Geogebra动态模拟带电粒子在磁场中运动的轨迹图

盛天霖

摘 要：近年江苏高考最后一题着重考查带电粒子在磁场中运动的各类问题，教师仅用板书难以展示其中动态变化过程，故本文利用Geogebra对近年江苏高考有关有界磁场问题分类进行动态模拟，可以得到动态变化的带电粒子运动轨迹，简化作图操作，便于学生理解物理情境。

关键词：Geogebra;模拟;带电粒子;江苏高考

带电粒子在有界磁场中的运动分析是高中物理教学的难点，其中动态变化的轨迹很难以板书的形式展现。笔者利用Geogebra进行模拟，把动态轨迹中的规律与临界情况直观地展现出来。

一、放缩问题

（一）课件原题

（2020年江苏）如图1，空间存在两个垂直于Oxy平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为2B0、3B0。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v，甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示，甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点.已知甲的质量为m，电荷量为q.不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求：

（1）Q到O的距离d;

（2）甲两次经过P点的时间间隔Δt;

（3）乙的比荷可能的最小值。

（二）课件原理

本题中已知粒子入射速度大小和方向均不变，两侧磁场比值为2∶3，可以确定两侧轨迹半圆的半径之比为3∶2，在第三问中乙粒子的比荷与甲不同，故只有圆周运动的半径不同，而运动轨迹则为甲粒子运动轨迹的等比例缩放。根据乙粒子的比荷与甲粒子比荷比值定义新量qm，来联系甲粒子右侧轨迹半径R1与乙粒子右侧轨迹半径R2的大小关系（即缩放比例）。

课件链接：https：//www.geogebra.org/m/y9gvwrqq

（三）课件说明

第一问：作出右侧半圆与左侧半圆后，根据和求出R1和r1表达式，得Q到O的距离，d即为每一次循环后的y轴偏移量。

第二问：甲粒子的轨迹为第一、第二个半圆轨迹不断衔接，在作出第六个半圆后，乙粒子第二次经过P点，记甲粒子在第一、二象限内运动的周期为T1、T2.对两侧半圆的计数得：两次经过P点的时间间隔为2次右半圆与3次左半圆：.

第三问：显示乙粒子轨迹（虚线）后，右击qm滑动条，“启动动画”即可观察随比荷变化的乙粒子的動态轨迹.在一些特定qm值时，乙粒子能经过Q点.为了更加细致地观察，可以手动拖动qm滑动条。如qm=从1到1.5过程中，第四个半圆的终点正接近Q点（如图2）;

当qm=2时，第四个半圆的终点恰能从第二象限经过Q点（如图3）;

当qm=3，可能在第一个半圆结束时经过Q点，也可能在第六个半圆后经过Q点（如图4）。

以此类推，可将经过Q点的情况分为从第一象限经过Q点和第二象限经过Q点，分别由时间和位移两个方程进行约束.记乙粒子在、二象限内圆周运动的周期为T'1、T'2，每次循环的y轴偏移量为d'。

当粒子从第一象限经过Q点，时间关系为：

（1）

位移关系为：（2）

结合以上式子，n无解。

当粒子从第二象限经过Q点，时间关系为：

（3）

位移关系为：（4）

计算可得

符合题意，故比荷比值取2为最小值。

二、平移问题

（一）课件原题

（2017年江苏）一台质谱仪的工作原理如图5所示，大量的甲、乙两种离子飘入电压力为U0的加速电场，其初速度几乎为0，经过加速后，通过宽为L的狭缝MN沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片上，已知甲、乙两种离子的电荷量均为+q，质量分别为2m和m，图中虚线为经过狭缝左、右边界M、N的甲种离子的运动轨迹，不考虑离子间的相互作用。

1.求甲种离子打在底片上的位置到N点的最小距离x;

2.在答题卡的图中用斜线标出磁场中甲种离子经过的区域，并求该区域最窄处的宽度d;

3.若考虑加速电压有波动，在（）到（）之间变化，要使甲、乙两种离子在底片上没有重叠，求狭缝宽度L满足的条件。

（二）课件原理

甲种粒子入射速度不变，入射位置在L区间内移动，运动轨迹为半圆的平移，可利用“显示轨迹”功能追踪其所到区域.在第三问中，甲乙粒子的运动轨迹既有平移，又有放缩，可拖动滑动条，逐步呈现动态变化过程。

课件链接：https：//www.geogebra.org/m/uct4kyvb

（三）课件说明

第一问：选中甲粒子的轨迹c，右击勾选开启跟踪，从0至3拖动滑动条d甲，即可显示甲粒子运动范围（如图6），在M点出射的粒子距离N最近，距离为2R1-L。

第二问：边界最窄处为M射出的粒子与N射出的粒子轨迹的交点，作辅助线，选择“线段”工具，单击最窄处下边界，再沿着垂直方向单击x轴，建立BC线段;再单击B点与从N出射的半圆圆心，建立BA线段（如图7），在从N射出的半圆轨迹中解△ABC，AC距离为，由勾股定理得：。

第三问：因电压波动，甲乙粒子的半径是动态变化的，做出两个极值点即可明确其运动范围.

分别拖动d甲和d乙，通过动态演示，要使两种粒子没有重叠，让乙粒子在N处发出的最远端与甲粒子在M处发出的最近端不重合（如图8）。几何关系为：2R1左=L+2R2右，代入求解可得L范围：。

结束语

Geogebra简单易学，免费且功能强大，同时课件分享便捷，课件公开发布后生成链接，可直接在网页中展示与下载，教师可根据教学需要修改参数、新建模型，利用好动态演示与显示轨迹这两项功能，让课堂教学事半功倍。

参考文献

[1]陈林，桑芝芳.GeoGebra软件在磁场教学中的案例分析：以磁场“动态圆问题”为例[J].中学物理（高中版），2020，038（003）：50-53.

[2]陈燕，杨成明.Matlab模拟描绘带电粒子在磁场中运动轨迹图[J].物理教师，2020，041（003）：72-73，77.