基于wNSA-Gauss-Seidel的Massive MIMO软输出信号检测算法研究

王涛

摘 要：基于高斯-赛德（Gauss-Seidel，GS）和加权Neumann序列展开式（weight Neumann Series Approximation，wNSA）相结合的方法，在大规模多输入多输出（Multiple-Input Multiple-Output，MIMO）系统中进行信号检测研究。首先，将基于GS的软输出信号检测算法作为研究对象，证实相比于传统的Neumann算法，GS迭代算法具有更优的性能。其次，在传统Neumann序列展开算法的基础上研究加权Neumann序列展开算法，并将加权Neumann序列作为GS算法的迭代初值，设计得到wNSA-Gauss-Seidel算法，显著提升收敛速率。实验结果表明，相比于现有GS迭代算法和美国国家安全局（National Security Agency，NSA）的信号检测算法，基于wNSA-Gauss-Seidel的信号检测算法不仅在性能方面具有明显优势，而且在具有挑战性的信道传播环境中能够以较低的复杂度获得接近最小均方误差（Minimum Mean Square Error，MMSE）信号检测算法的性能。

关键词：大规模多输入多输出（MIMO）系统;高斯-赛德（GS）;Neumann序列;信号检测

中图分类号：TN929.5文献标识码：A文章编号：1003-5168（2021）17-0008-05

Research on Massive MIMO Soft Output Signal Detection

Algorithm Based on wNSA-Gauss-Seidel

WANG Tao

（Shenzhen Electrical Appliances Co.，Shenzhen Guangdong 518001）

Abstract： Based on the method of combining GS and wNSA， the signal detection research is carried out in the massive MIMO system. First of all， the soft output signal detection algorithm based on GS is taken as the research object， which proves that compared with the traditional Neumann algorithm， the GS iterative algorithm has better performance. Secondly， based on the traditional Neumann sequence expansion algorithm， the weighted Neumann sequence expansion algorithm is studied， and the weighted Neumann sequence is used as the initial value of the iteration of the GS algorithm， and the wNSA-Gauss-Seidel algorithm is designed to significantly improve the convergence rate. The experimental results show that， compared with the existing GS iterative algorithm and NSA signal detection algorithm， the signal detection algorithm based on wNSA-Gauss-Seidel not only has obvious advantages in performance， but also can obtain performance close to the MMSE signal detection algorithm with lower complexity in a challenging channel propagation environment.

Keywords： massive Multiple-Input Multiple-Output（MIMO） system;Gauss Seidel（GS）;Neumann sequence;signal detection

大规模多输入多输出（Multiple-Input Multiple-Output，MIMO）系统能够提供更大的系统容量、更高的频谱效率以及更加可靠的链路稳定性，是5G/B5G無线通信系统的关键技术之一[1]。相比于传统的MIMO技术在无线链路的发端和收端仅支持2～8根天线，大规模MIMO系统基站配备了成百上千根天线，能够同时同频服务几十个单天线用户[2]。然而，随着基站天线和用户数量的急剧增加，大规模MIMO信号检测在计算复杂度和硬件实现等方面面临严峻挑战。

在MIMO系统中，最优的信号检测问题实际上可以归结为非确定性多项式（Nondeterministic Polynomially，NP）问题。因此，现有的信号检测算法设计主要解决这一问题，如最大似然（Maximum Likelihood，ML）准则、最大后验概率（Maximum A Posteriori，MAP）准则等。然而，一方面，随着天线数量的急剧增长，执行性能最优的ML和MAP都需要极高的计算复杂度;另一方面，最优信号检测器在硬件实现方面也面临着极大挑战。同时，科技的发展催生了新兴应用场景，如大规模机器通信（massive Machine Type Communications，mMTC）、高可靠低时延通信（ultra Reliable Low Latency Communications，uRLLC）以及增强型移动宽带（enhance Mobile Broadband，eMBB），导致仅具有中等规模的信号检测器在这些应用中不再适用。因此，低复杂度且性能接近最优的信号检测算法受到了学术界和工业界的广泛关注。

