永磁同步电机的模型预测与反演控制

谭天乐，尹俊雄

(1. 上海航天控制技术研究所，上海 201109；2. 上海市空间智能控制技术重点实验室，上海 201109)

1 引言

永磁同步电机(Permanent Magnet Synchron-ous Motor，PMSM)具有时变、非线性、强耦合的特点。因其功率密度高、损耗低以及便于维护等优点被广泛应用于高精度位置伺服系统中。

随着计算机、电力电子以及传感器技术的发展，目前针对PMSM的控制上有多种控制方法。其中，PID控制理论成熟，工程易实现。但PID控制易受参数及负载变化等因素影响，难以满足特定的位置、速度跟踪精度要求，常结合其它算法动态调整PID参数改善动态性能[1，2]。模糊控制[3，4]按模糊规则调整参数，计算控制量，具有较好的动稳态性能，通常需要先验知识和经验；鲁棒控制[5，6]根据参数不确定性及干扰摄动范围，通过极小值原理和线性矩阵不等式等方法设计控制器，适用于不确定性的模型和扰动控制；自抗扰控制[7-10]不依赖于模型，算法简单、超调低，收敛快且精度高，鲁棒性较强，但需整定的参数较多；滑模变结构控制[11-15]需预先设计滑模面和趋近律，具有强鲁棒性，但须处理抖振问题；神经网络控制[16-18]通过学习优化参数，但计算量大，无法保证实时性。预测控制[19-21]通过预测模型、滚动优化和反馈校正，求解目标优化函数得到控制量，具有响应速度快、静差小、抗扰动能力强的特点。

以上控制系统常采用位置环、速度环和电流环三环控制。预测控制外的控制方法均基于当前状态偏差，从稳定性角度出发，利用Lyapunov函数或零极点分布等方法设计控制器。预测控制基于未来状态偏差和与性能相关优化函数的求解，其分析设计同样依赖稳定性。

本文在数字控制系统中，分析了PMSM的电气与机械特性，分别建立了电流、转速和转角变化的预测模型，提出了转速转角同步控制的模型预测与反演控制(Model Predictive and Inversive Control，MPIC)方法，设计了干扰及负载补偿控制策略。考虑电机状态测量及参数误差以及驱动、摩擦等实际工程因素，仿真验证了MPIC方法的有效性。

2 电气与机械特性建模

在d-q坐标系下，电机的定子电压方程为

(1)

定子磁链方程为

(2)

(3)

其中，ψd、ψq为定子磁链的d-q轴分量，Ld、Lq为d-q轴电感，R为定子绕组电阻，ωm为与转子机械角速度，λ为转子永磁体在定子侧的磁通幅值，p为极对数。式(3)中，A1反映零输入下电流变化率与当前电流的关系，B1反映输入电压对电流变化率的影响，F反映了永磁体相关反电势部分对电流变化的影响。

机械特性方程为

Te=1.5p[λiq+(Ld-Lq)idiq]

(4)

(5)

(6)

式中，θm为转子角位置，Te为电磁转矩，J为转子转动惯量，B为粘滞摩擦系数，Tl为负载转矩。对于隐极式PMSM，采用id=0矢量控制策略(同最大转矩电流比控制)，有

Te=1.5pλiq

(7)

由式(5)、(6)、(7)整理为状态空间形式为

(8)

3 模型预测与反演控制律

3.1 电流控制

利用双线性变换[19]对式(3)进行离散化，有

I(k+1)=Ad1(k)I(k)+Bd1U(k)+F(k)

(9)

其中，k代表当前时刻采样值，k+1代表下一节拍预测值

Ts为采样周期。

I(k+2)=Ad1(k+1)[Ad1(k)I(k)+Bd1U(k)+

(10)

令参考电流Ir-I(k+2)=0，且在Ts较小情况下可认为ωm(k)=ωm(k+1)，则有式(10)的解

(11)

3.2 转角转速同步控制

对式(8)进行状态转移求解，并利用幂级数近似，得到预测模型

X(k+1)=Ad2X(k)+Bd2U2(k)+HdQ(k)

(12)

其中

τ为控制周期，可根据精度要求和计算能力合理取舍高幂次项，易知系统状态完全可控。

引理1[22]：若A∈Cm×n，b∈Cm，则线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是A-Ab=b，此时Ax=b的通解是x=A-b+(In-A-A)y，其中，A-为A的Moor-Penrose广义逆，In为单位阵，y∈Cm为任意向量。

