高考中概率问题的常考题型

童其林

概率是研究随机现象规律的数学分支，它为人们从不确定性的角度认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，为统计学发展提供理论基础. 概率是新课程高考的重要内容，从2021年及2020年全国新高考Ⅰ卷对概率的考查，可以发现对此内容的考查有所拓展，比如对相互独立事件的考查，积事件的概率公式的应用等. 下面先分析和解答2021年全国新高考Ⅰ卷第8题，然后再全面了解必修课程中概率问题的考点和常考题型，希望对大家的复习备考有帮助.

例1.（2021年全国新高考Ⅰ卷第8题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ）

A. 甲与丙相互独立   B. 甲与丁相互独立

C. 乙与丙相互独立   D. 丙与丁相互独立

解析：判断两个事件是否相互独立的两种方法：

（1）根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件;

（2）定义法：通过式子P（AB）=P（A）P（B）来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A，B相互独立，这是定量判断.

本题用方法1较难判断，所以采用方法2进行判断. 这6个相同的分别标有数字1，2，3，4，5，6的球，从中有放回的随机取两次，可能的结果可以通过下表得到.

解析：P（甲）=，P（乙）=，P（丙）=，P（丁）==，

P（甲丙）=0≠P（甲）P（丙）=，P（甲丁）==P（甲）P（丁），

P（乙丙）=≠P（乙）P（丙）=，P（丙丁）=0≠P（丁）P（丙）=.

故选B.

点评：判断事件A，B是否独立，先计算对应概率，再判断P（A）P（B）=P（AB）是否成立.

例2.（2020年全国新高考Ⅰ卷第5题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（    ）

A. 62%   B. 56%   C. 46%   D. 42%

解析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A·B，

则P（A）=0.6，P（B）=0.82，P（A+B）=0.96，

所以P（A·B）=P（A）+P（B）-P（A+B）=0.6+0.82-0.96=0.46.

所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%. 故选C.

点评：本题考查了积事件的概率公式，属于基础题. 本题也可以类似地通过集合中元素个数的公式得出结论（必修1第13页），即对于两个有限集合A，B，有：

card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）.

从以上两例新高考对概率的考查，我们发现，概率问题很重视慨念的考查，考查的内容符合新课程标准，符合新课程理念. 因此，我们很有必要认真学习新课程标准.

一、课程标准对概率考查的内容要求

在新教材中，对概率的学习分为两部分，一部分在必修课程中，另一部分在选择性必修课程中. 而目前高三学生使用的是老教材，命题却按新的课程标准进行命制，所以把新课程标准对概率的要求罗列出来，清楚新高考概率的内容要求，对于把握新高考概率的命题走向显得很有意义.

1. 必修课程对概率考查的内容要求

本单元的学习，可以帮助考生结合具体实例，理解样本点、有限样本空间、随机事件，会计算古典概型中简单随机事件的概率，加深对随机现象的认识和理解.

内容包括：随机事件与概率、随机事件的独立性. 具体来说，内容包括：“随机事件和概率”——有限样本空间与随机事件，事件的关系和运算，古典概型，概率的基本性质;“事件的相互独立性”;“频率與概率”——频率的稳定性，随机模拟;“概率的初步应用”.

（1）随机事件与概率

①结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系. 了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件并、交运算.

②结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概率模型中随机事件的概率.

③通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.

④结合实例，会用频率估计概率.

（2）随机事件的独立性

结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义. 结合古典概型，利用独立性计算概率.

2. 选择性必修课程对概率考查的内容要求

本单元的学习，可以帮助学生了解条件概率及其独立性的关系，能进行简单计算;感悟离散随机变量及其分布列的含义，知道可以通过随机变量更好地刻画随机现象;理解伯努利试验，掌握二项分布，了解超几何分布;感悟服从正态分布的随机变量，知道连续型随机变量;基于随机变量及其分布解决简单实际问题.

内容包括：随机事件的条件概率，离散型随机变量及其分布列，正态分布.

（1）随机事件的条件概率

①结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率.

②结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系.

③结合古典概型，会利用乘法公式计算概率.

④结合古典概型，会利用全概率公式计算概率.了解贝叶新公式.

（2）离散型随机变量及其分布列

①通过具体实例，了解随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字征值（均值、方差）.

②通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单实际问题.

③通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单实际问题.

（3）正态分布

①通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量. 通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征.

②了解正态分布的均值、方差及其含义.

全国新高考Ⅰ卷在必修课程中，以随机现象的数学度量——概率为主题，培养学生通过概率模型认识和分析随机现象的能力，提升数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理的科学素养.

二、概率问题常考题型例析

下面针对必修课程对概率考查的内容要求，举例说明概率问题常考题型.

1. 事件类型的判断及随机事件的关系

例3. 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件.

（1）中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军.

（2）出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯.

（3）若x∈R，则x2+1≥1.

