怎样运用设参法解答与圆有关的问题

王怀丽

设参法是指适当引入一些与变量相关的参数，从而解答问题的方法.设参法在解答高中数学问题中应用广泛，尤其在解答函数、不等式、方程、三角函数、解析几何等问题时经常会用到设参法.运用参数法解答与圆有关的问题，需根据解题需求引入相关的参数，列出目标关系式，根据题设条件和图形的几何性质，将目标关系式进行化简、变形，从而求得结果.主要有以下几个步骤：

1.设出适当的参数（参数的个数可取一个或多个）.根据圆的参数方程一般可设圆心在点，半径为r的圆的方程为

2.根据题意建立关于参数的方程、不等式、函数式，并用参数表示出目标式;

3.通过恒等变换消去参数，使问题得解.

运用设参法解答与圆有关的问题，常会将问题转化为与参数有关的代数问题来求解.下面举例说明.

例1.

由于该圆为单位元，所以我们需先以 O 为原点建立直角坐标系，引入参数θ，就可以表示出圆上的动点，求得，通过向量运算和三角恒等变换即可求得目标式，利用正弦函数的有界性就能求得的取值范围.

例2.

解：

解答本题，需根据圆和正方形的特征，设出参数角α，然后用α表示出各条边和各个角，求出 OC 的表达式，根据正弦函数的有界性求得最值.

例3.

解：

解答本题，需充分利用直线的斜率公式、单位圆的性质以及圆的参数方程.设出参数k，便可将直线 PQ 的斜率表示出来，再借助点到直线的距离公式和韦达定理即可求得问题的答案.

可见，设参法是解答与圆有關的问题的重要方法，尤其在解答与动点或者最值有关的问题时，运用设参法能将问题转化为与参数有关的三角函数问题、向量问题或方程问题，通过恒等变换将目标式化简、变形，消去参数即可求得问题的答案.

（作者单位：内蒙古自治区巴彦淖尔市杭锦后旗奋斗中学）