分数阶拉普拉斯方程的一种新型有限差分方法

2021-11-24张晓平

数学杂志 2021年6期

王静,张晓平

(武汉大学数学与统计学院,湖北武汉 430072)

1 引言

扩散过程是自然界中一种常见的现象.早在1785年,Jan Ingenhousz就描述过煤尘在酒精表面的扩散现象,后来罗伯特布朗称这种现象为布朗运动,傅里叶在《热的解析理论》一文中实现了对热量扩散过程的数学刻画.之后,经典扩散过程的数学模型成为了分析许多自然现象的有利工具.例如,菲克利用二阶扩散方程用来描述营养物质在细胞膜内的传输过程;爱因斯坦从第一原理出发间接证明了分子和原子的存在;巴舍里结合随机分析将二阶扩散方程成功运用到了股票和期权市场.这些模型都有一个共同的假设:随机过程都满足经典的高斯分布.

然而,自然界中有许多复杂的扩散现象并不满足上述假设.大量的实验和研究表明,许多复杂系统的扩散过程不再具有高斯统计性.例如,生物学家观察到在某些海岛如西西里岛中每只海鸟的运动轨迹就无法用布朗运动模型来描述[1],这样的扩散现象通常被称为反常扩散[2].反常扩散广泛存在于多孔介质[3],图像分析[4],固体表面扩散[5],非菲克扩散湍流[6-8]等领域中.对于这些反常扩散过程,通常可以用分数阶扩散方程来进行数学刻画.因此,研究分数阶扩散方程具有重要的物理意义和现实意义:一方面,可以更加深刻地理解反常扩散中L´evy飞行[1,9]等物理现象;另一方面,还可以为实际工程应用提供决策依据.其中分数阶拉普拉斯算子−(−Δ)α/2,α∈(0,2)作为模拟反常扩散过程的原型算子[10-12],近年来逐渐成为理论和工程领域中研究的热点.

在实际应用上,微分方程一般都很难求出解析解,分数阶微分方程也是一样.即使是线性分数阶微分方程,其解也大多也都含有特殊函数,但计算这些函数往往非常困难;而对大部分的非线性分数阶微分方程,其解析解完全不可给出.正因如此,如何有效地对分数阶微积分方程进行数值模拟逐渐成为相关领域研究的前沿问题.目前,针对n维分数阶拉普拉斯算子,文献[13]讨论了Dirichlet齐次分数阶拉普拉斯方程基于积分形式的标准线性有限元方法,得到了拟均匀网格和渐变网格下该方法的最优收敛阶,最后给出了一些数值算例来证明其理论结果;文献[14]在文献[13]的基础上进一步给出了二维情形的一种简洁的Matalb代码实现;文献[15]则主要研究分数阶拉普拉斯方程的Caputo型发展方程,结合延拓技巧将非局部的问题局部化后利用有限元方法进行数值逼近,其时间离散采用Diethelm方法,并且证明了时间分数阶导数与其有限部分积分的等价性,还研究了在长时间积分下分数阶导数的某些性质;基于−(−Δ)α/2的奇异积分形式,文献[16]首先将分数阶拉普拉斯算子分为奇异部分和正则部分，然后用数值积分公式分别对其进行离散，最后构造出一种有限差分公式，类似地，文献[17]通过将分数阶拉普拉斯算子表示为弱奇异函数的加权积分,然后利用加权的梯形公式对其进行近似,从而提出了一种新颖的有限差分方法.本文主要针对一维分数阶拉普拉斯算子构造一种新型的数值离散格式,并在此基础上提出分数阶拉普拉斯方程的一种新型有限差分格式.本文的算法思想类似于文献[16],但分数阶拉普拉斯算子的离散方式略有不同,本文深入分析了数值积分公式的误差展开式,从而构造了更高阶的数值格式.相比于文献[16]的O(h3−α)和文献[17]的O(h2)，我们所提出的有限差分格式的精度可达到O(h4−α).

本文的组织如下:第二节提出分数阶拉普拉斯算子的数值积分公式，讨论其误差展开式并给出了最优的误差估计;第三节基于该数值积分公式构造分数阶拉普拉斯方程的一种新型有限差分格式，并讨论其误差分析;第四节通过一些数值实验以验证有限差分格式的有效性和理论分析的正确性;最后给出对全文的总结和对未来工作的展望。