基于结构?整体着力

[摘要] 以喻平教授CPFS结构为理论依据，整体设计一元一次不等式（组）的复习，在目标引领下，“唤醒—应用—综合—引申—小结”等五环节环环相扣，零散的知识在聚合中整体发力，在不等式域完善中应用，在应用中转知成识，让复习更富有价值。

[关键词] 一元一次不等式（组）;复习设计;CPFS结构;整体教学

一元一次不等式（组）是在七年级下册（人教版）学过的内容，学生已经经历了新授课的学习，在后续函数、二次根式、一元二次方程等知识中也得到过初步的应用，但总体而言还是零散的、粗浅的，没有形成前后知识的内在关联，没有构建学生良好的CPFS结构。对初三的中考复习来说，有了两年多的数学学习经历，学生已具备了一定的学习能力与探索意识，不论是面对中考，还是面对自己的进一步发展，对初中数学的总体把握也有了较为迫切的需要，这样外力与内在的共同作用力，加上喻平教授的CPFS结构的宏观引领，为课堂的成功奠定了理论基础和心理基础。

一、设计说明

（一）本复习课的理论支撑

喻平教授等提出：一个数学概念C的所有等价定义的图式，叫作概念C的概念域。一组具有数学抽象关系的概念网络的图式叫作概念系。与命题A等价的命题集的图式叫作命题A的命题域。在一个命题集中，其中任意一个命题都至少与其他某一个命题有“推出”关系，就称这个命题集的图式为一个命题系。概念域、概念系、命题域、命题系（记为CPFS结构）是对数学认知结构的精确描述，它反映了数学学习特有的心理现象和规律。CPFS结构理论准确地刻画了数学知识在个体头脑中的组织形式，它是一种优良的数学认知结构，而奥苏伯尔认为优良的认知结构有助于迁移。故此可推知，学生的CPFS结构的形成是学生深度理解数学的表征，是学生学力、思维力强的一种体现，它为复习教学结构化、系统化思维路径提供了理论上的依据。

（二）整体教学构想

“任何知识总处于联系之中，时间上处于历史的联系中，空间上处于结构的联系中。……如果教师把所传授的知识置入过程和联系之中，课堂里的知识空间就自然形成了。”基于这样的认识，本复习课以一个母题为基，以题唤知，通过题目的串并联、优化组合，把题目的潜能挖掘出来，充分发挥题目的唤醒与贯通作用，题尽所能，整个设计充分利用了母题资源，既减低了重复计算所带来的外部认知负荷，又贯通了知识的内在联系，凸显出数学之本质。依次通过数学活动，引导学生领悟知识的纵向联系和横向联系、直接联系（显性联系）和间接联系（隐性联系），让学生既见树木又见森林，意在促进对知识的整体建构。这种立足CPFS结构下的系统统摄力的复习，将使得知識更具张力，更具应用性和迁移力，在应用中见证价值，在实践中深化理论，进一步感知不等式（组）复习的必要性、不可或缺性。

基于以上整体构想和理论支撑，设计了本节复习课。

二、复习目标

《义务教育数学课程标准（2011年版）》对“不等式与不等式组”目标提出要求：结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质;能解数字系数的一元一次不等式并能在数轴上表示出解集，会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集;能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题。基于此，立足知识前后关联的整体观，基于课标的定位，结合近年来全国各地中考试卷中关于不等式（组）题目的特点，确定如下复习目标：（1）通过题组的唤醒与再现，梳理出本章的知识结构，进一步掌握不等式的性质，会运用它熟练地解一元一次不等式（组），并能通过数轴表示其解集;（2）基于CPFS结构理论，通过应用题组展现不等式的广泛应用性，完善不等式的应用域，增进对不等式的积极体验，加深对其复习必要性的认识;（3）认识不等式与方程、函数等领域的关联，通过这种关联加深对建模思想、数形结合思想、分类讨论思想的认识，进一步落实化归。

三、复习流程

环节1 唤醒中再现

（1）下列5个式子：①-3<0;②2x+5y>0;③x-2=0;④2（x+2）>3x;⑤≤-1;属于

一元一次不等式的是______.（填序号）

若a>b，则：①a-2______ b-2;②2a ______  2b;

