一类受白噪声扰动群聚模型的动力学行为

张艳妮, 周 冉, 陈霄雨

(1. 吉林建筑科技学院 基础科学部, 长春 130114； 2. 吉林大学 数学学院, 长春 130012； 3. 海军航空大学青岛校区 基础教研室, 山东 青岛 266041)

0 引 言

群聚现象也称为协调运动[1-2], 在生物、物理、化学及社会经济系统等领域普遍存在. 例如: 冬季南飞的大雁以一致的速度向同一方向飞行; 鱼群、羊群向相同方向结群运动; 人类语言由呼叫声和肢体语言向语言的演化等[3-5]. Vicsek等[6]从统计物理的角度首次提出了描述动物群体行为的数学模型; Cucker等[7]基于简单的速度匹配思想建立了如下Cucker-Smale模型(简称C-S模型):

其中:λ表示耦合强度, 当λ>0时表示第i个和第j个个体相互吸引, 当λ<0时表示第i个和第j个个体相互排斥;aij(t)表示第i个和第j个个体之间相互作用, 计算公式为

Ha等[8-9]研究了一类具有加性白噪声的随机C-S模型, 证明了在给定的模型结构下不会出现强群聚现象； Ahn等[10]考虑一类具有乘性白噪声的随机C-S模型, 在权重函数有非负下界的条件下, 证明了系统呈强随机群聚行为.

本文主要考虑如下具有乘性白噪声扰动的随机种群模型：

(1)

其中: (xi,vi)∈2d,xi(t)和vi(t)分别表示第i个个体在t时刻的位置和速度状态;λ>0表示耦合强度;Ψ(|xj-xi|)是衡量个体间相互影响的交流权重函数,Ψ(s)是单调不增的C1类函数;D≥0表示噪声强度; dW(t)表示白噪声, 其期望为0, 且〈dW(t)·dW(t*)〉=δ(t-t*), 〈 〉表示求期望；gi(v)dW(t)是乘性白噪声,gi(v)=vi-ve,ve是d中的常向量.

定义1如果系统(1)的任何解(xi(t),vi(t))(i=1,2,…,N)都满足下列条件：

则称系统(1)呈强随机群聚行为.

本文研究系统(1)的强随机群聚行为. 首先, 考虑两个个体的群聚模型强随机群聚行为; 其次, 对N个个体群聚模型(1), 在交流权重函数有正下界的条件下, 证明其呈强随机群聚行为.

1 无条件群聚

下面考虑N=2的情形, 此时系统(1)可简化为如下方程:

其中Ψ12=Ψ21=Ψ(|x2-x1|). 令x(t)=x1(t)-x2(t),v(t)=v1(t)-v2(t), 则

(2)

引理1设(x,v)是系统(2)的解, 则有

(3)

其中v0=v(0)=v1(0)-v2(0).

从而式(3)成立. 证毕.

定理1设λ>0,Ψ(s)>0, 则存在正常数Tε和TM, 使得当t>max{Tε,TM}时, 有

证明： 由重对数律得

故对任意ε>0, 存在Tε>0, 使得当t>Tε时, 有

注意到

故对任意M>0, 存在TM>0, 使得当t>TM时, 有

因此, 当t>max{Tε,TM}时, 有|W(t)|≤(1+ε)Mt.

选取ε,M使得

代入式(3)可得所证结论.

2 一般群聚模型分析

令

于是, 系统(1)可分解为大尺度系统

(4)

和微尺度系统

(5)

首先, 考虑大尺度系统(4). 注意到d(vc-ve)=D(vc-ve)dW(t), 由It公式得

积分得

其中C为常数. 从而

命题1存在T>0, 使得(xc,vc)满足下列条件：

1) 〈vc(t)-ve〉=vc(0)-ve, 〈xc(t)-xc(0)〉=vc(0)t,t>0;

3) |xc(t)-(xc(0)+tve)|≤C(T,D)|vc(0)-ve|,t>T.

证明： 2)显然成立, 下面证明1)和3).

于是

同理可得

〈xc(t)-xc(0)〉=vc(0)t.

3) 注意到

故

|xc(t)-(xc(0)+tve)|≤C(T,D)|vc(0)-ve|.

证毕.

其次, 考虑微尺度系统(5).

(8)

注意到

故有

由Hölder不等式可得

即

(10)

(11)

(12)

证明： 设Ψ(s)≥Ψ*>0,s∈(0,+∞). 由式(11)得

(13)

结合式(13)得

记C1(N,k,c)≜C(N,k)·ck/2, 则

(14)

将式(14)两边积分得

再取对数得式(12)成立. 证毕.

(15)

于是

(16)

由式(15),(16)知, 模型(1)呈强随机群聚行为.