气体变质量问题

余建刚

2021年广东省高中学业水平选择性考试第15题，试题如下：“为了方便抽取密封药瓶里面的药液，护士一般先用注射器注入少量气体到药瓶里面然后再抽取药液，如图1所示，某药瓶的容器为0.9 mL，内装有0.5 mL的药液，瓶内气体的压强为1.0×105 Pa，护士把注射器内横截面积约为0.3 cm2，长度为0.4 cm，压强为1.0×105 Pa的气体注入药瓶，若瓶内外温度相同且保持不变，气体视为理想气体，求此时药瓶内气体的压强.”

一、试题评析

本题以日常生活中鲜活常见的实例，原理考查情境化，回归生活，考查变质量气体问题中的充气模型，根据题目条件可知这是等温变化过程，找出两部分混合气体初始状态的压强、体积以及末状态的体积，再结合气体问题常见处理方法如等效法、分态式法或克拉伯龙方程，即可以得到答案.具体有以下两种解法：

方法一、设原瓶内气体体积为V1，则V1=（0.9-0.5）mL=0.4 mL，

注射器内为V2=LS=0.3×0.4 mL=0.12 mL

对瓶中气体及注射器气体作为研究对象，即可等温压缩过程.

根据波意耳定律，得

P1（V1+V2）=P2 V1

得P2 =1.3×105 Pa

方法二、設原瓶内气体体积为V1，则

V1=（0.9-0.5）mL=0.5 mL，

注射器内为V2=LS=0.3×0.4 mL=0.12 mL

根据克拉伯龙方程，对原瓶内气体有P1V1=n1RT，对注射器气体P1V2=n2RT，

对注入气体后瓶内气体有P2V1=n3RT

由n1+n2=n3得P1V1+P1V2=P2V1

得P2 =1.3×105 Pa

二、气体变质量问题的常见解题方法与策略

理想气体实验定律的研究对象必须是一定量的封闭气体，即质量不变的气体. 但充气、放气或两种气体相互混合这类题出现一个迷惑点，就是变化前后，容器内的气体质量发生改变. 这类题的难点是正确找出质量不变的研究对象. 对理想气体变质量问题，可根据不同情况用克拉珀龙方程、理想气体状态方程和理想气体实验定律进行解答.

方法一、化变质量为恒质量——等效法

在充气、抽气的问题中可以假设把充进或抽出的气体包含在气体变化的始末状态中，即用等效法把变质量问题转化为恒定质量的问题.

方法二、应用克拉珀龙方程

克拉珀龙方程是一气体状态方程为PV=nRT，这个方程有4个变量：p是指理想气体的压强，V为理想气体的体积，n表示气体物质的量，而T则表示理想气体的热力学温度;还有一个常量：R为理想气体常数，R=8.31J/mol·K. 注意对气体的初、末状态可以分别列出克拉珀龙方程.

方法三、应用理想气体分态式方程

若理想气体在状态变化过程中，质量为m的气体分成两个不同状态的部分m1、m2，或由若干个不同状态的部分m1、m2的同种气体的混合，则应用克拉珀龙方程=R易推出：+=+

上式表示在总质量不变的前提下，同种气体进行分、合变态过程中各参量之间的关系，可谓之“分态式”状态方程.

方法四、应用密度方程

一定质量的气体，若体积发生变化，气体的密度也随之变化，由于气体密度？籽=，故将气体体积V=代入状态方程并化简得：=，这就是气体状态发生变化时的密度关系方程.

此方程是由质量不变的条件推导出来的，但也适用于同一种气体的变质量问题;当温度不变或压强不变时，由上式可以得到：=和？籽1T1=？籽2T2，这便是玻意耳定律的密度方程和盖·吕萨克定律的密度方程.

方法五、道尔顿气体分压定律

对气体混合问题求混合后的总压可以采用道尔顿气体分压定律，即某一气体在气体混合物中产生的分压等于它单独占有整个容器时所产生的压强;而气体混合物的总压强等于其中各气体分压强之和，这就是气体分压定律.

三、典题例析

1. 充气中的变质量问题.

设想将充进容器内的气体用一根无形的弹性口袋收集起来，那么当我们取容器和口袋内的全部气体为研究对象时，这些气体状态不管怎样变化，其质量总是不变的. 这样，我们就将变质量的问题转化成质量一定的问题了.