（4）抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.

解析：由题意知（1）（2）中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件;（3）中事件一定会发生，是必然事件;由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，所以（4）中事件不可能发生，是不可能事件.

点评：可能发生，也可能不发生的事件叫是随机事件;不可能发生的事件叫不可能事件;一定会发生的事件叫必然事件.

例4. 把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”（ ）

A. 是对立事件        B. 是不可能事件

C. 是互斥但不对立事件        D. 不是互斥事件

解析：显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥不对立事件，故选C.

点评：判断互斥、对立事件的2种方法：

例5. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件.

（1）恰有1名男生与恰有2名男生;（2）至少有1名男生与全是男生;

（3）至少有1名男生与全是女生;（4）至少有1名男生与至少有1名女生.

解析：判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生;判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生.

（1）因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件;当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件.

（2）因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件.

（3）因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥;由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件.

（4）由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件.

例6.（多选题）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为 1 和2 ）， 2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球. 设事件R1=“第一次摸到红球”， 事件R=“两次都摸到红球”，事件G=“两次都摸到绿球”，事件M=“两球颜色相同”，事件= N“两球颜色不同”，则（ ）

A. R1？哿R  B. R∩G=？覫  C. R∪G=M   D. M=

解析：在一次实验中，“第一次摸到红球”，第二次可能摸到红球，也可能摸到绿球，所以R？哿R1，A错.

在一次实验中，事件R=“两次都摸到红球”，事件G=“两次都摸到绿球”，不能同时发生，所以R∩G=？覫，B正确.

“两球颜色相同”，包括“两次都摸到红球”或“两次都摸到绿球”，所以R∪G=M，C正确.

在一次实验中，“两球颜色相同”与“两球颜色不同”是对立事件，所以D正确.

故选BCD.

2. 随机事件的频率与概率

例7.（2019·北京高考）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

（1）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数;

（2）從样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率;

（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元. 结合（2）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.

解析：（1）由题知，样本中仅使用A的学生有27+3=30（人），仅使用B的学生有24+1=25（人），A，B两种支付方式都不使用的学生有5人. 故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40（人）. 估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为×1000=400.

（2）记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2000元”，则P（C）==0.04.

（3）记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2000元”.

假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由（2）知，P（E）=0.04.

答案示例1：可以认为有变化.理由如下：

P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2000元的人数发生了变化. 所以可以认为有变化.

答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下：

事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化.

点评：（3）是一个开放性问题，只要用数据说话，作出合理的解释都是可以的.

3. 古典概型

例8. 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________.

解析：记2名男生分别为A，B，3名女生分别为a，b，c，则从中任选2名学生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种情况，其中恰好选中2名女生有ab，ac，bc，共3种情况，故所求概率为.

点评：古典概型的概率求解步骤：（1）求出所有基本事件的个数n;（2）求出事件A包含的所有基本事件的个数m;（3）代入公式P（A）=求解. 本题也可以直接求解：记恰好选中2名女生为事件A，则P（A）==.

例9.（2021年全国高考数学甲卷，文理10）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）

A. 0.3   B. 0.5    C. 0.6 D. 0.8

解析1：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：

00111，01011，01101，01110，10011，10101，10110，11001，11010，11100共10种排法，

其中2个0不相邻的排列方法为：

1011，01101，01110，10101，10110，11010共6种方法，

故2个0不相邻的概率为=0.6，故选C.

点评：利用古典概型的概率公式可求概率.当情形不多的情况下，列出所有情形，再算出则2个0不相邻的情形，便可求解.

解析2：将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有=5种排法，若2个0不相邻，则有=10种排法，所以2个0不相邻的概率为==0.6. 故选C.

点评：采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.

4. 相互獨立事件的判断

例10. 一个袋子中有标号分别为 1， 2， 3， 4的4个球，除标号外没有其他差异. 采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球. 记事件A=“第一次摸出球的标号小于 3 ”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，事件C=“摸出的两个球的标号之和为6 ”，事件D=“摸出的两个球的标号之和不超过4”，则（ ）

A. A与 B相互独立  B. A与 D相互独立

C. B与 C相互独立   D. B与 D相互独立

解析：显然P（A）==. 用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，标号可能出现的情形有：12，13，14，21，23，

24，31，32，34，41，42，43，共12种.

“第二次摸出球的标号小于3”，此时第一次摸出球的标号可能小于3，也可能不小于3，所以P（B）=·+·==.

“摸出的两个球的标号之和为6”的情形只有24，42两种，所以P（C）==.

“摸出的两个球的标号之和不超过4”，有12，13，21，31四种，所以P（D）==.

