一类PDE-ODE级联系统的指数镇定

孟玉翠

（山西大学数学科学学院，太原 030006）

近年来，常微分方程（ODE）-偏微分方程（PDE）级联系统的镇定问题越来越得到广大研究者的关注［1-7］.它可以描述很多不同的物理问题，如交通流、化学反应器和热交换器等. 在文献［8］中，作者提出了利用偏微分方程backstepping方法来镇定一阶不稳定的双曲偏微分方程，该方法还应用到了具有执行器和传感器延迟的系统［9］. 文献［10］将时滞描述为一个传输方程，并考虑了一阶双曲偏微分方程和ODE级联系统的镇定问题. 关于偏微分方程backstepping方法的其他应用可以在文献［11-18］中找到. 虽然偏微分方程backstepping方法已经有效地解决了ODE-PDE级联系统的镇定问题，但backstepping方法的核函数通常是一个偏微分方程，从而相对复杂. 与此不同，本文设计了一个新的变换，其优点之一是核函数是一个常微分方程，其求解难度远比通常的backstepping方法核函数的求解小. 该方法的另一个优点是在证明闭环系统的稳定性时，避免了构造Lyapunov函数的困难.

考虑下面的系统：

其中：X是ODE的状态；A∈ℝn×n；B∈ℝn×1；g∈C[0,1]；U是控制. 在状态空间ℝn×L2(0,1)中考虑系（1），其内积定义为

1 控制器的设计

我们将控制U(t)分为两部分

其中：U0(t)用来镇定一阶双曲偏微分方程；U1(t)是待定的新的控制. 按照文献［8］，利用backstepping 方法，U0(t)可以设计如下：

由式（3）和（4），系统（1）可以化为

其中核函数q(x,y)是由式（4）给定的. 引入变换

对式（6）求导可得

和

将上述两个等式相减，再根据式（4），可以将系统（5）转化为

现在设计控制器U1(t)来镇定系统（9），受文献［19］的启发，引入如下变换：

其中H(x):[0 ,1] →ℝn是待定的向量值核函数. 显然变换式（10）是可逆的，其逆为

为了求解向量值核函数H(x)，对X͂(t)求导可得：

如果选择H(x)使得

则式（12）变为

解式（13）可得

因此

只需镇定系统（16）即可，根据极点配置定理

其中K使得矩阵A+e-ABK是Hurwitz矩阵. 在状态反馈（17）的条件下，我们得到闭环系统

于是得到系统（1）的闭环系统

其中q(x,y)满足式（4）.

定理1 令A∈ℝn×n，B∈ℝn×1，g∈C[0,1]. 假设(A,B)是可控的，σ(A)⊂{λ∈ℂ|Reλ≥0} ，则存在K∈ℝ1×n使得A+e-ABK是Hurwitz矩阵，并且对任意的初始状态(X(0),u(∙,0) )∈ℝn×L2(0,1)，闭环系统（20）存在唯一解(X(t),u(∙,t) )∈C([ 0,∞);ℝn×L2(0,1)) ，并且存在常数ω>0，满足

2 闭环系统的稳定性

本节分析闭环系统（20）的稳定性，为此先给出如下引理.

w-子系统是一个简单的传输方程，它的解可以被表示为

根据式（23）和（24）可知，随着时间t趋于无穷大，w(x,t)的解指数衰减到零，故w-系统也是指数稳定的.因此整个闭环系统（18）是指数稳定的. 证毕.

定理1的证明.因为(A,B)是可控的，根据极点配置定理可知存在矩阵K1∈ℝ1×n使得A+BK1是Hurwitz矩阵.由于eA[A+e-ABK1eA]e-A=A+BK1，A+e-ABK1eA是Hurwitz 矩阵当且仅当A+BK1是Hurwitz矩阵，故A+e-ABK1eA也是Hurwitz矩阵. 因此，我们可以选择K=K1eA.

根据文献［1］可知变换式（6）是可逆的，且其逆为

3 结论

本文提出了一种新方法来镇定由一阶双曲PDE 和ODE 组成的级联系统. 与传统的偏微分方程backstepping方法不同，所提新方法的一个优点为核函数是一个常微分方程，易于求解，从而简化了控制器的设计；另一个优点是在证明闭环系统的稳定性时，避免了构造Lyapunov函数的困难.