相比之下，线性信号检测算法如最小均方误差（Minimum Mean Square Error，MMSE）算法、破零（Zero Forcing，ZF）算法等具有良好的性能，包括计算复杂度折中、便于实现等，使其在工程上获得了应用广泛。然而，在大规模MIMO系统中，线性信号检测算法涉及高复杂度的大维度矩阵求逆操作，并不适用于时延要求较高的5G系统[3]。利用大规模MIMO信道硬化特性，Neumann序列展开（Neumann Series Approximation，NSA）算法可以有效减少矩阵求逆的复杂度[4]。然而，当Neumann序列展开阶数[K>2]时，该算法仍然存在计算复杂度较高的问题。为了减少计算复杂度，文献提出了高斯-赛德（Gauss-Seidel，GS）迭代算法[5]。相比于Jacobi算法，GS迭代算法明显具有更快的收敛速率。为了提升信号检测性能，文献还提出了一种基于GS迭代算法的软输出信号检测算法[5]。然而，现有的基于GS迭代算法的检测器依然面临着收敛速率较慢和计算复杂度较高等问题。

针对上述问题，本文提出了一种基于wNSA-Gauss-Seidel的大规模MIMO系统软输出信号检测算法。它充分利用MMSE滤波器矩阵的对角占优特性，将2阶加权的Neumann序列展开（weight Neumann Series Approximation，wNSA）算法作为GS的软输出信号检测算法的迭代初值，从而能够以较低的计算复杂度显著提升收敛速率，且这种性能优势在具有挑战性的信道传播环境中更加明显。

1 系统模型

在一个多用户大规模MIMO上行系统中，基站配备了[B]根天线，在同一时频资源内服务[U]个单天线用户，其中[B?U]。假设用户端发送的数据向量[s=[s1，s2，…，sU]∈ΩU]，其中[Ω]对应于[2m-QAM]调制星座图，那么基站接收端的接收信号[y]可以写成：

式中：[y=[y1，y2，…，yB]T∈?B×1];[H∈?B×U]表示信道矩阵;[n∈?B×1]表示接收端噪声，其元素服从均值为0、方差为[σ2n]的复高斯分布。假设基站端能够获得完美信道状态信息，且发送信号的归一化方差为[Es=E[|si|2]=1]，那么每根接收天线的平均信噪比为[SNR=UEs/N0][4]。

2 软输出MMSE数据检测

文献指出，在大规模MIMO上行系统中，当[B?U]时，低复杂度的MMSE算法被證实具有接近最优的系统性能[6-7]。若接收端采用MMSE线性检测器，则在基站处对发送信号进行估计：

式中：[W=G+N0IU]为正规化Gram矩阵;[G=HHH]为Gram矩阵;[yMF=HHy]为匹配滤波器输出。

为了便于求解对数似然比（Likelihood Rate，LLR），式（2）可以重写为：

式中：[U=W-1G]为等效信道矩阵。

根据式（3），基站估计得到的第[i]个用户发送的信息为[si=μisi+ti]，其中[μi=Uii]代表有效信道增益和，[ti]代表噪声干扰值（Noise Plus Interference，NPI）。由于高阶调制存在一定的性能损失，文献提出一种基于格雷码映射规则的近似LLR计算[5]。为此，第[i]个用户发送的第[b]个比特数的对数似然比可以通过式（4）计算得到：

式中：[zi=si/μi]和[ρi=μi/（1-μi）]代表信干噪比;[Ω0b]和[Ω1b]分别表示[Ω]中第[b]个比特数为0和1;函数[λb（zi）]可以从格雷码映射中计算得到。

3 wNSA-Gauss-Seidel信号检测算法

3.1 Gauss-Seidel检测算法

在大规模MIMO系统中直接计算[W-1]，需要的计算复杂度约为[O（U3）]，意味着系统拥有极大的计算负担。GS迭代算法能够高效求解[U]维线性等式[Ax=b]，其中[A]为[U×U]维的矩阵，[x]为解向量，[b]为测量向量。由于[W=HHH+N0IU]为对称正定矩阵，因此发送信号可以通过GS迭代算法估计得到：

式中：[K]表示最大的迭代次数;[W=D+L+LH]，[D]、[L]以及[LH]分别表示矩阵[x]的对角矩阵、严格下三角矩阵和严格上三角矩阵;[s（0）]为迭代初值。

将式（5）进行变换，可得GS迭代算法的迭代矩阵为：

GS迭代算法迭代矩阵的谱半径明显小于Neumann算法迭代矩阵谱半径，故GS迭代算法相比于传统的Neumann算法拥有更快的收敛性能[8]。然而，由于缺乏信道的先验信息，迭代初值[s（0）]难以确定[9]。

