彩片段，以飨读者。

一、初次游戏，感到有难度

【教学片段1】

师：今天，咱们一起玩一个游戏好吗？请看这个图形（如图1-1左侧部分），它是一个标准的正六边形。而这个图形（如图1-1右侧部分）从某种意义上可以看成一个正四边形。两个图形拼接起来是一只淘气的松鼠！接下来我们要玩的游戏就是移动这两个图形。

师：固定正六边形，让正四边形绕正六边形定向旋转，可以明显看到在正四边形旋轉的过程中，松鼠的尾巴——

生（齐）：断开了！（如图1-2）

师：从开始旋转那一刻起，正四边形转动几下，松鼠的尾巴又能回位？到底需要转动几次？从何判断？

师：这样吧，老师来模拟转动，你们跟着节奏一下一下地数！

（教师转动图片，学生跟着转动的节奏点计数）

师（转动到第6下时突然停顿）：尾巴回位了吗？

（没有得到学生肯定的回答，教师继续转动图片，学生继续跟着教师转动的节奏计数。当教师转到第12下时，学生惊奇地发现松鼠的尾巴回位了。）

师：如果继续往下转动正四边形，旋转到第几下时松鼠的尾巴可以重新回位？（24下！）如果继续不停地往下旋转呢？（36下！）如果继续往下推演，尾巴可以接回多少次？这个有趣的续接尾巴的游戏就叫作“尾巴再植术”。

这节课的游戏导入别具一格，它并非简单粗暴地将数学知识编入游戏活动中，把游戏当成一种诱饵，一旦学生入局，马上停止游戏，直奔数学知识的学习。而是通过设置悬念“‘尾巴再植术游戏与‘公倍数和最小公倍数有什么关联呢？”吊足学生的胃口，激发他们的探究欲。游戏情节，既脱胎于现实情境，又超脱于现实情境，看似低幼实则蕴含玄机，答案看似近在眼前却又云遮雾绕，这种近在咫尺却又触不可及的感觉深深“诱惑”着学生不断探究下去。

二、再次游戏，转向数学

【教学片段2】

师：如果重玩一次，你们有必胜的把握吗？请看电子屏幕（如图2），这一回难度升级了，不仅动物变了，多边形外框也变了，这回是几边形和几边形？（八边形和五边形）这次，需要转动几下，尾巴才能回位？老师来模拟旋转，你们跟着老师的节奏计数。

师：谁运气好猜中了？掌声鼓励！

师：我再提供一些类似的多边形组合（出示“五边形+四边形”“八边形+四边形”的组合，如图3），你们自行组队，按照前面的玩法，先猜测结果，再手动旋转，最后利用数据制表。下面请大家小组合作来玩这个游戏。

首次玩这个游戏，学生大都感到新奇，只是因为贪玩;第二次玩这个游戏，教师提出了附加条件和游戏任务，要求学生在游戏中注意并回答：“哪里变了？更重要的是哪些因素变了？”看似轻描淡写的无心一问，实则是精心设计，悄无声息地将学生的注意力从玩耍中转移到数学思考：从两个多边形边数来分析，第一次时两个边数6和4为一对非互质数，第二次时两个边数8和5为互质关系;从尾巴回位所需的最低转动次数看，第一次次数少，第二次次数多;从操作形式看，第一次属于手动操作，第二次属于模拟操作。学生从前两次游戏活动中获得的经验是间接的，但是这个过程不可忽略，学生没有这个间接经验就没有接着去猜想、验证的动机和基础。学生一边操作、一边记录数据、一边前后对比和推理反思，随着游戏的深入，他们会逐渐意识到，事情没有表面看到的那么简单，背后另有玄机。两组多边形的边数也是精心设计的，一组互质，另一组互为因倍数，有利于学生对比辨析并从异同点中总结出规律。

