数学建模思想在分数教学中的渗透研究——以异分母分数教学为例

孙莉莎 戴 莹

（渤海大学教育科学学院，辽宁 锦州 121013）

小学阶段教师就应该注重数学建模的教学，随着学生年龄的增加、思维的发展、“四基”（基础知识、基本技能、基本活动经验、基本思想）的不断完善，数学模型的建立对于学生去解决实际生活中存在的具体问题尤为重要。

一、问题缘起

20世纪末中国逐渐开始参加国际上组织的数学建模竞赛，先是在大学阶段进行的，数学建模开始走进大学课堂；在2001年课程改革之后，数学建模思想、数学建模活动开始进入中学课堂；直到《义务教育数学课程标准》（2011年版）提出“四基”，数学建模思想被作为基本的思想，越来越多的教师关注到数学建模思想这个新思想，开始在小学的课堂中建构数学模型，培养学生的数学建模思想。随着数学地位的不断提升，许多地区对数学建模产生浓厚兴趣。通过对建模思想的了解，学生能够从实际生活情境中建构数学模型，从而获得建构数学模型的经验，增强学生的数学应用能力，而实际有关小学数学建模思想的研究并不是很多。

教学中教师对建模思想的渗透不明显。数学建模思想是一个长期持续反复的过程，学生在学习时需要一个积累的过程。在教学过程中没有对数学建模思想提出明确的要求，学生对于如何进行数学建模的意识模糊。由于教师在教学中渗透模型思想的经验不足。基于对课堂教学和教学设计的观察，可以看出教师对于数学建模思想在教学中渗透的实际教学经验比较少，还没有养成运用数学建模思想解决数学问题的习惯。教师所创设的问题情境是不易被学生接受的。对于问题情境的创设大多来源于教材的设置，对于学生的实际生活情况考虑较少，因此学生对于这个问题情境的创设缺少共鸣，从而降低学生的学习兴趣。基于以上缘由本研究认为针对建模思想的研究是十分有必要的，并以异分母分数加减法教学为例进行研究。

二、概念界定

（一）数学模型

数学模型可以从广义和狭义两个方面进行解释。从广义上说数学模型包括基本算法和基本概念，数的运算中都存在自己的现实模型，它们分别是从各自相对应的实际背景中抽象而来的。从狭义方面来看，是那些只有反映某一特定的问题或者某些事物的结构才能被称为数学模型［1］。例如元角分的计算模型是小数的运算。

（二）数学建模

数学建模就是把观察的实际生活中的问题转变为一个数学问题，建构出相对应的数学模型，再通过对数学模型的深入探究和解答，使得开始的实际问题得到解决，这样解决实际问题的方法就叫作数学建模［2］。实际上就是将实际生活中的问题加以处理，转化为一个数学问题，构建出数学模型，对建构的模型求解并去验证这个数学模型的合理性，最终解决生活中的问题。

（三）数学建模思想

数学思想应该是数学发展所依赖的思想。它不是在学生所学习时提到的一些思想，更不是在解决难题时所运用的某一数学方法。史宁中教授认为抽象、推理和模型是数学向前发展所依赖的最基础的三个思想。通过真实生活抽象得出的数学概念以及规律，从推理中促进数学发展，最后运用模型建构起联系［3］。

以此来看，小学数学教学中很难发生真正的数学建模。然而当我们换个角度再看，数学建模对学习数学的重要性是非常明显的。郑毓信教授也曾提到过，就数学的早期发展来说，人们主要以观察和实验来获得对真实事物或某种现象的认识。但从如今来看，这些并不能被称为真正意义上的数学知识，实际真实的数学知识应该是抽象的。对于是否可以一次就通过并且没有返回的七座桥问题，并没有被认为是一个真正意义上的数学问题，但是当七座桥的问题被抽象成一笔画问题，根据奇数点和偶数点得到正确的处理时，就形成了实际的数学。

三、数学建模思想在分数教学中的意义

其一，有利于改善分数教学现状。对于小学数学分数教学现状的改善，教师要不断更新教学理念，与新课程改革发展的需求相一致。不断融入新的教学理念和思想，提高学生学习效率。把数学建模思想加进小学阶段的分数教学中，会对改变传统的数学教学方式，丰富教师教学方法，对教学工作的开展进行创新，对以后的数学学习打下了扎实的基础。

其二，符合新课程改革的发展。在分数中进行数学建模思想的教学是对现有教学模式的创新。在新课程改革的不断推动下，对小学数学分数教学也提出了更高的要求，要从不同的方面进行优化，从而强化新课改发展对数学教学的要求，有利于提高分数教学的质量。数学建模思想在教学中的渗透与提高学生的素质要求是相一致的。小学数学分数教学中根据教学内容及要求，以及学生发展的需求，通过数学建模思想的渗透，有利于抽象出数学问题，学生能够采用数学建模思想去解决真实存在的数学问题，提高数学的应用能力。