③            ;④ ac2 ______ bc2.（填不等号）

（2）解不等式⑤，并把解集表示在数轴上。

（3）解④、⑤组成的不等式组，并确定其整数解。

跟进思考：同学们以（3）中的两个不等式为基，还能改编出不同于（3）中的不等式组并求其解集吗？

路径预设：改换不等号方向即可改编为新题，进而求其解集。

[设计意图]设置具有内在关联性的三个小题目是不等式知识体系中最基础、最本质的内容，也是最重要、最核心的内容，以此构成了本专题复习的认知起点。其中，不等式的基本性质是不等式解法的基础和依据，是不等式与不等式组的重要支撑。另外，在中考中相关不等式性质本身的考查也时有出现，而不等式（组）的解法是本部分最基本、最核心的方法，是进一步用之解答问题的基本保障。通过设计这三个简单的小题，唤醒知识、梳理知识，通过学生的解答情况来落实以学定教，为后续学习提供先手材料。

基于三个问题的顺序性、关联性，具体教学时，利用PPT，要把所设计的三个小问题依次呈现，而不可一次性直接呈现出来（若一次性呈现体现不出问题的生成性和递进性）。问题1是为了回顾一元一次不等式的概念及不等式性质;问题2是为了回顾解不等式的基本技能及解集的数形结合表达;问题3指向不等式组的解法技能及其整数解问题，且问题2、3均选材于问题1这一母题，从经济、智能两个角度充分利用了母题资源，使其具有内在的关联性。然后通过跟进思考这一环节，使得不等式组解集的四种情形（取大、取小、取中间、无处取）全程展现，形成知识的整体缩影。如此处理，既减少了重复解不等式，节省了复习时间（经济），又通过这种优化的变式，调节学生的复习兴趣与热情（智能）。可以看到，这些题目均基础题，但基础中孕育着创新，践行了张奠宙教授“让基础富有灵性”的观点。

环节2 应用见关联

（1）三角形三边长分别为4，1-2a，7，则a的取值范围是______    .

（2）二次根式在实数内的取值范围是______ .

（3）已知：在钝角三角形中，一个锐角是另一个锐角的2倍，则较小的锐角的度数范围是  ______  .

（4）点A（m，m-3）在第4象限，则m的取值范围是______ .

（5）一次函數y=（m+2）x+1，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是______ .

（6）若关于x的方程x2-4x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是______ .

（7）若抛物线y=（3-m）x2-4x+m的开口向下，则m的取值范围是______.

（8）若直线y=（m-2）x+1与双曲线 没有公共点，则m的取值范围是 ______  .

（9）若抛物线y=ax2+2x+3与x轴有两个公共点，则a的取值范围是 ______  .

[设计意图]基于三角形的三边关系、分式或根式的取值范围、三角形三个角的制约关系、平面直角坐标系内点的象限符号特征、一次函数的增减性、一元二次方程根的存在情况、抛物线的开口方向、图像的公共点问题、抛物线与坐标轴的公共点等问题设计了9道计算量相对较小的小题目，基本上把初中学段相关不等式（组）应用的知识点来了个盘点，彰显了不等式（组）的应用价值，打通了不等式的纵横关联，将知识的学有所用、学有所值凸现出来，有利于不等式（组）“应用域”的集成与完善。这类基于数学内部单项关联的题组，既体现了不等式在数学内部的广泛应用，又唤醒了邻近知识，加固了知识的整体化体系。

教学时可以利用PPT一次性呈现出来，以中等生完成为节点进行不等式应用范畴的梳理，安排学优生在提前完成填空的基础上帮扶学困生;通过先行梳理这一数学认知结构，让学生想一想，初中学段还有哪些领域会用到不等式（组）。如此兼顾多个层级，力争实现每个人在各自基础上的不同提高。

环节3 综合中联通

如右图，直线l1：y=2x+1与直线l2：y=mx+4相交于点P（1，b）.

（1）求b，m的值.

（2）写出不等式2x+1

（3）垂直于x轴的直线x=a与直线l1、l2分别相交于C、D，若线段CD长为2，求a的值.

[设计意图]这是一道把方程、不等式、函数链接在一起，打通其内在关联的小综合题目，它以数形结合的形态，系列呈现，有机地融合在一起，见证了不等式在代数领域内的结构体系，是对环节2的一种综合性体现，也是基于复习的整体性、关联性开发而设计的。其中的（1）是在函数图像的背景下，以公共点为依托，连通共同点的坐标与方程的解，通过解一次方程确定出两个待定字母;问题2是借助几何直观，直接观察出不等式的解集，是数形结合思想的展现，当然也可以通过解不等式组去完成，但如此就走了个弯路;问题3是以函数为载体，通过特殊状态下两点之间的距离构造出绝对值方程，进而转化为两个一元一次方程而获解。

教学时，可以先行展示图片，让学生观察并提问：能得出什么结论？以此图像能具体确定什么？题目的问题会怎样设计？然后再呈现题干条件，依次把三个问题摆出来。这样学生会在比对自己设定的问题中获得自信或形成新的认识，感觉中考题无非如此。接下来让学生先尝试解答，再通过同位交流、小组交流、全班交流等不同形式完成这一题目的教学，让学生进一步体悟到方程、不等式、函数的联系，促进大整体观的形成。

环节4 引申中拓展

（1）用三个不等式a>b，ab>0，<中的两个

不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）.