3.2 快速收敛的迭代初值设计

基于前文的分析，由于缺乏先验信息和在大规模MIMO系统中[W=G+N0IU]为一个对角占优矩阵，目前大部分文献采用[O]向量或者[D-1yMF]向量作为GS迭代算法的迭代初值[s（0）][10]。但是，采用上述迭代初值后，GS迭代算法收敛性能改善程度仍然有限。

本文提出将加权Neumann序列作为GS迭代算法的迭代初值，设计得到wNSA-Gauss-Seidel算法，进一步提升收敛速率。

3.2.1 Neumann序列展开。根据相关定理[4]，[W-1]可以展开成Neumann序列，以减少计算复杂度。具体而言，当[limn→∞（-D-1E）n=0]或者[ρ（-D-1E）<1]时，[W-1]可以近似成[W-1≈n=0L-1（-D-1E）nD-1]，其中[W=D+E]，[D]表示矩阵[W]的对角矩阵。虽然Neumann序列展开式有利于工程实现，但是对于一些系统配置，[{ξ：ξ=B/U<5.8}]存在[ρ（-D-1E）>1][11]，故Neumann序列展开式不满足收敛条件而导致发散。同样地，Jacobi和Richard迭代算法也面临这一问题。为了解决此问题，本文将进一步优化序列拓展结构。

3.2.2 最优的wNSA展开算法。首先，矩阵[W]可以分解成[W=1γDIU-IU-γD-1W]，则逆矩阵[W-1]可以写成：

式中：[MwNSA，L]表示wNSA矩阵;[γ]为可调因子。当[L=2]时，[MwNSA，L=2γD-1-γ2D-1WD-1]。观察式（7）可知，[γ]值的选取很大程度上决定了wNSA矩阵逼近[W-1]的精度。为了达到最快的收敛速率，要实现迭代矩阵谱半径[ρ（IU-γD-1W）]的最小化。wNSA矩阵中，[γ]的最优值可以通过下述优化问题获得：

4 计算复杂度分析

在大规模MIMO上行系统中，由于大多数逼近线性MMSE的信号检测算法都需要预先计算正规化Gram矩阵[W]以及匹配滤波器[yMF]，因此本文主要聚焦于GS-wNSA检测算法逼近部分的计算复杂度。

①计算[MwNSA，2]：一个[U×U]的对角矩阵乘以一个[U×U]的矩阵，需要[2U2+2U]次复数乘法运算。由于[D-1WD-1]是Hermit矩阵，因此仅有下三角和上三角元素需要计算，则计算[MwNSA，2]所需的总复数乘法运算为[U2+2U]。

②计算[s（0）]：由于匹配滤波器[yMF]是一个[U×1]的向量，则需要[U2]次复数计算可以获得迭代初值[s（0）]。

③计算Gauss-Seidel迭代：考虑到[D+L]是一个下三角矩阵，则求解式（5）需要[KU2]次复数运算，其中[K]为迭代次数。由于本文所提到的迭代初值[s（0）]比较接近[W-1yMF]，因此所需的迭代次数[K]较小。

④计算LLR：用于计算LLR逼近的复杂度为[NLLR=U2+U]。

综上，wNSA-Gauss-Seidel算法总的复杂度约为[O（3+K）U2+3U]。

5 仿真与数据分析

本文研究wNSA-Gauss-Seidel算法的误比特率性能，并与精确的MMSE算法、GS迭代算法以及NSA算法进行对比分析。假设在一个未编码的大规模MIMO系统中，基站端具有完美的信道状态信息，信号采用64QAM调制方式。仿真中，本文主要考虑瑞利信道模型和空间相关信道模型[5]两种信道模型。其中，[a]表示基站端的相关系数，能够有效刻画信道的相关性。

图1给出了不同系统配置下wNSA-Gauss-Seidel算法的误码率性能。由图1可知，当[B=128、U=16]时，wNSA-Gauss-Seidel算法仅需要两次迭代就能够获得和精确MMSE算法几乎相同的性能。当基站天线数量不变、用户数量增加到32时，由于空间自由度减少，wNSA-Gauss-Seidel算法需要增加迭代次数（即[K=4]）才能收敛到精确MMSE性能，但是复杂度依然较低。可见，wNSA-Gauss-Seidel算法在不同的系统配置下均具有良好的收敛性能。

