相似三角形面积比的两个应用

于宗英

相似三角形在中考中占有重要的地位，其性质与判定在解题中有着广泛的应用.其中，“相似三角形的面积比等于相似比的平方”在计算图形的面积、求线段的大小等问题中往往有事半功倍的效果，下面举例介绍.

一、求反比例函数的系数k

例1（2020·贵州·遵义）如图1，△ABO的顶点A在函数[y=kx]（[x>0]）的图象上，∠ABO = 90°，过AO边的三等分点M，N分别作x轴的平行线交AB于点P，Q. 若四边形MNQP的面积为3，则k等于（ ）.

A. 9 B. 12 C. 15 D. 18

分析：易证[△ANQ∽△AMP∽△AOB]，由相似三角形的面积比等于相似比的平方可求出[△ANQ]的面积，进而可求出[△AOB]的面积，则[k]的值也可求出.

解：∵[NQ][⫽][MP][⫽][OB]，∴△[ANQ∽△AMP∽△AOB]，

∵[M]，[N]是[OA]的三等分点，[∴][ANAM=12]，[ANAO=13]，[∴][S△ANQS△AMP=14]，

∵四边形[MNQP]的面积为3，[∴][S△ANQ3+S△ANQ=14]，∴[S△ANQ=1]，

[∵][1S△AOB=ANAO2=19]，[∴S△AOB=9]，[∴k=2S△AOB=18]，

故选D.

点评：根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”，求出S△ANQ = 1是解题的关键.

二、证明线段相等

例2 如图2，在[△ABC]中，点[D]为边[BC]上一点，且[AD=AB]，[AE⊥BC]，垂足为点[E]. 过点[D]作[DF][⫽][AB]，交边[AC]于点[F]，连接[EF]，[EF2=12BD·EC].

（1）求证：[△EDF∽△EFC];

（2）若[S△EDFS△ADC=14]，求证：[AB=BD].

分析：（1）利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明;

（2）由[△EDF∽△ADC]，推出[S△EDFS△ADC=EDAD2=14]，推出[ED=12AD]，由此即可解决问题.

解：（1）证明：∵[AB=AD]，[AE⊥BC]，∴[BE=ED=12DB]，

∵[EF2=12BD·EC]，∴[EF2=ED·EC]，即[EFEC=EDEF]，

又∵[∠FED=∠CEF]，∴[△EDF∽△EFC].

（2）[∵AB=AD]，∴[∠B=∠ADB]，

又[∵DF][⫽][AB]，∴[∠FDC=∠B]，

∴[∠ADB=∠FDC]，

∴[∠ADB+∠ADF=∠FDC+∠ADF]，即[∠EDF=∠ADC]，

∵[△EDF∽△EFC]，[∴∠EFD=∠C]，

∴[△EDF∽△ADC]，[∴][S△EDFS△ADC=EDAD2=14]，

[∴][EDAD=12]，即[ED=12AD]，

又∵[ED=BE=12BD]，[∴BD=AD]，

[∴][AB=BD].

点评：解决第（2）問的关键是由相似三角形的面积比等于相似比的平方，得到ED = [12]AD，进而通过等量代换得到AB = BD.

能力提升

如图3①，[△A1B1C1]中，[P1]，[Q1]分别是[A1B1]，[A1C1]上的点，[P1Q1⫽B1C1]，且平分△[A1B1C1]的面积;如图3②，[P1Q1][⫽][P2Q2][⫽][B2C2]，且将△[A2B2C2]的面积三等分;如图3③，[P1Q1][⫽][P2Q2][⫽][P3Q3][⫽][B3C3]，且将△[A3B3C3]的面积四等分，[…][…]如此继续下去，在△[A9B9C9]中，[A9P1B9P9]的值为（ ）.

[A1][P1][Q1][C1][B1] [P1][A2][P2][B2][Q1][Q2][C2] [P1][Q1][P2][Q2][P3][Q3][B3][C3][A3]      […]

①           ②                   ③

图3

A. [3+22] B. [3-22] C. [10+3] D. [10-3]

答案：C