如何根据函数单调性解答三类问题

韩和旭

函数的单调性作为函数的一个重要性质，在解题中发挥着巨大的作用，尤其是在证明不等式、解方程、求参数的取值范围时，巧妙利用函数的单调性可以使问题快速获解.下面我们结合实例来分析.

一、证明不等式

不等式与函数之间的关系很密切.在证明不等式时，我们可以将不等式两边的式子转化为在同一单调区间上自变量取不同值时的函数值，这样便可以借助函数在该区间上的单调性来建立新的不等式，结合已知条件便可证明原不等式成立.

我们首先将不等式进行变形，根据不等式的特点构造出函数 g（x），而 g（x）是函数 与函数 的和，且这两个函数为增函数，由此可推出 g（x）是增函数.然后便可利用函数的单调性证明不等式成立.

二、解方程

有些方程较为复杂，我们采用常规的方法很难求出方程的解，此时，我们可根据方程的特点构造出合适的函数模型，根据函数的单调性来确定方程中代数式所对应的自变量，建立新的方程或方程組，便可求得方程的解.

方程式中既含有指数函数又含有对数函数，用常规方法难以使问题获解，于是通过换元构造出函数 f（x），借助函数的单调性来去掉函数符号“ f ”，建立新的方程并解方程，即可求得原方程的解.

三、求参数的取值范围

运用函数的单调性是求参数的取值范围的常用方法.解题的思路是首先根据已知条件求出函数的解析式或建立合适的函数模型，然后判断函数 f （x）在 R 上的单调性，并据此确定函数的单调区间，再将其与已知区间（a，b）进行比较，建立关于参数的不等式，进而求参数的取值范围.

例3.已知函数 f （x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x ≥0时， .若对于任意的 x ∈[t，t+2] ，不等式 f （x + t）≥ 2f （x）恒成立，则 t 的取值范围为（）.

本题较为复杂.要使不等式恒成立，我们需结合函数的单调性和奇偶性将原不等式变形、化简，得到有关参数的新不等式.

函数的单调性应用较为广泛.在运用函数的单调性解题时，无论是哪种类型的题目，我们首先要建立合适的函数模型，确定函数的单调性，然后将所求目标与函数关联起来，这样便能求得问题的答案.

（作者单位：甘肃省宁县第一中学）