四、数学建模思想在分数教学中的渗透策略

根据小学生的思维发展特点，小学阶段学生的思维从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡。因此，在小学阶段通过使用数学建模思想来指导教学是非常重要的。从教学实施过程来看一般可以概括为五个步骤，分别为模型准备阶段、模型建立阶段、模型求解阶段、模型验证阶段、模型反馈阶段。

（一）模型准备阶段——初步感知模型

模型准备阶段其实就是最初模型建立的开始，在这个步骤主要就是要求学生对数学模型有一个最初的认识，再去创设一个真实存在的生活情境，通过再现实际生活中的真实感受，来激起学生学习数学的好奇心与求知欲。根据小学生的认知发展以及分数教学单元的抽象，创设一个真实存在的问题情境就显得格外重要。教师课件出示一个小老鼠和哥哥非常喜欢吃奶酪的画面，小老鼠哥哥去搬了二分之一块，小老鼠去搬了四分之一块。提出问题：它们一共搬来几分之几块？

通过一个简短小故事的讲解，帮助学生创设了一个良好的环境，形成一个直观模型，快速把学生带入到分数加减法的运算中，根据以前学过的同分母分数加减法，来对本题进行思考。我们知道异分母分数的加减法应用是非常广泛的，不仅要让学生学会异分母分数加减法的计算方法，还要建立起相应的数学模型。北师大版、苏教版和人教版教材都把异分母分数加减法的课程安排在五年级，学生能够很好地进行数学建模。但如果只是简单地讲解课本，教学内容未免有些浅薄，对于异分母分数加减法是否还含有别的模型呢？可以从三个层面进行关注：首先是教学内容层面，即“异分母分数加减法”这类题型本身的数学结构（异分母分数加减先通分，然后按照同分母分数加减的方法进行计算）。其次是在方法层面的，即一般为“尝试法”的解题思路（通过画图、折纸、转换等方式在某种程度上都是在对结果进行尝试）。最后是在思想层面，即从一个具体的“折纸”的数学问题出发，在经历了一定的数学过程之后，能够根据本题的方法和思路对其他类似问题进行解答。当我们有了这样的了解和认识时，就会主动去引导学生关注教材的编排内容，关注题目类型和结构的运用，用数学的眼光来看待它所存在的价值。一位具有模型眼光的教师，教学内容一定是深刻的。

（二）模型建立阶段——建构数学模型

在建立模型阶段是数学建模以及形成数学建模的关键阶段，建构数学模型的基础是数学思考，同时也是建构数学模型的现实基础，模型的建立是根据实际的生活现象。我们经常利用数学去解决生活中各种各样的问题，都是对现实情境的分析来进行的，它不是凭空产生的，这些模型是科学的并且是真实存在的，不需要学生去再次创造，学生需要根据已有的知识经验去建构数学模型。例如：速度、时间与路程三者之间的关系。这些都是已经被研究好的结果，经过验证的不需要学生再去进行创造，教师只需要对现实情境进行创造，能够让学生体会到模型的意义以及进行数学建模的重要性和必要性。在教学过程中需要创造各种机会让学生自己去发现，能够准确地找出需要解决的问题，主动去建立数量关系从而建构解决问题的数学模型。其实对于小学数学来说，建构模型的过程就是数学化的过程。案例1、当出示两个分母不同的分数时，学生知道两个分数的计数单位是不相同的，所以不能直接进行计算。教师通过一个你们有什么好办法来解开这道题?一个简单的询问，把学生带入到书中提示，知道要把分母转化成同分母，就可以进行计算了。从而形成部分量+部分量=总量的数学模型。案例2、学生先折出这张纸的二分之一，然后对折平均分成四份，表示出四分之一，通过图形可以看出一共是四分之三。采用米字折法也可以得出同样的结论。教师提示我们要充分利用好身边的资源，两位同学虽然在折法上有区别，但相同之处就是——通过折纸和分一分的方法，把二分之一变成了四分之二。折纸的痕迹或者添加的线表示分数单位是一样的。当分数单位相同时就可以按照同分母分数加法进行计算。通过面积模型，来对异分母分数加法内容进行教学。

从上面两个案例中可以看出，两位教师的教学的着力点是不同的。第一位教师主要通过部分量+部分量=总量来对异分母分数加法进行计算。第二位教师对教学内容有充分的讲解与拓展，对数学建模思想在分数教学中有一个初步的渗透，培养学生抽象、转化、举一反三的能力。并且这种训练不是单一、死板地进行，而是根据学生的年龄特征和思维发展水平，符合学生学习数学的特点，从具体形象的教学内容进行，通过具体的实际操作，再通过思维的发散和拓展获得“模型”的意义，发展数学建模思想。

