基于复积分论柯西积分定理与柯西积分公式之异同

崔冬玲

摘 要： 柯西积分定理与柯西积分公式是计算复积分的理论基础，也是联系复积分与留数相关知识的纽带，在复变函数论中占有十分重要的地位。首先从应用条件及结论上说明两者间的联系，再通过实际例子论述两者之间的不同，以期在计算复积分时提供便捷。

关键词：复积分;柯西积分定理;柯西积分公式

柯西积分定理和柯西积分公式与复积分的关系密切。而复积分无论从定义的角度看还是从计算的角度看，它均离不开实函数中的第二类曲线积分。因此，对坐标的曲线积分非常成功地渗透到了复积分的计算中去，而此类积分的两个标志性的特点——格林公式、积分与路径无关等相关内容在复积分中也体现得淋漓尽致。特别是积分与路径无关的问题，映射到复积分中即为柯西积分定理。柯西积分公式是为一类闭曲线上的复积分提供一种比较便捷的算法，它较利用积分与路径无关以及复积分的基本算法有很大的优越性。但柯西积分定理与柯西积分公式在名称、应用条件和结论等方面既有相似之处，又各有特色。下面针对以上问题展开讨论，以免在应用两者时产生混淆，进而加深对柯西积分定理与柯西积分公式的理解。

一、柯西积分定理与柯西积分公式理论上的联系

柯西积分定理与柯西积分公式在名称上只差两个字，它们均与复积分的计算有关，更确切地说，它们的结论都是以复积分的形式体现的。它们都是既适合单连通区域又适合复连通区域。从某种意义上讲，柯西积分公式中包含了柯西积分定理的一些思想，具体体现在复连通区域的情形，即定理4中有定理2的影子。

从两者的使用条件上看，柯西积分定理要求在积分曲线及其内部解析，而柯西积分公式的条件略有降低，它只需在曲线所围区域内解析，在曲线及所围区域上连续即可，因此，柯西积分公式的结论比柯西积分定理的结论在形式上要复杂。

从两者的结论表达方式上看，柯西积分定理是被积函数在积分曲线所围的区域内解析，其积分值为零;而柯西积分公式中被积函数是一个分式，其在积分曲线所围的区域内有奇点，将作为分母，分子在积分曲线所围的区域内解析，整个的积分值等于。在具体的做题过程中，如何找到所谓的是关键所在。

总之，柯西积分定理与柯西积分公式在理论上既有相同之处，又有内在的联系，在具体应用的过程中要仔细甄别，以达到事半功倍的效果。

二、柯西积分定理与柯西积分公式应用上的不同

柯西积分定理是解决解析函数的复积分问题，而柯西积分公式是解决被积函数是分式的复积分问题。下面以实际的例子来说明二者在应用时的相异性，以及在计算复积分时所体现出来的优越性。

例1  计算下列积分值

（1）（2）

解：（1）根据柯西积分定理：

（2）根据柯西积分定理：

注：这两道题的被积函数的奇点均不在积分曲线内，即被积函数在积分曲线所围的区域内是解析的，完全符合柯西积分定理的条件，直接得出结果实0。

例2  计算

解：是被积函数的奇点，且都在曲线内部。

注：该题主要体现的是柯西积分公式的应用，它的特点在于：一方面是复连通区域上的柯西积分公式，另一方面是在整理被积函数的过程中，要将产生奇点的因式的系数化为1。具体体现在这个式子中，它不可以写成，因为柯西积分公式里被积函数的分母是，的系数是1。同样注意到两条曲线与是互不相交且完全含于曲线的，而且类似这样的曲线表达方式不唯一，只要满足互不相交且完全含于整个的积分曲线内即可，这个可以画图说明，也可以定量的写出，只要满足条件即可。

例3  计算，其中是包含0与2的简单闭曲线。

解：

注：该方法是柯西积分定理与柯西积分公式的一个结合。首先利用复连通区域上的柯西积分定理，这里注意两条曲线与是互不相交且完全含于曲线的，而且类似这样的曲线表达方式不唯一，只要满足互不相交且完全含于整个的积分曲线内即可，这个可以画图说明，也可以定量的写出，只要满足条件即可。然后利用复连通区域上的柯西积分公式，在用该公式的时候，先要弄清楚被积函数在积分区域内的奇点，让产生奇点的因式作为分母，且的系数为1，其他的部分都作为分子，再利用公式，在分子代数值时要注意，谁是奇点就代谁的值，最后算出结果。

总之，柯西积分定理与柯西积分公式确实在理论和实际应用中存在差异，但它们都是为计算曲线积分而服务的。在具体应用的过程中也体现出二者相结合的现象。由于柯西积分定理的条件较强，而柯西积分公式的条件相对较弱，所以柯西积分公式的应用更加广泛。从实例中可以看出，两者在计算复积分时体现了比基本计算方法更便捷。特别是遇到用定性的方式描述积分曲线，或者是积分曲线不容易用参数方程表示的时候，柯西积分定理与柯西积分公式便体现出其優越性。

参考文献：

[1]王振华，张为元，贺雯.柯西积分公式的推广及应用[J].咸阳师范学院学报，2018，33（06）：47-49.

[2]陈亦佳，张玲蒙.柯西积分定理的推广[J].玉溪师范学院学报，2017，33（08）：19-22.

【基金项目：1.淮南师范学院校级重点教学研究改革项目：“金课”建设目标下大学数学线上线下混合式教学改革的研究（2020hsjyxm08）.2.安徽省质量工程项目：线上课程（原MOOC）：微积分（2020mooc475）;3.淮南师范学院科研创新团队建设计划资助“微分代数系统的分析控制及应用创新团队”（XJTD202008）。】