不考虑负载HdQ(k)的作用，预测两拍，令参考转角转速Xr-X(k+2)=0，由引理1，得到

(13)

(14)

由于负载及扰动的影响，在式(14)给出的控制电流作用下，将会出现状态偏差(k～k+2期间认为负载近似不变)ΔX(k+2)=Xr-X(k+2)=-(Ad2+I2)HdQ(k)，设计负载补偿控制输入

(15)

则系统在一定范围外界干扰情况下仍能保持/跟踪期望状态。由式(14)(15)得到控制输入为

(16)

其中，Kc=diag([kc1kc2])为正定的2维对角阵，用以调节补偿程度。

以上即为PMSM的模型预测与反演控制方法。模型预测与反演控制是一种基于系统能控性分析的控制方法。不同于采用优化目标函数求解进行的常规预测方法，该方法基于受控对象的运行规律，预测和估计系统未来的状态偏差，基于外界作用对系统状态所产生影响，反向推演使系统达到期望目标的控制量，设计状态转移的预测及反演控制器实现系统状态的跟踪与稳定。

控制系统框图如图1所示。所测量的三相电流经Clark变换从自然坐标系abc到两相静止坐标系α-β，再经Park变换至两相旋转坐标系d-q，得到d、q轴电流。

图1 PMSM的MPIC系统框图

其中Clark变换采用幅值不变约束，反Park变换所用电角度为k时刻采样对k+1时刻的预测值θe(k+1)=p[θm(k)+τωm(k)]。机械角位置θm、角速度ωm可通过光电编码器测量计算得到，通过空间矢量脉宽调制(Space Vector Pulse Width Modulation，SVPWM)[23]驱动逆变器供电，使电机运转。

4 仿真及分析

仿真用的电机参数如表1所示。

表1 永磁同步电机及控制器参数

电机从零转速、零转角开始，跟踪给定的位置指令

(17)

考虑实时摩擦力矩Ff。

(18)

调节控制器补偿系数Kc=[2000 0.002]。

仿真了PID控制以作对比，PID参数为：位置环：Pθ=250；速度环：Pω=10，Iω=100；电流环：Pi=13.2，Ii=5.775。

采样周期均为10-5s，固定仿真长10-5s，电机初始负载5N·m，1s时加入5Nm常值干扰，仿真结果如下所示。

由图2可知，对于位置控制，MPIC与PID控制对负载扰动和摩擦力均具有较好的鲁棒性，后者对时变位置的跟踪能力较弱，前者具有较强的动态跟踪能力，跟踪误差在范围内。

图2 正弦信号角位置跟踪曲线及跟踪误差

由图3易知，对于速度控制，MPIC的速度控制误差较小，在rad/s范围内，并具有较强的鲁棒性。

图3 正弦速度跟踪曲线及其跟踪误差

考虑电机运行温升造成的参数变化，如温度升高60℃，电阻增大30%，电感Ld增大0.3%，Lq增大4.3%，同时考虑参数转动惯量J误差10%，磁通幅值λ误差5%，参数值见表1，仿真结果如图4所示。

图4 参数偏差情况下控制效果对比

由图可知，所设计的控制器对于系统参数具有一定的鲁棒性。

令电机转角从0 rad控制至10 rad并保持，转角转移过程采用5次多项式规划[24]，仿真结果如图5所示。

图5 阶跃响应

可知MPIC可较快跟踪参考输入，在恒值负载扰动下快速收敛于参考值，具有较强的鲁棒性。

以上仿真结果表明，PMSM的MPIC方法具有较强的动态跟踪能力和稳态保持能力，设计的补偿依据状态偏差直接反演控制指令，区别于传统的对负载、干扰已知的前馈补偿，使系统有较强的鲁棒性。

5 结论

本文建立了永磁同步电机的离散时间控制系统模型，通过模型外推的方法预测和估计系统状态偏差，反演电流、电压指令，提出永磁同步电机的模型预测与反演控制方法。仿真结合SVPWM算法控制逆变器驱动电机，考虑工程中电机参数误差、摩擦力、负载及扰动的影响，并与PID控制相比较，表明MPIC方法具有较好的轨迹跟踪能力、控制精度及鲁棒性。