一类具变时滞的Hopfield神经网络模型拉回吸引子的存在性

2021-11-26朱双,雷婷

吉林大学学报（理学版） 2021年6期

朱双, 雷婷

(西南交通大学数学学院, 成都 611756)

0 引言

目前, 关于Hopfield神经网络模型[1]动力学行为的研究已有很多结果[2-6], 关于不同格动力系统吸引子的研究也得到广泛关注. 文献[7-9]证明了二阶格动力系统吸引子的存在性及收敛性；文献[10]考虑非线性时滞格系统, 证明了不存在解唯一性的系统所关联多值过程拉回吸引子的存在性. 本文在文献[11]的Hopfield神经网络模型中加入变时滞项, 对τ∈, 其离散方程为

其中u=(ui)i∈∈l2,μi,γi,λi,j和ζ均为大于0的正常数,n∈,ui,τ为初始值,fj是满足某些条件的非线性函数,ζ0(t)是时滞函数,g(t)=(gi(t))i∈是具有时间依赖性的序列, 并且φi∈C([-ζ,0],). 首先, 证明该方程连续非自治系统的存在性; 其次, 对非自治方程的解进行一致估计; 最后, 证明非自治方程(1)-(2)拉回吸引子的存在唯一性.

1 解的一致估计

首先, 定义

其对应的范数和内积分别为

记ut(t∈)为定义在[-ζ,0]上的函数, 其形式如下:

ut(s)=(ui,t(s))i∈=(ui(t+s))i∈=u(t+s),s∈[-ζ,0].

F(u)=-Θu+Υu+G,

其中

则方程组(1)-(2)可写成如下形式：对∀τ∈,

为证明问题(3)-(4)拉回吸引子的存在性, 需做如下假设:

(H1)fi(0)=0,fi是全局Lipschitz连续的函数, 且具有Lipschitz常数L;

(H2) 存在大于0的常数a,b,B,d,D, 使得

(H3) 令g(t)=(gi(t))i∈, 且

由假设(H1)～(H3)可知, 算子F:l2→l2是全局Lipschitz连续的, 且具有Lipschitz常数L.

显然，由泛函微分方程理论可证得对每个φ∈Γζ，均存在T>0, 使得问题(3)-(4)存在唯一的局部解ut(·,τ,φ)∈C([τ,T),Γζ). 因此, 可得:

定理1如果假设(H1)～(H3)成立, 则对任意的φ∈Γζ, 存在T>0, 使得问题(3)-(4)存在唯一的解ut(·,τ,φ)∈C([τ,T),Γζ).

引理1如果假设(H1)～(H4)成立, 则对任意的τ∈,T>0,φ∈Γζ和t∈[τ,τ+T], 均存在一个正常数c=c(τ,T,φ), 使得问题(3)-(4)的解u满足‖ut(·,τ,φ)‖ζ≤c.

证明: 在空间l2中, 对方程(3)与u做内积, 当t>τ时, 得

(5)

由假设(H2), 得

(6)

(7)

将式(6)～(8)代入式(5), 有

(9)

利用Gronwall不等式, 当t>τ时, 有

(10)

由假设(H4), 易知存在正常数β和Q, 使得当‖φ‖ζ≤Q时, 有

(11)

下面证明当t≥τ时, 下列不等式成立：

‖u(t)‖≤Qe-β(t-τ)+(1-ρ)-1J(t),

(12)

其中

首先, 证明当q>1时, 有

‖u(t)‖

(13)

假设不等式(13)不成立. 事实上, 由于‖φ‖ζ≤Q和‖u(t)‖是连续的, 因此当t*>τ时, 必有如下不等式成立：

‖u(t*)‖≥qQe-β(t-τ)+(1-ρ)-1J(t),t≥τ,

(14)

且

‖u(t)‖≤qQe-β(t-τ)+(1-ρ)-1J(t),t≥τ,τ-ζ≤t

(15)

所以, 根据式(11),(12),(14),(15), 有

与式(14)矛盾, 即不等式(13)成立.

其次, 令q→1, 则不等式(12)成立. 证毕.

由引理1可知, 对任意的T>0, 在区间[τ,τ+T)上, 问题(3)-(4)的解都是有定义的, 表明局部解u是一个全局解. 取t∈, 在上定义一个变换：

κt(τ)=τ+t, ∀τ∈.

(17)

则{κt}t∈作用在上是一个群. 对于问题(3)-(4), 定义映射

Π:+××Γζ→Γζ.

取t∈+,τ∈,uτ∈Γζ, 令

Π(t,τ,uτ)=ut+τ(·,τ,uτ),

(18)

其中

ut+τ(s,τ,uτ)=u(t+τ+s,τ,uτ),s∈-[ζ,0].

由解的唯一性可知, 对任意的t,s∈+,τ∈,uτ∈Γζ, 有

Π(t+s,τ,uτ)=Π(t,s+τ,Π(s,τ,uτ)),

即在Γζ上Π是一个连续非自治的动力系统.

引理2假设(H1)～(H4)成立, 对任意的τ∈且, 问题(3)-(4)的解均满足

(19)

证明: 首先, 在式(9)中分别用ω和τ-t代替t和τ, 则当ω>τ-t时, 有

定义函数:

Φ(ω)=eβω‖u(ω,τ-t,φ)‖,ω≥τ-t-ζ,

(21)

(22)

其次, 证明

Φ(ω)≤Ψ(ω),ω≥τ-t.

(23)

假设不等式(23)不成立, 则必有ω*>t-τ, 使得

Φ(ω)<Ψ(ω),ω∈[τ-t-ζ,ω*),

(24)

Φ(ω*)=Ψ(ω*),

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(25)

其中

ω*≜inf{ω>τ-t|Φ(ω)>Ψ(ω)},

并且存在一个充分小的正常数Δω, 使得

Φ(ω)>Ψ(ω),ω∈(ω*,ω*+Δω).

(26)

计算Φ(t)在ω*时的右上导数, 有

根据式(20), 有

由于在区间[τ-t-ζ,+∞)上,Ψ(ω)是单调递增的, 即根据式(24),(25), 得

Φ(ω*-ζ0(ω*))<Ψ(ω*-ζ0(ω*))<Ψ(ω*)=Φ(ω*),

(29)

因此有