三、建立模型，初步归纳

【教学片段3】

师：刚才，我们一共玩了三次续接尾巴的游戏，第一次，猜对的人屈指可数;第二次，猜对的人接二连三;第三次，猜对的人如雨后春笋。你们是不是掌握了什么诀窍？断尾后首次再接成功所需的次数与什么有关？这个关系究竟是什么？先请大家小组讨论，然后展示汇报。

生1：两个多边形的边数相乘的积，就是首次续尾成功的次数。

师：请举例说明。

生1：比如说四边形和六边形，因为4乘6等于24，所以最低限度转动24下就能续接断尾。又如正五边形和正八边形，因为5乘8等于40，所以续接尾巴成功的最低次数是40。同理，四八三十二、四五二十，32和20也都是相应的最低次数。

师：其他小组有何异议？

生2：他们的发现有一定的道理，但是不够周密，所得乘积数不一定是尾巴首次回位所需的最低转动次数，比如“四六二十四”的24就不是最低次数，最低次数应是12，而24是第二次尾巴回位的次数。

师：虽然两个图形的边数所构成的乘积必定是断尾回位的次数，但是不一定是最低次数，一些其他非边数乘积的次数，也能实现尾巴回位。

生3：尾巴回位的转动次数，既是图1-1左侧图形边数的倍数，又是图1-2右侧图形边数的倍数。

师：你能结合具体数据详细说明吗？

生3：比如说12、24、36都是能够实现断尾回位的次数，这三个数都同时是6和4的倍数。

师：其他组有什么意见？

生4：结论一样，40、80、120都同时是8和5的倍数。

师：其他小组有无异议？（没人反对）那好！一致全票通过！

课堂上教师以退为进，充分信赖学生，学生步步深入，思维得到了极大的发散。学习其实是一个学生重构个性化经验认知的过程，在经验积累越来越多时，学生就会迫切需要分享自己的新发现，以实现自我价值，得到集体认同。相同的游戏活动，不同的学生收获不一样。在个性化的表述中，学生的思维是率真质朴的，尽管粗糙，但很真实。交流时学生激烈争辩，真理越辩越明，规律慢慢浮出水面。课堂上学生个个心细如发，思考的过程被完整地展示出来。

四、完善模型，概念出炉

师：经过刚才的交流汇报，我们归纳出断尾再续的秘诀是两个正多边形边数的公倍数，断尾首次回位所需的转动次数就是它们的最小公倍数。如果再次玩这个游戏，你们有必胜的信心吗？例如正八边形和正六边形（如图4），要推算出尾巴回位时，正六边形转动的最低次数，实际上就是求8和6的——

生1：最小公倍數！（24）

师：你能用文字详细描述这个结论吗？

生1：先分别找出6的若干个倍数和8的若干个倍数，再找出它们的交集。

师：生1是先写出6的一些倍数，再写出8的一些倍数，然后找出它们的共同倍数。刚才老师巡视时，发现其他做法，你们帮忙鉴别一下。（屏幕演示，略）

生2：6的一倍不是8的倍数，6的二倍不是8的倍数，6的三倍18不是8的倍数，6的四倍24是8的倍数。

师：他的做法其实就是先列举出6的一些倍数，再来逐个鉴别是不是8的倍数。能听明白吗？

生3：能。

师：你们还有其他意见吗？

生4：这种做法其实就是在6的所有倍数集合中检索8的倍数。我觉得在这里8大一些，应该反过来用8的倍数来测试更科学，这样测试的次数少一些。

在小学阶段，“建模”其实就是一种“数学化”途径，其本质就是将数学知识进行模型化处理。本文中，教师引导学生“建模”，步步诱导学生发现断尾回位的秘诀：求出两个正多边形边数的公倍数。当学生的活动经验极大丰富，思维趋于成熟时，教师就将新知做抽象化处理，使其“数学化”。最后，情境、问题与概念三位一体，只要提到公倍数，“断尾续接”的情境马上浮现于脑海，可见学生已经储存了最小公倍数的模型编码。

（责编 黄春香）