（A）0（B）1 （C）2（D）3

教学说明：本题取自2019年北京市中考题，是对不等式性质2的改造。根据不等式性质2：若a>b，c>

0，则ac>bc（或>）。以上试题把其中的“c”替换成了“ab”，那么不等式>自然变成了>，

简化得 > ，即<。这样，题设中的三个不等式

显现出来。但本题并未如此进行直接考查，而是把两个条件和一个结论的三个不等式平行给出，然后以两个不等式作为题设，余下的不等式作结论重组命题，并判断命题的真伪，这就增大了题目的挑战性和可变性，成为一道根植教材的创新题。通过本题能够进一步提升对不等式性质的理解，以及多视角、辟蹊径的联想意识。当然，不管用什么方法解题，首先要构造命题：

①若a>b，ab>0，则<;

②若ab>0，<，则a>b;

③若a>b，<，则ab>0.

预设法一：用不等式性质，这应该是最容易想到的思路。

预设法二：作差比较法。这也是解不等式问题常用的方法。

预设法三：构造函数。借助外观特征<，若有

构造函数的意识，其实不难联想到反比例函数y=，当

自变量的值分别a、b时，对应的函数值即为、。如此，

它们的大小自然和函数的增减变化趋势挂起钩来。

（2）若关于x的不等式组有解，求a

的取值范围;若无解呢？若只有两个整数解呢？

[设计意图]本题反其道而行之，不是给出具体不等式组去求解（集），而是知道有解、无解、有怎样的解，欲反求待定字母的取值或取值范围。这种逆向问题，挑战的是学生的逆向思维，指向的是深度学习、深度思维。本题从构成上，仍然充分利用了母题中的不等式④和⑤，把④中不等式左端的x变为待定字母a，不等式⑤不变，两个不等式结合而成含待定字母的不等式组，然后就可以递次设计出三个问题，其中“有解”与“无解”是互补的，有解解决了，无解随之而定;而“只有两个整数解”对学生颇有冲击力，是个难点，在此集中体现意在循阶而上，处理起来相对顺畅，能充分利用已经启动起来的思维和解题资源，体现了有关不等式求解的整体性。

具体教学时，首先鼓励学生尝试解答，在发现共性问题时再组织交流，其中可以借力于数轴工具去探索，以感知数形结合的魅力。本拓展环节的两个问题，从深度学习的定调出发，把不等式性质的应用及不等式解集问题引向深入，一个发散思维、一个逆向思维，均是创新思维的践行，核心素养嵌于其中。“引领学生思维生成、思辨、归纳、延伸，开拓思维角度，提升思维高度，挖掘思维深度，开拓思维宽度，优化思维品质，让教学实践成为思维活动的再现，让知识成为思维活动的结果”，整个环节注重基本知识的理解、基本思想本质的挖掘、变式应用的把握，呈现出深度思维的复习课样态。

环节5 小结筑结构

通过前面四个教学环节，渐次生长形成以上内在知识结构，帮助学生构筑各自的认知结构，逐步完善其不等式应用域的CPFS结构体系，以增强知识整体化所产生的“造血功能”。

四、结语

借力喻平教授的CPFS结构，设计了“再现—应用—综合—引申—小结”五个教学环节，意在形成不等式（组）应用域体系。这样复习，使得原本零散的知识聚合在了一起，变“惰性知识”为活性知识，成为具有良好迁移力的知识。实践见证了笔者的认识，收获了优质的复习效果。需要说明的是，为了突出不等式在数学内部应用的本体结构，本设计没有涉及不等式在现实生活中的应用，建议把它与方程、函数在现实生活中的应用结合起来，更能体现常量模型和变量模型的关联性。

[本文系山东省教育教学研究重点课题“基于初中数学课程整合的单元教学案例研究”（项目编号：2020JXZ026）阶段性研究成果]

[参考文献]

[1]喻平，单墫.数学学习心理的CPFS结构理论[J].数学教育学报，2003，12（1）：13-16.

[2]刘庆昌.课堂里的精神空间[J].当代教育与文化，2011，3（6）：22-28.

[3]程华.数学课堂思维教学若干问题的思考[J].数学通报，2018，57（3）：26-29.

邢成云   山东省滨州市北镇中学初中部，正高级教师，山东省特级教师。“万人计划”全国教学名师，全国首期名师领航工程人选，山东省优秀教师，山东省有突出贡献的中青年专家。