能量和角动量对磁化γ时空中带电粒子混沌运动的影响

胡爱荣，黄国庆

(南昌大学a.理学院；b.建筑工程学院，江西 南昌 330031)

2016年2月11日美国科研人员宣布利用激光干涉引力波天文台(LIGO)于2015年9月首次探测到双黑洞在13亿年前并合产生的引力波抵达地球[1]。2019年4月10日，借助分布于全球不同地区的8个射电望远镜阵列组成的虚拟望远镜网络(EHT)，人类第一次看到黑洞(位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球5500万光年，质量约为太阳的65亿倍)的视界面[2]。两大轰动世界的重要发现，有力地支持了爱因斯坦的广义相对论。2017年、2019年和2020年，引力与天体物理领域四年内三次获得诺贝尔物理学奖，不仅是对科学家们工作的肯定，更是人类对宇宙认知突破的认可。

众所周知，1915—1916年爱因斯坦提出并发表了广义相对论，指出万有引力是时空弯曲的几何效应。通过引入黎曼几何作为数学工具，爱因斯坦最终给出了广义相对论的基本方程——场方程，并预言引力波的存在。广义相对论完全颠覆了传统时空观，将天体力学带到了后牛顿时代。此后数十年，科学家们通过求解广义相对论场方程，得出有封闭边界(视界)的时空结构，物理学家惠勒命名为“黑洞”。Schwarzschild黑洞、Reissner-NordstrÖm黑洞、Kerr黑洞等都是爱因斯坦场方程的经典解。

黑洞由于其特殊性，本身的信息并不多。霍金等[3]研究证明，最终出现的稳态黑洞仅有非常有限的几个类型，仅用质量、自旋和电荷就可以完整描述，即“黑洞无毛”。“物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动”。科学家于是反其道而行之，通过研究测试粒子运动的动力学特征来了解黑洞的性质。

混沌[4-6]是发生在非线性系统的一种特殊的运动状态，只有满足一定的条件才可能出现，服从确定性规律但具有随机性。经典黑洞周围的时空虽然是高度非线性的，由于有足够多的积分来分离测试粒子的运动方程，因此是严格可积、有序的。但对于这样的系统而言，内在的一种随机性——混沌一直存在，只要引入微扰，时空几何的可积性将会被破坏，混沌运动可能发生。相对黑洞这一类致密天体而言，可能的“微扰”其实也是非常巨大的，可靠来源通常考虑：产生引力作用的质量物质，等效于离心效应的自旋运动[7-9]，以及具有电磁作用的磁场分布。许多学者做了大量相关研究工作。例如具有单极核和偶极子、四极等的相对论核-壳系统[10-11]、环绕黑洞的物质(如吸积盘、质量晕或环)[12]，粒子运动受物质引力的影响，混沌可能会发生。在Schwarzschild黑洞[13]、Kerr黑洞[14]的粒子自旋，使得运动的可积性被破坏，运动由有序过渡到混沌。带电粒子在电磁场和引力时空中运动时，电磁力的变化对混沌程度起着重要作用[15-17]。如果磁场破坏原始时空的引力效应，即使中性粒子在磁化的Ernst时空也可能发生混沌运动[18-19]。

本文主要研究带电粒子在磁化的γ时空中的动力学行为。先由时空的度规矩阵和外加磁场的四维矢势推导出测试粒子在该磁化时空中的哈密顿函数，从而得到粒子运动的正则方程。然后根据速度流形改正法计算粒子在多组初值条件下的数值，描绘出相空间的庞加莱截面图，利用KAM环是否规则判断粒子的运动是否存在混沌现象，以此了解不同的能量或角动量对混沌的影响。最后对能量和角动量影响测试粒子混沌运动的机制进行理论分析。

1 模型

γ时空的度规在Erez-Rosen坐标系中可以用对角线元素[20]表示

ds2=gαβdxαdxβ=-F1dt2+F1-1[F2dr2+F3dθ2+(r2-2mr)sin2θdφ2]

(1)

其中的系数函数表示如下

(2)