而P（AB）=·=≠P（A）P（B）=，

A=“第一次摸出球的标号小于 3 ”且D=“摸出的两个球的标号之和不超过4”，只有12，21，13三种，所以P（AD）==≠P（A）P（D）=，

B=“第二次摸出球的标号小于3”且C=“摸出的两个球的标号之和为6 ”，只有42一种，所以P（BC）==P（B）P（C），

B=“第二次摸出球的标号小于3”且D=“摸出的两个球的标号之和不超过4”，只有12，13，21，31四种，所以P（BD）==≠P（B）P（D）=.

所以选C.

点评：本题与2021年全国新高考Ⅰ卷第8题类似，不同的是一个的有放回的抽取，一个是不放回抽取.为了进一步巩固此类问题的解法，不妨做做下面的问题：

变式：（多选题）袋子中有 5 个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出 2 个球，每次摸出一个球，则（    ）

A. 第一次摸到红球的概率为

B. 第二次摸到红球的概率为

C. 两次都摸到红球的概率为

D. 两次都摸到黄球的概率为

答案：ABD

5. 相互独立事件的概率

例11.（2019·全国卷Ⅱ）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.

（1）求P（X=2）;

（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.

解析：（1）X=2就是某局双方10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分.

因此P（X=2）=0.5×0.4+（1-0.5）×（1-0.4）=0.5.

（2）X=4且甲获胜，就是某局双方10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分.

因此所求概率为[0.5×（1-0.4）+（1-0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1.

例12. 某校举行数学竞赛，竞赛要完成三道题：代数，几何，组合各一道，竞赛记分方法如下：在规定时间内，答对代数题、组合题，每题均可获得30分，答对几何题，可获得40分，每答错一题，则扣除总分中的10分（假设答题只有对与错两种结果）. 根据以往统计结果，小明答对代数、几何、组合的概率分别为，，a，假设解答这三题结果彼此独立. 已知小明初始分为0分，设比赛结束后，小明的总分为X，求：

（1）已知小明在规定时间内，将三题都答对的概率为，求该学生恰能答对三题中的一题的概率;

（2）已知a=，求总分X不低于50分的概率.

解析：（1）小明三道题都答对概率为××a=，故a=，

恰能解决三道题中的一道题的概率：××××+××=

（2）若三道题均答对，则X=100，P（X=100）=××=;

若组合题答对，代数、几何恰有一道题答对，

则X=60，P（X=60）=××+××=;

若代数几何均答对，但组合未答对，则X=50，

P（X=50）=××=;

∴ P（X≥50）=++=.

6. 互斥事件、对立事件概率公式的应用

例13. 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个. 设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：

（1）P（A），P（B），P（C）;

（2）1张奖券的中奖概率;

（3）1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.

解析：（1）易知P（A）=，P（B）=，P（C）=.

（2）1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖. 设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M=A∪B∪C.

因为A，B，C两两互斥，

所以P（M）=P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）==.

故1张奖券的中奖概率为.

（3）设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，

所以P（N）=1-P（A∪B）=1-（+）=.

故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.

点评：事件A，B，C两两互斥，则P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）;事件A，B是对立事件，则P（A）+P（B）=1.

7. 随机模拟法估计概率

例14. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中;再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随機数：

907  966  191  925  271  932  812

458  569  683  431  257  393  027

556  488  730  113  537  989

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（   ）

A. 0.35 B. 0.25 C. 0.20 D. 0.15

解析：该运动员三次投篮恰有两次命中的随机数有191，271，932，812，393，共五组，所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率p==0.25，选B.

点评：应用随机数估计概率的步骤：（1）明确随机数的范围及数字与试验结果的对应关系;（2）产生随机数：（3）统计试验次数N及所求事件包含的次数n;（4）计算便可.

8. 游戏的公平性

例15. 某校高二年级（1）（2）班准备联合举办晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负责表演一个节目.（1）班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘（如图所示），设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜. 该方案对双方是否公平？为什么？

解析：该方案是公平的，理由如下：各种情况如表所示：

由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以（1）班代表获胜的概率P1==，（2）班代表获胜的概率P2==，即P1=P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的.

点评：游戏公平性的标准及判断方法：（1）游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同. 若相同，则规则公平，否则就是不公平的.（2）具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较.

在本例中，若把游戏规则改为自由转动两个转盘，转盘停止后，两个指针指向的两个数字相乘，如果积是偶数，那么（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜.游戏规则公平吗？为什么？

解析：不公平. 因为出现奇数的概率为=，而出现偶数的概率为=.

总之，必修课程中概率问题常考题型包括：事件类型的判断，样本点与样本空间，事件的运算，互斥事件与对立事件的判定，古典概型的概率计算，数学建模——古典概型的实际应用，互斥事件与对立事件概率公式的应用，相互独立事件的判断，相互独立事件同时发生的概率，概率的含义，游戏的公平性，随机模拟法估计概率等. 在新课程的理念下，弄明白概念，懂得知识从何处来，知识本身是什么，知识到何处去（应用），显得很重要.

责任编辑 徐国坚