整式乘法中的数学思想

邹兴平

数学思想方法是解决数学问题的金钥匙. 在整式乘法的计算过程中，同学们应注意多种数学思想方法的灵活运用.

一、方程思想

例1 若多项式（x2 + mx + n）（x2 - 3x + 4）展开后不含x3项和x2项. 试求m，n的值.

解析：展开式不含x3项和x2项，说明x3项和x2项的系数都为0，由此列方程组即可.

（x2 + mx + n）（x2 - 3x + 4） = x4 + （m - 3）x3 + （n - 3m + 4）x2 + （4m - 3n）x + 4n，

由展开后不含x3项和x2项，得[m - 3 = 0，n - 3m + 4 = 0，]解得[m = 3，n = 5.]

二、整体思想

例2 已知2a2 + 3a - 6 = 0， 求代数式3a（2a + 1） - （2a + 1）（2a - 1）的值.

解析：化简所求式后，把已知等式变形后整体代入求值即可.

由2a2 + 3a - 6 = 0，得2a2 + 3a = 6，原式 = 6a2 + 3a - 4a2 + 1 = 2a2 + 3a + 1 = 6 + 1 = 7.

三、数形结合思想

例3 如右图，长方形ABCD的面积为 （用含x的代数式表示）.

解析：观察并利用图形中的数量关系，结合长方形面积公式即可解答.

（x + 2）（x + 3） = x2 + 5x + 6.故應填x2 + 5x + 6.

四、特殊与一般相互转化的思想

例4 请你计算：（1 - x）（1 + x），（1 - x）（1 + x + x2），…，猜想（1 - x）（1 + x + x2 + … + xn）的结果是（ ）.

A. 1 - xn + 1 B. 1 + xn + 1 C. 1 - xn D. 1 + xn

解析：利用多项式乘多项式的法则计算已知各项，归纳总结得到一般性规律，即可得到结果.

（1 - x）（1 + x） = 1 - x2，（1 - x）（1 + x + x2） = 1 + x + x2 - x - x2 - x3 = 1 - x3，…，

依此类推（1 - x）（1 + x + x2 + … + xn） = 1 - xn + 1.故应选A.

同类演练

1.先化简（a + b）（a - b） + b（a + 2b） - b2，再求值，其中a = 1，b = - 2.

2.已知3a + 2b = 2，ab = 5，求[23]ab[（3a + 2b）2 + a2b2]的值.

3.若单项式 - xyb + 1与[12]xa - 2y3是同类项，则（a - b）2021等于 .

答案：1. - 1 2. 96[23] 3. 1