小学阶段的分数学习是呈螺旋上升的，先通过平均分体现分数教学的意义，再进行同分母分数的加减法、到异分母分数加减法以及后面分数的乘除法等，教材的整体编排上形成一个逐层深入的趋势，如何在理解的分数的基本意义和同分母分数加减法之后，学习异分母分数加减法。如何在异分母分数加减法的学习上体现数学建模思想。

（三）模型求解阶段——形成数学模型

模型的求解是在建立模型的这个步骤之后，对于模型求解阶段主要是对构建出的模型进行计算。波利亚在他的解题理论中提到，在数学学习中教师的主要任务是培养学生解决问题的能力。他在怎样解题中提出了四大解题步骤：从弄清问题到拟订计划、再去实现计划最后回顾。首先我们要对所要解决的问题有一个充分的了解，从中我们可以获取哪些数学信息，也就是对现实问题进行表征的过程；其次拟订计划，在对问题有了一定的了解后就是寻找解决问题的方法，找出原有知识与新知识之间的联系。再次是实现计划，但我们有了解题思路，就可以按照事先计划好的来解决问题；最后一步就是回顾，也就是当这个问题得到解决后，我们要去验证结果是否正确，或者是否还可以有其他方法进行数学建模。

当学生建构出数学模型时，是将现实情境抽象成数学问题，这个数学问题被具体化了，这时现实情境中存在的问题还没有得到解决。只有对建立的模型进行求解，才是解决问题。构建正确的数学模型只是问题的第一不，作为问题的起点而不是终点，我们建构的所有模型都是为了去解决存在的问题，通过所学的知识与方法，对知识进行迁移与运用，培养学生的数学建模思想，这才是构建数学模型的目的。通过对1/2+1/4结果的猜测，从估一估的角度判断结果的范围，引导学生把1/2转化成2/4，转换成分数单位相同的分数就可以计算，计算结果为1/2+1/4=3/4。

通过这样一个简单的过程，对之前建立起来的数学模型进行求解。数学建模思想是数学的基本思想之一，通过折纸、涂色等实物模型对建立起来的模型进行求解，有利于学生形成数学建模思想。通过转化的方式，对异分母分数加法进行不断尝试，最终把新知识转化成以前学过的同分母分数加法，把复杂的问题简单化，关注了学生主体，把课堂还给学生，不再是简单的传授知识，更多的是获取数学学习的方法。

（四）模型验证阶段——验证数学模型

验证模型阶段就是在完成求解后的一步，学生通过一定的思考，构建出模型通过学习方法，求解出所得模型的结果。但对于学生所求得的模型是否正确还需要进行验证。验证需要注意两点。第一时检查计算结果是否正确；第二是检查模型建构的是否正确。首先，我们将所得的结果带入到现实情境中，检查是否符合现实情境，如果符合现实情境那模型建立正确，再检查结果是否正确。如果都没有问题，就可以将建立起的模型应用到其他相似的问题情境中去。如果不符合，就回到问题情境中重新进行构建。也就是在异分母分数教学中重新分析所得算式是否正确。对于模型的验证阶段，从加法自然过渡到减法，不仅验证了加法算式是否正确，同时把建立起的模型迁移到减法教学中，从而形成部分量=总量-部分量的减法模型，使减法教学更加容易被学生接受，让学生经历再创造的探究过程。

（五）模型反馈阶段——应用数学模型

在确定建立起来的模型是正确的之后，就进入模型的反馈阶段，也就是对模型进行应用。这一阶段也是对建构的模型进行巩固练习，教师给学生提供相似的问题情境，从学生的作业反馈情况判断学生对于这一问题模型的掌握情况，学生是简单的学会了一道题的解决方法还是能够进行举一反三，真正建立起数学模型。对于练习题的设计也不是题海战术，适量的习题同样可以激发学生的数学学习的兴趣。

五、结束语

上述通过异分母分数加减法如何才能进行计算这一问题把整节课串联起来，每次对于问题的追问层次和目标都不同。第一次是针对具体的问题问题情境进行询问，对于情境的创设主要在于激发学生研究的欲望，为更高层次的学习做好铺垫；第二次是确定异分母分数加减法的问题模型是什么，此时，学生经历更高层次的“数学化”的过程。第三次是帮助学生形成完整的数学建模过程，把形式上的数学向生活中的数学回归。但不论怎么说都是从模型和建模的角度来让学生亲近数学、学习数学。当学生站在一个更高的层次去看待数学，就会更加深入地认识数学。在异分母分数加减法的教学中渗透数学建模思想，将对会学生的数学学习产生更加深刻而持久的影响。

总而言之，我们面对的是学生，是一个个独立自主的个体，充分发挥学生学习的主动性，总结以上五个数学建模过程，学生和数学之间产生了联系，知识不再是孤立存在的，学生也不是单纯地解决数学问题。