式(2)中m是球对称的史瓦西黑洞质量，类史瓦西黑洞的质量为M=γm，γ为形变参量。可以验证，取γ=1就是经典的史瓦西黑洞；如果γ偏离1则代表引力源为长或扁的椭球型黑洞。

为了让理论分析更具有遍性，我们对相关物理量进行无量纲化处理，时空尺度都以质量m为单位，x→xm,τ→τm。如果测算出某天体的质量相当于多少个太阳质量，其余的参数信息即可按相应比例确定。无量纲化处理后，γ时空的拉格朗日量可表达为：

(3)

其中x的上标α和β取{0,1,2,3}分别代表史瓦西坐标{x0,x1,x2,x3}={t,r,θ,φ}。式(3)中系数函数可简化为

(4)

对应的哈密顿量为

(5)

若几何时空附加一个轴对称的外部磁场，其四维矢势

(6)

设测试粒子所带电荷量为q，该带电粒子在时空引力和电磁力的共同作用下运动，其协变动量服从关系式

pα=Pα+qAα

(7)

注意到γ时空及磁场分布都具有轴对称特点，且哈密顿H表达式中不显含参量t和φ，因此该哈密顿系统存在两个守恒常量

(8)

(9)

采用能量E和角动量L表示的哈密顿量为

(10)

显然，粒子的运动遵守正则方程：

(11)

本文中的拉格朗日量与哈密顿量均没有截断，表达式完整，两者是等价的。因此系统的哈密顿量也是个守恒量，满足

H=-1/2

(12)

在磁化γ时空中，由式(10)和(12)可得

E2-V2

(13)

其中赤道面(取θ=π/2)上的有效势，记作

V2=F1+

(14)

有效势可以提供关于测试粒子运动的有价值的动力学总体信息，特别是通过对粒子在赤道平面上径向运动有效势的分析，可以了解粒子在束缚轨道的运动所需能量、允许运动的区域边界，以及由有效势的极小值确定稳定圆轨道、最内层稳定圆轨道等信息。其中最内层稳定圆轨道代表吸积盘的内部边界，通常表明候选黑洞存在。许多学者非常关注有效势。Benavides-Gallego[21]分析了粒子在磁化γ时空中的有效势，并研究了粒子做圆周运动的能量与角动量及碰撞行为。Deng讨论了quantum-corrected Schwarzschild黑洞[22]和DMPR brane-world黑洞[23]等的视界和粒子的周期性束缚轨道。Yi & Wu[24]研究发现在磁化Schwarzschild黑洞中带电粒子运动的有效势曲线受到形变参数影响，最内层稳定圆轨道半径随正形变的增大减小。有效势发生改变，对测试粒子的运动具有明显影响。

2 数值计算结果

注意到式(13)中有效势V2的曲线形状与形变参数γ、电磁参数β(=qB)及角动量L有关，因此研究能量的影响时，保持参量γ、β及L均不变，有效势曲线也就由V2(r)确定了。有效势曲线的变化，可体现粒子在黑洞外不同位置所受到作用力的强弱。例如，图1(a)中β=0的有效势曲线，在内层稳定圆轨道(曲线最小值对应的位置)之外，有效势的数值随着距离的增大而逐渐增加，代表随着距离黑洞越远对应的引力越小。此外在图1(a)-(c)中,通过对比可以看到β>0时的有效势比β=0(即无外加磁场，只有中心天体的引力作用，运动粒子不受磁场力)的数值较小，说明该情况下运动粒子受到的磁场力与黑洞的引力方向相同，磁场力具有引力效应。而改变粒子所带电荷的电性，或外加磁场反向时，可取β<0，此时磁场力也反向，导致有效势有所增加。

就本文研究的侧重问题，下面主要分析角动量对有效势的影响，其中形变参量γ和电磁参量β来自后续关于角动量对混沌运动影响的讨论中所取的值。对同一个时空形变参量γ而言，保持相同的电磁参量β不变，角动量L的增加导致有效势曲线随之升高，如图2(a)-(f)所示，这意味着具有离心效果的角动量L增加，加剧了磁场力的引力效应，带电粒子受到的约束合力减小。

