模糊Cut集

饶三平，刘芝秀

(南昌工程学院理学院,江西 南昌 330099)

完全分配格作为某类完备集环的闭子格，在文[1]中，由Raney给出。之后，Raney在文[2]中，从序的角度，给出了完全分配格的一个等价刻画。从那以后，Hofmann[3]和Lawson[4]从同构和对偶的角度也对它进行了研究。

由于形式概念分析和完备格之间的关系，基于完备剩余格，文[5]想从模糊视觉下，研究这种对应关系，首先引入模糊完备格的概念，把它作为经典完备格的一般推广。此后，Zhang和Xie对模糊完备格和一些模糊偏序集的完备化进行了大量的研究[6]。从范畴的角度， Lai和Zhang提出了完全分配的Ω-格[7]。Stubble等人基于更为一般的真值结构，对它进行了研究[8]。

由于模糊完全分配格的抽象性，所给的例子并不多，大部分是对模糊domain的研究[9-11]。对它也没有一个非常具体的认识。基于此，本文想通过Cut集来给出模糊完全分配格一个例子，丰富模糊完全分配格理论。

1 预备知识

本文选取完备剩余格作为格值，完备剩余格L是一种代数结构，它满足：

(1) (L,∧,∨,*,→,0,1)是完备格，最小元为0，最大元为1；

(2) (L,*,1)是可交换的monoid,其中1是单位元，即∀a∈L,a*1=a;

(3) *,→构成Galois联络，即∀a,b,c∈L,a*b≤c⟺a≤b→c。

有关详细完备剩余格的知识可参考文献[12]，若无特别声明，本文中L表示完备剩余格。下面列出运算*,→的一些基本性质。

引理1.1[12]设L是完备剩余格,则∀a,b,c∈L,下列式子成立：

(Ⅰ1) 0*a=0且1→a=a,

(Ⅰ2)a≤b⟺a→b=1,

(Ⅰ3) (a→b)*(b→c)≤a→c,

(Ⅰ6)a→(b→c)=b→(a→c)=a*b→c,

(Ⅰ7)a*(a→b)≤b。

设X为一非空集合，X上的模糊子集就是从X到L上的映射，X上的所有模糊子集记为LX。∀A,B∈LX,A和B之间的相等可以通过一般映射之间的相等来定义，也就是说，A=B⟺∀x∈X,A(x)=B(x)。

定义1.1[5]X上的模糊关系e是X×X上的模糊子集，即e:X×X→L。X上的模糊关系e称为是模糊偏序，若e还满足：

(1) ∀x∈X,e(x,x)=1;

(2) ∀x,y,z∈X,e(x,y)*e(y,z)≤e(x,z);

(3) ∀x,y∈X,e(x,y)=e(y,x)=1⟹x=y。

称(X,e)为模糊偏序集，若e是X上的模糊偏序。A∈LX称为模糊上集，若∀x,y∈X,A(x)*e(x,y)≤A(y)。A∈LX称为模糊下集，若A(x)*e(y,x)≤A(y)。记L(X)为X上所有模糊下集。

定义1.2[6,9]设(X,e)是模糊偏序集，x0∈X称为模糊子集A的并，记为x0=凵A， 若满足下列条件：

(1) ∀x∈X,A(x)≤e(x,x0);

在引理1.2中，若A=↓x,则

定义1.3[6-7]称模糊偏序集(X,e)为模糊完备格，若它满足∀A∈LX,凵A存在。

例题(1) ∀x,y∈L,定义eL:L×L→L如下：eL(x,y)=x→y,则eL不仅是L上的模糊偏序，还可以证明它是(X,e)上的模糊完备格。

定义1.4[5,8]设(X,eX)、(Y,eY)为模糊完备格，称映射f:(X,eX)→(Y,eY)为模糊单调的，若∀x,y∈X,eX(x,y)≤eY(f(x),f(y))。显然，模糊映射凵是模糊单调的。

定义1.5[9]设(X,e)是模糊完备格。∀x,y∈X,:X×X:→L定义如下：

定义1.6[7]模糊完备格(X,e)称为模糊完全分配格，若它满足：∀x∈X,x=凵x。

引理1.3[6-9]设(X,e)是模糊完备格。则∀x,y,u,v∈X,下列式子成立：

(2)e(u,x)*y(x)*e(y,v)≤v(u).

引理1.4[8-9]在模糊完备格(X,e)中，模糊well-below关系具有插入性质，即

2 模糊Cut集

这部分主要给出模糊Cut集的概念，证明所有的模糊Cut集可构成模糊完全分配格。

证明∀y∈X,有

引理2.2若(X,e)是模糊完全分配格，则∀A∈LX,凵

证明一方面，∀x∈X,

另一方面，由引理2.1，可得

定理2.1若(X,e)是模糊完全分配格，则C(X)={x|x∈X}。

证明显然，∀x∈X,x是模糊下集。根据引理从而x∈C(X)。

引理2.3在模糊完备格(X,e)中，∀x,y∈X,x(y)≤sub(y,x)。

证明显然成立。

引理2.4在模糊完全分配格(X,e)中，∀x∈X,G∈LL(C(X)),(凵G)(x)≤G(x)。

证明因为(X,e)是模糊完全分配格，根据定理2.1和引理2.3，

为得到主要结论，下面介绍模糊极小集。

定义2.2设(X,e)为模糊完备格。∀x∈X,称模糊子集β∈LX为x的模糊极小集，若它满足x=凵β和β≤x。

命题2.1设(X,e)是模糊完备格。∀x∈X,若在x处存在模糊极小集，则x最大。

证明假设β是x处的模糊极小集，根据定义2.2，x=凵β且β≤x,而1=sub(β,x)≤e(凵β,凵x)=e(x,凵x)。同时，e(凵x,x)=1。从而x=凵x,显然有x≤x。因此，x是点x处的模糊极小集。显然它是最大的模糊极小集。

根据上面的命题，可得到下面的结论。

命题2.2模糊完备格(X,e)是模糊完全分配格当且仅当∀x∈X,在x处有模糊极小集存在。

下面给出模糊极小集的等价刻画。

一方面，∀y,z∈X,

e(x,z)*β(y)≤e(x,z)*x(y)≤z(y)=y(z)

故e(x,z)≤β(y)→y(z)。由于y和z的任意性，有

另一方面，

充分性。只需证β≤x。因为故

从而∀y∈X,β(y)≤y(x)=x(y)。 所以β≤x。

综合命题2.2和命题2.3的内容，可得到下列结论。

基于模糊极小集，下证所有的模糊C(X)集可构成模糊完全分配格。为此，先证它是模糊完备格。

定理2.3若(X,e)是模糊完全分配格，则(C(X),sub)是模糊完备格。

故凵Φ=φ。此外，∀x,y∈X,

因此，φ是模糊下集。根据定理2.1及插入性质，

因此，(C(X),sub)是模糊完备格。

定理2.4若(X,e)是模糊完全分配格，则(C(X),sub)是模糊完全分配格。

证明由定理2.1，∀φ∈C(X),∃x∈X,满足φ=x。定义Φ:C(X)→L如下：下证凵Φ=x和Φ(-)≤(x)(-)。∀ψ∈C(X),有

故凵Φ=x。

此外，∀y∈X,φ∈C(X)和G∈LL(C(X)),根据引理2.4，

从而Φ(φ)≤(x)(φ)。由命题2.2和定理2.3可知，(C(X),sub)是模糊完全分配格。