常微分方程组对中立型微分差分方程组的逼近

李爱平

（忻州师范学院五寨分院 数学系，山西 五寨 036200）

部分学者研究了常微分方程组对时滞微分方程的逼近问题[1-4]。这种方法使我们能够将研究常微分方程的方法应用到时滞方程上，通过增加常微分方程逼近系统的维数来达到有限区间上的期望逼近精度[1-4]。

另一学者也对这类问题进行了研究[5]，方案中近似的中立型微分方程使用Pade近似的函数ex进行了讨论，逼近精度只建立在足够光滑的函数空间中[5]，因此，本研究主要针对连续函数和分段连续函数空间中具有哈尔意义的中立型微分-差分方程组的逼近问题。

1 问题陈述

设n和p为一定的自然数，设a和T为实数，设a

假设方程（1）满足以下条件：

2 延迟元素的近似

考虑某输入函数x（t）所产生的延迟的m个元素，并依次连接:

将它们与一个由常微分方程系统所描述的非周期元素序列联系起来

注意，当x（t）是满足Lipschitz约束条件的标量函数或导数在[a-τ,T]上以常数M为界时，方程（2）、（3）在文献[2]中被研究，而且

文献[3][4]中研究了x（t）∈C[α-τ,T]的情况，在这种情况下，有以下不等式成立：

研究在输入函数x:[α-τ,T]→Rn在方程（2）（3）是连续或分段连续情况下延迟元近似的准确性。

首先，考虑输入函数x（t），t∈[a-τ,T]是分段连续的情况，引入平滑函数

如果

使用函数x（t）的两项和形式表示，得到

如果输入函数x:[a-τ,T]→Rn，那么，通过类比，得到连续

在下面的陈述中总结了上面关于延迟元素近似的论点：

如果输入函数x（t），t∈[a-τ,T]是连续的，则

3 中性型系统的近似方案

在下面的陈述中总结了上面关于延迟元素近似的论点：在1和2的假设下，初始函数ϕ（t）为方程（1）的解在[a-τ,a]是连续存在并且是唯一的。然而，它只能在最简单的情况下以解析的形式被发现，并且没有有效的算法来近似地确定它。本研究考虑一种利用常微分方程序列柯西问题的解求其近似的方法。

在初始条件下

如果下列关系成立，则常微分方程组（8）近似中性型方程组（1）：

考虑中立型方程（1）初值问题解的封闭性问题和柯西问题（8）、（9）的解的封闭性问题，令

那么，如文献[3][9]所示，可以证明以下不等式为真：

考虑性质2、不等式（10）和定理1，对于t∈[a,t]，得到

其中

则有如下结论：

定理2：假设方程（1）满足条件（i）和（ii），对于m→∞和t∈[a,T]，中立型微分方程组（8），（9）的Cauchy问题的解近似于中立型（1）的微分方程组的初值问题的解。