图1 粒子运动的有效势与电磁参量的关系曲线

图2 粒子运动的有效势与角动量的关系曲线

首先利用数值计算结果来考察能量对粒子运动状态的影响。对史瓦西黑洞取γ=1，选择测试粒子的电磁参量为β=0.000 95，角动量L=3.6也保持不变。图3(a)中粒子的能量取E=0.990 0，庞加莱截面图中规则的KAM环显示粒子的运动是有序的。图3(b)中能量增加为E=0.991 0，所选取的几条轨道初始值不变。可以看到，粒子的一条轨道(红色标记)对应的庞加莱截面由规则的闭合曲线变成有轮廓的散点，代表粒子已经由有序的拟周期运动变为混沌运动；另一条(蓝色标记)则变成∞字型交错的曲线，混沌程度更深。进一步增加能量到E=0.992 0时，图3(c)显示更多条轨道(红色、蓝色、玫红色标记)的有序性被破坏，粒子运动的混沌程度加深。另取形变参数γ=0.5和γ=4/3，粒子运动对应的庞加莱截面分别如图3(d)-(f)和图3(g)-(i)所示。显然，随着粒子的能量不断增加，粒子的混沌运动越来越明显。

当β<0时,由于该情况下有效势的数值比β≥0时更大。且根据式(13)可知，同等条件下粒子运动所需能量E应比β>0时的能量值更高，因此我们选择相对较高的能量值，分别为E=0.999 2，0.999 3和0.999 4。对处于形变参数为γ=1,0.5和γ=4/3时空中的测试粒子进行对比，对应的庞加莱截面如图3(j)-(r)所示。可以发现粒子的运动也具有如β>0情形时同样的演化规律，混沌程度随着粒子能量的增加而增加。

图3 不同能量E对粒子混沌运动的影响

其次考察角动量对粒子运动状态的影响。对γ=1取电磁参量β=0.000 8，给定能量E=0.991 7保持不变。图4(a)中角动量取L=3.6，庞加莱截面图中显示其中有两条轨道(红色、玫红色标记)是混沌的。所选取的几条轨道初始值不变，图4(b)中角动量增加为L=3.8，其中的一条轨道运动(玫红色标记)的混沌程度减弱。进一步增加角动量到L=4.1时，图4(c)中规则的KAM环显示这几条轨道的粒子运动均已回归有序。形变参数取γ=0.5对应的庞加莱截面如图4(d)-(f)所示，对应能量及电磁参量标示图中，也可以看到随着粒子的角动量增加，混沌运动逐渐减弱。而对γ=4/3，混沌运动(红色标记)即使不能完全消失，也有不同程度的减弱(玫红色标记)，如图4(g)-(i)所示。当β<0，即电荷电性相反或磁场反向时，如图4(j)-(r)所示，粒子的混沌运动均随着角动量增加而逐渐减弱。

图4 不同角动量L对粒子混沌运动的影响

3 结论及理论解释

上述演化规律表明，能量或角动量的改变都会影响到带电粒子的混沌运动。下面我们就能量和角动量对粒子混沌运动的影响机制进行理论分析。γ时空中引入外加磁场，带电粒子运动会受到磁场力的作用，外加磁场也具有引力效应。无论磁场力与黑洞的引力方向相同或相反，均可使测试粒子偏离有序轨道运动，破坏原来时空的有序性，导致混沌发生。

在广义相对论中，虽然没有如经典力学中明确动能、势能的区别，然而一般相对论问题中仍然可得到类似于经典的势能函数，如带电粒子在赤道平面上径向运动的有效势，通过它可以很容易了解动力学的总体信息。研究能量的影响时，保持参量γ、β及L均不变，有效势V2(r)曲线关系不变，相同参数情况下受力不变。因此轨道初值条件我们选择相同的r值，而增加能量E的取值，式(12)的右函数数值随之增大，意味着带电粒子具有更大的运动能力打破黑洞引力束缚下的有序状态，演化为混沌运动。

对于角动量对混沌运动的影响，保持相同的参量γ、β不变，而能量E维持不变，当有效势曲线随角动量L的增加而升高，式(12)的右函数随之减小，若带电粒子有限的运动能力不足以破坏引力的束缚，其运动就可能回归到有序状态。