图2对比了wNSA-Gauss-Seidel算法与GS迭代算法和NSA算法的误码率性能。仿真结果表明，当[B=128、U=32]时，NSA算法由于不满足收敛条件导致发散，而基于GS迭代的软输出信号检测算法具有明显更优的性能。同时，相比于GS迭代算法和NSA算法，wNSA-Gauss-Seidel算法通过计算最优加权因子，能够显著提升系统收敛性能，从而达到精确MMSE算法的误码率性能。

图3进一步在空间相关信道下对比了wNSA-Gauss-Seidel算法與GS迭代和NSA算法的误码率性能。仿真结果表明，当[B=128]、U=32、空间相关系数[a=0.4]时，所有算法的误码率性能均有所降低，但是wNSA-Gauss-Seidel算法依然能够以较低的复杂度（5次迭代）获得和精确MMSE算法几乎相同的性能，且误码率性能明显优于GS迭代迭代算法。此外，NSA算法由于不满足收敛条件导致无法收敛。可见，所提wNSA-Gauss-Seidel算法很好地在计算复杂度和误码率性能之间取得了平衡。

以及MMSE算法的误码率性能比较

6 结论

本文提出了一种基于wNSA-Gauss-Seidel的大规模MIMO系统软输出信号检测算法。在传统Neumann序列展开算法的基础上，笔者研究了加权Neumann序列展开算法，并将2阶加权Neumann序列作为Gauss-Seidel算法的迭代初值，设计得到了wNSA-Gauss-Seidel算法，显著提升了收敛速率。仿真结果表明，相比于现有的大规模MIMO线性迭代信号检测算法，基于wNSA-Gauss-Seidel的信号检测算法不仅在收敛性和误码率性能方面具有明显的优势，而且在不同系统配置和具有挑战性的信道传播环境中均能够以较低的复杂度获得接近精确MMSE信号检测算法的性能。

参考文献：

[1]RUSEK F.Scaling up MIMO：opportunities and challenges with very large arrays[J].IEEE Signal Processing Magazine，2013（1）：40-60.

[2]SHAHABUDDIN S，HAUTALA I，JUNTTI M，et al.Admm-based infinity-norm detection for massive MIMO：Algorithm and vlsi architecture[J].IEEE Transactions on Very Large Scale Integration（VLSI） Systems，2021（99）：1-13.

[3]HUI W，YA J，YI S.An efficient detector for massive MIMO based on improved matrix partition[J].IEEE Transaction on Signal Processing，2021（2）：1-15.

[4]WU M，YIN B，WANG G，et al.Large-scale MIMO detection for 3GPP LTE：algorithms and FPGA implementations[J].IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing，2014（5）：916-929.

[5]DAI L.Low-complexity soft-output signal detection based on Gauss-Seidel method for uplink multi-user large-scale MIMO systems[J].IEEE Transactions on Vehicular Technology，2015（10）：4839-4845.

[6] 戚晨皓， 黃永明，金石.大规模MIMO系统研究进展[J].数据采集与处理， 2015（3）：544-551.

[7]DENG Q.High-throughput signal detection based on fast matrix inversion updates for uplink massive multiuser multiple-input multi-output systems[J].IET Communications，2017（14）：2228-2235.

[8]BURGER M，KALTENBACHER B，NEUBAUER A.Iterative solution methods[M].New York：Springer International Publishing，2016：1-6.

[9]ZHANG C，WU Z，STUDER C，et al.Efficient soft-output gauss-seidel data detector for massive mimo systems[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems I Regular Papers，2018（1）：1-12.

[10]QIN X，YAN Z，HE G.A near-optimal detection scheme based on joint steepest descent and Jacobi method for uplink massive MIMO systems[J].IEEE Communications Letters，2016（2）：276-279.

[11]毛建军，于大群，焦永昌. 一种用于5G的大规模MIMO天线阵设计[J].现代雷达， 2016（2）：66-69.

[12]WANG L，ZHENG B Y.Random matrix theory and wireless communications[J].Journal of Nanjing University of Posts and Telecommunications（Natural Science），2010（3）：90-96.