【例1】一个篮球的容积是2.5L，用打气筒给篮球打气时，每次把105 Pa的空气打进去125cm3. 如果在打气前篮球里的空气压强也是105 Pa，那么打30次以后篮球内的空气压强是多少Pa？（设在打气过程中气体温度不变）

解析： 由于每打一次气，总是把ΔV体积，相等质量、压强为p0的空气压到容积为V0的容器中，所以打n次气后，共打入压强为p0的气体的总体积为nΔV，因为打入的nΔV体积的气体与原先容器里空气的状态相同，故以这两部分气体的整体为研究对象. 取打气前为初状态：压强为p0、体积为V0+nΔV;打气后容器中气体的状态为末状态：压强为pn、体积为V0.

令V2为篮球的体积，V1为n次所充气体的体积及篮球的体积之和

则V1=2.5L+30×0.125L

由于整个过程中气体质量不变、温度不变，可用玻意耳定律求解.

p1×V1=p2×V2

p2==pa=2.5×105Pa

2. 抽气中的变质量问题.

用打气筒对容器抽气的的过程中，对每一次抽气而言，气体质量发生变化，其解决方法同充气问题类似：假设把每次抽出的气体包含在气体变化的始末状态中，即用等效法把变质量问题转化为恒定质量的问题.

【例2】用容积为ΔV的活塞式抽气机对容积为V0的容器中的气体抽气，如图2所示.

设容器中原来气体压强为p0，抽气过程中气体温度不变.求抽气机的活塞抽动n次后，容器中剩余气体的压强pn为多大？

解析：如圖2是活塞抽气机示意图，当活塞下压，阀门a关闭，b打开，抽气机气缸中ΔV体积的气体排出. 活塞第二次上提（即抽第二次气），容器中气体压强降为P2. 根据玻意耳定律得

第一次抽气

p0 v0 = p1（v0 +Δv），p1=p0

第二次抽气

p1v0 = p2（v0+Δv），p2 =（）2p0

以此类推，第n次抽气容器中气体压强降为pn=（）np0.

【拓展】某容积为20L的氧气瓶里装有30atm的氧气，现把氧气分装到容积为5L的小钢瓶中，使每个小钢瓶中氧气的压强为4atm，如每个小钢瓶中原有氧气压强为1atm. 问最多能分装多少瓶？（设分装过程中无漏气，且温度不变）

解析：设最多能分装N个小钢瓶，并选取氧气瓶中的氧气和N个小钢瓶中的氧气整体为研究对象.

按题设，分装前后温度T不变.

分装前整体的状态

p1 = 30atm，V1 = 20L

p2 = 1atm，V2 = 5NL

分装后整体的状态：

p11 = p21 = 4atm，V11  = 20L，V21  = 5NL

由此有分类式：

p1V1+p2V2 =p11V11= p21V21

代入数据解得：

N=34.7，取34瓶

说明：分装后，氧气瓶中剩余氧气的压强p11应大于或等于小钢瓶中氧气应达到的压强p21，即p11≥p21，但通常取p11≥p21. 千万不能认为p11=0，因为通常情况下不可能将氧气瓶中的氧气全部灌入小钢瓶中.

3. 浮力中的变质量问题.

对于热气球问题，经常会涉及到气球内气体的密度问题，而气球内气体一加热便有部分气体“跑”到球外，对此变质量问题，若用常规方法则会比较繁琐，可以用密度方程，压强不变时，温度与密度成反比，即？籽1T1 = ？籽2T2，便可迎刃而解.

【例3】一热气球体积为V，内部充有温度为Ta的热空气，气球外冷空气的温度为Tb. 已知空气在1个大气压、温度T0时的密度为ρ0，该气球内、外的气压始终都为1个大气压，重力加速度大小为g.

（1）求该热气球所受浮力的大小;

（2）求该热气球内空气所受的重力;

（3）设充气前热气球的质量为m0，求充气后它还能托起的最大质量.

【解析】（1）设1个大气压下质量为m的空气在温度T0时的体积为V0，密度为ρ0 =……①

温度为T时的体积为VT，密度为：ρ（T）=……②

由盖-吕萨克定律可得：=……③

联立①②③解得：ρ（T）= ρ0 ……④

气球所受的浮力为：f = ρ（Tb）gV……⑤

联立④⑤解得：f = ……⑥

（2）气球内热空气所受的重力：G= ρ（Ta）Vg ……⑦

联立④⑦解得：G= Vg ρ0 ……⑧

（3）设该气球还能托起的最大质量为m，由力的平衡条件可知：mg = f - G - m0g……⑨

联立⑥⑧⑨可得：m=--m0

答案：（i）   （ii）   （iii）--m0

4. 气体混合问题.

两个或两个以上容器的气体混合在一起的过程也是变质量气态变化问题. 处理此类问题，通常有两种解法，一种是巧选研究对象法;另一种是道尔顿分压定律. 下面分别介绍一下两种方法的具体应用.

（1）巧选研究对象法.

两个相连的容器中的气体都发生了变化，对于每一个容器而言则属于变质量问题，但是如果能巧妙的选取研究对象，就可以把这类变质量问题转化为定质量问题处理.

【例4】如图3所示，A、B两容器容积相同，用细长直导管相连，二者均封入压强为p，温度为T 的一定质量的理想气体，现使A内气体温度升温至T′，稳定后A容器的压强为多少？

解析：因为升温前后，A、B容器内的气体都发生了变化，是变质量问题，我们可以把变质量问题转化为定质量问题. 我们把升温前整个气体分为（V-ΔV）和（V+ΔV）两部分（如图4所示），以便升温后，让气体（V-ΔV）充满A容器，气体（V+ΔV）压缩进B容器，于是由气态方程或气体实验定律有：

= ……①

ρ（V+ΔV）=P ′V……②

联立上面连个方程解得：P ′=p.

【例5】某教室内的空间为50m3，温度为17℃，大气压强为76cmHg，室内空气质量为60kg。由于使用暖气，一段时间后，温度恒为27℃，大气压为76cmHg，则教室内空气的质量变为多少？

分析：本题主要考查密度、气体实验定律，意在考查考生的理解能力和推理能力，采用假设和等效的方法假设升温后"跑掉"的空气全部用容积为ΔV的大容器装起来，使其内部空气的压强恰好也是p0=76cmHg，温度为T2=（27 + 273）K=300K，则可等效为：体积V=50m3、温度T1=（17 + 273）K=290K的空气经过等压升温后变成体积为V+ΔV、温度为T2的空气，根据盖-吕萨克定律建立方程求解。

解析：假设升温后“跑掉”的空气全部用容积为ΔV的大容器装起来，使其内部空气的压强恰好也是p0=76cmHg，温度为T2=（27+273）K=300K，

则可等效为：体积V=50m3、温度T1=（17+273）K=290K的空气经过等压升温后变成体积为V+ΔV、温度为T2的空气。

根据盖-吕萨克定律有=;

原来教室内空气的质量m0=60kg，升温后教室内空气的质量变为m=·V.

得m=m0=58kg.

（2）巧用道尔顿分压定律.

两个相连的容器中的气体混合在一起，可以先单独一种气体“膨胀”到整个容器时所产生的压强;再求出另一种气体“膨胀”到整个容器时所产生的压强，根据道尔顿分压定律，气体混合物的总压强等于其中各气体分压强之和.

【例6】（2020·新课标Ⅰ）甲、乙两个储气罐储存有同种气体（可视为理想气体）. 甲罐的容积为V，罐中气体的压强为p;乙罐的容积为2V，罐中气体的压强为p. 现通过连接两罐的细管把甲罐中的部分气体调配到乙罐中去，两罐中气体温度相同且在调配过程中保持不变，调配后两罐中气体的压强相等. 求调配后：

（1）两罐中气体的压强;

（2）甲罐中气体的质量与甲罐中原有气体的质量之比.

解析：（1）气体发生等温变化，对甲乙中的气体，可认为甲中原气体有体积V变成3V，乙中原气体体积有2V变成3V，则根据玻意尔定律分别有pV=p1·3V，p·2V=p2·3V

则pV+p·2V=（p1+p2）×3V

根据道尔顿分压定律，甲乙中气体最终压强P ′=p1+p2=p.

（2）若调配后将甲气体再等温压缩到气体原来的压强为p，则p′V=pV′，计算可得V′=V.

由密度定律可得，质量之比等于==.

责任编辑 李平安